عرض مصدر تحليل مصفوفة نقل شعاع

{{لا مصدر|تاريخ=يناير 2022}}
'''تحليل مصفوفة نقل شعاع''' (ب[[إنجلترا|الإنجليزي]]: Ray transfer matrix analysis) هي تقنية تهتم بتتبع الأشعة تستخدم في تصميم بعض [[نظام بصري|الأنظمة البصرية]] وخاصة أنظمة [[ليزر|الليزر]],حيث يمكن وصف النظام البصري بعمل مصفوفة عناصرها مسارات [[ضوء|الضوء]] في النظام ومن ثم ضرب العناصر [[ضرب اتجاهي|ضربا اتجاهي]] في متجهات [[موجة كهرومغناطيسية|الأشعة]].

في هذه التقنية نستخدم تقريب المحاور للشعاع البصري بفرض أن [[زاوية (هندسة)|زوايا]] جميع الأشعة المنبعثة صغيرة (θ) وتبعد [[مسافة|مسافات]] صغيرة (x) عن المحور البصري للنظام، ويكون التقريب صحيحا عندما sin(θ)≈θ (الزاوية θ مقاسة [[راديان|بالراديان]]) وهي طريقة جيدة للتتبع مسار الأشعة الزوالية، عند http://spie.org/etop/1991/389_1.pdf.
== تعريف مصفوفة نقل الشعاع ==
تعتمد تقنية تتبع الشعاع على محورين مرجعيين، تعرف بـ محور الإدخال ومحور الإخراج وهي محاور عمودية على المحور البصري للنظام.سوف نحدد المحور البصري بحيث يتوافق مع محور – Z في نظام ذو تنسيق ثابت.
يدخل شعاع الضوء إلى النظام عندما يتقاطع مع محور الإدخال خلال مسافة x1 من المحور البصري مكونا زاوية قدرها θ1. ويتقاطع مع محور الإخراج خلال مسافة أخرى قدرها x2 مكونا زاوية θ2 ,حيث أن n1 وn2 هي معامل انكسارالوسط الأول والثاني، على التوالي.

ترتبط هذه الكميات الثلاثة n وθو x بالعلاقة التالية :

:<math> {x_2 \choose \theta_2} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}{x_1 \choose \theta_1}, </math>

عندما

:<math>A = {x_2 \over x_1 } \bigg|_{\theta_1 = 0} \qquad B = {x_2 \over \theta_1 } \bigg|_{x_1 = 0},</math>

و

:<math>C = {\theta_2 \over x_1 } \bigg|_{\theta_1 = 0} \qquad D = {\theta_2 \over \theta_1 } \bigg|_{x_1 = 0}.</math>

ويرتبط متجه الشعاع الدخل والشعا ع الخارج بواسطة [[مصفوفة (توضيح)|مصفوفة]] انتقال الشعاع ray transfer matrix (RTM) M, عندما يقع النظام البصري بين محورين مرجعيين، وبالاعتماد على نموذج إشعاع [[الجسم الأسود]] في [[ديناميكا حرارية|الديناميكا الحرارية]] يمكننا حساب محددات المصفوفة RTM (النسبة بين [[معامل الانكسار|معامل انكسار]] الوسط) على النحو التالي :

:<math>\det(\mathbf{M}) = AD - BC = {   n_1  \over  n_2 }.  </math>

ونتيجة لذلك يقع محور الشعاع الساقط ومحور الشعاع الخارج في نفس الوسط، ويمكن استخدام تقنية مشابهه لتحليل [[دائرة كهربائية|الدوائر الكهربائية]].

== بعض الأمثلة ==
•	مثلا: إذا وجد فضاء حر بين محورين، تعطى مصفوفة نقل الشعاع بواسطة

:<math> \mathbf{S} = \begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math>,

حيث أن ''d'' هي المسافة الفاصلة بين محوريين مرجعيين (تقاس على طول المحور البصري) , بالتالي تصبح معادلة نقل الشعاع :

:<math> {x_2 \choose \theta_2} = \mathbf{S}{x_1 \choose \theta_1} </math>,

:<math> \begin{matrix} x_2 & = & x_1 + d\theta_1 \\
\theta_2 & = & \theta_1 \end{matrix} </math>

•	مثال آخر بسيط على [[عدسة (توضيح)|العدسات الرقيقة]] , تعطى مصفوفة نقل الشعاع RTM :

:<math> \mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1 \end{pmatrix} </math>,

حيث أن ''f'' هو البعد البؤري للعدسة، ولوصف نظام بصري مركب يجب ضرب المصفوفات ضربا اتجاهيا ,

:<math>\mathbf{L}\mathbf{S} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1 & d \\ \frac{-1}{f} & 1-\frac{d}{f} \end{pmatrix} </math>.

ملاحظة : عملية [[ضرب المصفوفات]] عملية غير إبدالية

:<math> \mathbf{SL} =
\begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1-\frac{d}{f} & d \\ \frac{-1}{f} & 1 \end{pmatrix} </math>.

== جدول مصفوفة نقل الشعاع ==

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="4"
|- style="background-color: #AAFFCC"
! عنصر
! مصفوفة
! ملاحظات
|- 
| انتشار [[ضوء|الضوء]] في وسط ذو معامل انكسار ثابت
| align="center" |<math>\begin{pmatrix} 1 & d\\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math>
| ''d'' = المسافة<br/>
|- 
| انكسار الضوء عن سطح أملس
| align="center" | <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix} </math>
| ''n''<sub>1</sub> = معامل انكسار الوسط الأول<br/>
''n''<sub>2</sub> =معامل انكسار الوسط الثاني.
|- 
| [[انكسار (فيزياء)|انكسار الضوء]] عن سطح منحني
| align="center" | <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{n_1-n_2}{R \cdot n_2} & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix} </math>
| ''R'' = [[ضلع قطري|قطر الانحناء]], ''R''> 0 (مركز الانحناء)<br/>
''n''<sub>1</sub> = معامل انكسار الوسط الأول<br/>
''n''<sub>2</sub> = معامل انكسار الوسط الثاني.
|- 
| [[انعكاس (رياضيات)|انعكاس الضوء]] على سطح [[مرآة]] مستوية
| align="center" | <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math>
|
|- 
| انعكاس الضوء من مرآة منحنية
| align="center" | <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{2}{R} & 1 \end{pmatrix} </math>
| ''R'' = نصف قطر الانحناء, R> 0 إذا كانت المرآة مقعرة
|- 
| عدسة رقيقة
| align="center" | <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{f} & 1 \end{pmatrix} </math>
| ''f'' = [[بعد بؤري|البعد البؤري]] لل[[عدسة (بصريات)|عدسة]] ,عندما ''f''> 0 للمرآة المحدبة/موجب. 
يقرب إذا كان البعد البؤري أكبر بكثير من سمك العدسة.
|-
| Single right angle prism
| align="center" | <math> \begin{pmatrix} k & \frac{d}{nk} \\ 0 & \frac{1}{k} \end{pmatrix} </math>
| ''k'' == (cos<math>\psi</math>/cos<math>\phi</math>) سعة الشعاع المتجه, where <math>\phi</math> زاوية السقوط, <math>\psi</math> زاوية الانكسار, ''d'' = [[طول]] مسار المنشور, ''n'' == معامل انكسار مادة [[الموشور (توضيح)|المنشور]]. هذه المصفوفة صالحة للتطبيق على الشعاع العمودي الخارج.
|}

== مرنان مستقر ==
يمكن نمذجة (وصف) شعاع صادر من [[مجاوبة|مرنان]] مستقر بواسطة تحليل مصفوفة نقل شعاع، مثل مصفوفة شعاع الليزر، أبسط أنظمة المرنان يضم مرآتان متقابلتان ذات انعكاسية قدرها 100% ونصف قطر انحناء R تفصل بينهما مسافة d , ولتتبع مسار شعاع تستخدم سلسلة عسات بعدها البؤري f=R/2 تبعد كل عدسة عن أخرى مسافة d

:<math>\mathbf{M} =\mathbf{L}\mathbf{S} = \begin{pmatrix} 1 & d \\ \frac{-1}{f} & 1-\frac{d}{f} \end{pmatrix} </math>.

الآن نستخدم مصفوفة RTM للتحقق من استقرار [[طول الموجة|الطول الموجي]]

:<math> {x_2 \choose \theta_2} = \lambda {x_1 \choose \theta_1} </math>.

فينتج

:<math> \mathbf{M}{x_1 \choose \theta_1} = \lambda {x_1 \choose \theta_1} </math>,

حيث أن معادلة [[قيم ذاتية ومتجهات ذاتية|القيم الذاتية]]

:<math> \left[ \mathbf{M} - \lambda\mathbf{I} \right] {x_1 \choose \theta_1} = 0 </math>

حيث أن المصفوفة '''I''' هي مصفوفة 2x2 , وبالتبسيط نحصل على

:<math>\operatorname{det}  \left[  \mathbf{M} - \lambda\mathbf{I} \right] = 0  </math>

بالتالي نحصل على معادلة القيم المميزة

:<math> \lambda^2 - \operatorname{tr}(\mathbf{M}) \lambda + \operatorname{det}(\mathbf{M}) = 0 </math>

عندما

:<math>  \operatorname{tr} (\mathbf{M})   =    A + D   =   2 - { d \over f }  </math>

أثر [[جبر خطي|الجبر الخطي]] للمصفوفة RTM , و

:<math>\operatorname{det}(\mathbf{M}) = AD - BC  = 1 </math>

[[محدد (رياضيات)|محدد المصفوفة]]

:<math> \lambda^2 - 2g \lambda + 1 = 0  \, </math>

عندما

:<math> g \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   { \operatorname{tr}(\mathbf{M}) \over 2 } = 1 - { d \over 2 f } </math>

حيث أن حلول المعادلة المميزة هي القيم الذاتية ومعامل الاستقرار.وبتربيع المعادلة نحصل على

:<math> \lambda  =  g \pm \sqrt{g^2 - 1} \, </math>

:<math> {x_N \choose \theta_N} = \lambda^N {x_1 \choose \theta_1} </math>.

إذاكان الطول الموجي مستقر λ<sup>N</sup>

:<math>\operatorname{Im} \{ \lambda  \}  \ne 0  </math>

:<math> g^2 - 1 <0  \, </math>

أو

:<math> |g| <1 \, </math>

حل معادلة القيم الذاتية هو حل دوري

:<math> \lambda^N = e^{\pm i N \phi} </math>,

أو

:<math> \lambda  = e^{ \pm i  \phi } </math>,

عندما

:<math> \cos(\phi) =  \operatorname{Re} \{ \lambda \}  =   g   =  { \operatorname{tr}(\mathbf{M}) \over 2 } = 1 - { d \over 2 f }  </math>

ويمكن تعميم هذه النتيجة للمرنان المركب.

== مصفوفة نقل الشعاع لحزم جاوسية ==
مصفوفة وصف نقل الشعاع لحزم [[جاوس (توضيح)|جاوس]] ذات طول موجي λ ونصف قطر انحناء Rونصف قطر w

:<math> \frac{1}{q} = \frac{1}{R} - \frac{i\lambda}{\pi w^2} </math>.

:<math> {q_2 \choose 1} = k \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} {q_1 \choose 1} </math>,

''k'' ثابت طبيعي، وبضرب المصفوفة

:<math> q_2 = k(Aq_1 + B) \,</math>

و

:<math> 1 =   k(Cq_1 + D) \,  </math>

وبقسمة المعادلة الأولى على المعادلة الثانية

:<math> q_2 =\frac{Aq_1+B}{Cq_1+D}</math>,

:<math>  { 1 \over q_2 }    = {  C + D/q_1  \over  A + B/q_1 }.  </math>
== مراجع ==
{{مراجع}}

* {{استشهاد بكتاب | عنوان = Fundamentals of Photonics | مؤلف = [[Bahaa E. A. Saleh]] and Malvin Carl Teich | ناشر = John Wiley & Sons | مكان = New York |  سنة = 1991}} Section 1.4, pp.&nbsp;26 – 36.
* {{استشهاد بكتاب | عنوان = Matrix methods in optics | مؤلف = A. Gerrard B. Burch | ناشر = John Wiley & Sons | مكان = New York |  سنة = 1975}}
* {{استشهاد بكتاب | عنوان = Tunable Laser Optics | مؤلف = [[إف. جاي دوارتي]] | ناشر = Elsevier-Academic | مكان = New York |  سنة = 2003}} Chapter 6.
== روابط إضافية ==
* [http://physics.tamuk.edu/~suson/html/4323/thick.html#Matrix Thick lenses (Matrix methods)]
* [https://web.archive.org/web/20190505051822/http://www.photonics.byu.edu/ABCD_Matrix_tut.phtml ABCD Matrices Tutorial] Provides an example for a system matrix of an entire system.
* [https://web.archive.org/web/20190515211519/http://photonics.byu.edu/ABCD_Calc.phtml ABCD Calculator] An interactive calculator to help solve ABCD matrices.

{{شريط بوابات|الفيزياء|بصريات}}

[[تصنيف:بصريات هندسية]]
[[تصنيف:فيزياء المسرعات]]