عرض مصدر طول قوس

{{بطاقة عامة}}
[[ملف:Arc_length.gif| عند تقويمه، يصبح المنحنى خطًا مستقيمًا بطول نفس طول قوس المنحنى.|بديل=|تصغير|300x300بك]]
[[ملف:Logarithmic_spiral_arc_length.gif|200x200px|تصغير| طول القوس s ل[[حلزون لوغاريتمي]] كدالة لوسيطِه ''θ''، بتعبير آخر: {{تعبير رياضي|1=''s=f''(''θ'')}}''.'' |بديل=]]
'''طول القوس''' هو المسافة بين نقطتين على طول مقطع من [[منحنى|المنحنى]].<ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://brilliant.org/wiki/arc-length/ | عنوان = معلومات عن طول قوس على موقع brilliant.org | ناشر = brilliant.org| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170919074823/https://brilliant.org/wiki/arc-length/ | تاريخ أرشيف = 19 سبتمبر 2017 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://www.jstor.org/topic/arc-length | عنوان = معلومات عن طول قوس على موقع jstor.org | ناشر = jstor.org|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200414035612/https://www.jstor.org/topic/arc-length/|تاريخ أرشيف=2020-04-14}}</ref> يسمى تحديد طول مقطع [[قوس (هندسة)|القوس]] غير المنتظم أيضًا تصحيح المنحنى. أدى ظهور [[تفاضل وتكامل|حساب التفاضل والتكامل]] إلى صيغة عامة توفر [[تعبير منغلق الشكل|حلولاً منغلقة الشكل]] في بعض الحالات.

== إيجاد أطوال قوس باستخدام التكامل ==
[[ملف:Quarter_circle.png|تصغير|300x300px| ربع الدائرة|بديل=]]
إذا كان [[منحنى مستو]] في <math>\mathbb{R}^2</math> معرف بواسطة المعادلة <math> y=f(x) </math>، حيث <math>f</math> قابل للتفاضل باستمرار، فهي ببساطة حالة خاصة لمعادلة وسيطية حيث <math>x = t </math> و <math> y = f(t)</math>. ثم يُعطى طول القوس بواسطة:

:<math>s=\int_a^b \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx.</math>

تشمل المنحنيات التي تحتوي على [[تعبير منغلق الشكل|حلول منغلقة الشكل]] لطول القوس: [[سلسلي]]، و[[دائرة]]، و[[دويري]]، و[[حلزون لوغاريتمي|لولب لوغاريتمي]]، و[[قطع مكافئ]]، و<nowiki/>{{وإو|تر=Semicubical parabola|عر=قطع مكافئ شبه تكعيبي}} و[[مستقيم (رياضيات)|خط مستقيم]]. أدى عدم وجود حل منغلق الشكل لطول الأقواس [[قطع ناقص|الإهليلجية]] و[[قطع زائد|الزائدية]] إلى تطوير [[تكامل إهليلجي|التكاملات الإهليلجية]].

=== التكامل العددي ===
في معظم الحالات، بما في ذلك المنحنيات البسيطة، لا توجد حلول منغلقة الشكل لطول القوس [[تكامل عددي|والتكامل العددي]] ضروري. التكامل العددي للتكامل طول القوس عادة ما تكون فعالة جدا. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك مشكلة البحث عن طول ربع دائرة الوحدة من خلال التكامل العددي لطول القوس. النصف العلوي لدائرة الوحدة يمكن أن تكون معلمة كـ <math>y=\sqrt{1-x^2}</math>. يتوافق المجال <math>x\in [-\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2] </math> مع ربع الدائرة. بما أن<math>dy/dx=-x/\sqrt{1-x^2}</math> و <math>1+(dy/dx)^2 = 1/(1-x^2)</math>، فإن طول ربع دائرة الوحدة هو

:<math>\int_{-\sqrt{2}/2}^{\sqrt{2}/2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx</math>

يختلف تقدير {{وإو|تر=Gauss–Kronrod quadrature formula|عر=قاعدة التربيع لغاوس وكرونرود|نص=تربيع غاوس-كرونرود}} خمسة عشري النقاط لهذا التكامل البالغ {{Val|1.570796326808177}} عن الطول الحقيقي لـ:

:<math>\Big[\arcsin x\Big]^{\sqrt{2}/2}_{-\sqrt{2}/2}=\frac \pi 2</math>

بمقدار {{تعبير رياضي|1.3×10<sup>−11</sup>}} وتقدير قاعدة [[تربيع غاوسي|التربيع الغاوسي]] ستة عشري النقاط والذي يبلغ {{Val|1.570796326794727}} يختلف عن الطول الحقيقي بمقدار {{تعبير رياضي|1.7×10<sup>−13</sup>}}.

=== الأنظمة الإحداثية الأخرى ===
ليكن <math>\mathbf{C}(t) = (r(t), \theta(t))</math> منحنى معبر عنه ب<nowiki/>[[نظام إحداثي قطبي|الإحداثيات القطبية]]. التحويل الذي يحول الإحداثيات القطبية إلى [[نظام إحداثي ديكارتي|الإحداثيات الديكارتية]] هو

: <math>\mathbf{x}(r,\theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta )</math>

الدالة المكاملة لتكامل طول القوس هي <math>|(\mathbf{x}\circ\mathbf{C})'(t)|</math>. تظهر قاعدة السلسلة لحقول المتجهات أن<math>D(\mathbf{x}\circ \mathbf{C}) = \mathbf{x}_r r' + \mathbf{x}_{\theta} \theta'</math>. لذا يكون الدالة المكاملة المربّعة لتكامل طول القوس هي:

: <math>(\mathbf{x_r}\cdot\mathbf{x}_r)(r')^2 + 2(\mathbf{x}_r\cdot\mathbf{x}_{\theta})r'\theta' + (\mathbf{x}_{\theta}\cdot\mathbf{x}_{\theta})(\theta')^2 = (r')^2 + r^2(\theta')^2</math>

لذلك بالنسبة للمنحنى المعبر عنه بالإحداثيات القطبية، يساوي طول القوس:

: <math>\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dr}{dt}\right)^2 + r^2\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 }dt = \int_{\theta(t_1)}^{\theta(t_2)} \sqrt{\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2 + r^2}d\theta</math>

لتكن الآن <math>\mathbf{C}(t) = (r(t), \theta(t), \phi(t))</math> منحنى معبر عنه ب<nowiki/>[[نظام إحداثي كروي|الإحداثيات الكروية]] حيث <math>\theta</math> هي الزاوية القطبية المقاسة من محور <math>z</math>-الموجب و<math>\phi</math> هي [[سمت|زاوية السمت]]. التحويل الذي يحول من الإحداثيات كروية إلى الإحداثيات الديكارتية هو:

: <math>\mathbf{x}(r,\theta,\phi) = (r\sin\theta\cos\phi, r\sin\theta\sin\phi, r\cos\theta)</math>

يظهر استخدام قاعدة السلسلة مرة أخرى أن: <math>D(\mathbf{x}\circ\mathbf{C}) = \mathbf{x}_r r' + \mathbf{x}_{\theta}\theta' + \mathbf{x}_{\phi}\phi'</math>. لذا يكون الدالة المكاملة المربّعة لتكامل طول القوس هي:

: <math>(\mathbf{x}_r\cdot \mathbf{x}_r )(r'^2) + (\mathbf{x}_{\theta} \cdot \mathbf{x}_{\theta})(\theta')^2 + (\mathbf{x}_{\phi}\cdot \mathbf{x}_{\phi})(\phi')^2 = (r')^2 + r^2(\theta')^2 + r^2 \sin^2\theta (\phi')^2</math>، حيث <math>\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}</math> هو [[جداء نقطي|الضرب القياسي]] للمتجهين <math>\mathbf{x}</math> و <math>\mathbf{y}</math>.

لذلك بالنسبة للمنحنى المعبر عنه بالإحداثيات الكروية، يساوي طول القوس:

: <math>\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dr}{dt}\right)^2 + r^2\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 + r^2\sin^2\theta \left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2}dt </math>

يظهر حساب مشابه جدًا أن طول قوس المنحنى المعبر عنه ب<nowiki/>[[نظام إحداثي أسطواني|الإحداثيات الأسطوانية]] يساوي:

: <math>\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dr}{dt}\right)^2 + r^2\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2}dt </math>

== انظر أيضًا ==

* [[قوس (هندسة)]]
* [[محيط منحنى مغلق]]
* [[جيوديسي]]
* [[تكامل عددي|تقريبيات تكاملية]]
* [[تكامل خط]]ي
* [[حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات]]

== المراجع ==
{{مراجع}}
{{روابط شقيقة}}
{{مواضيع حسابات التفاضل والتكامل}}
{{شريط بوابات|رياضيات|هندسة رياضية|تحليل رياضي}}
{{ضبط استنادي}}

[[تصنيف:أطوال]]
[[تصنيف:حساب تكاملي]]
[[تصنيف:منحنيات]]