عرض مصدر عاملي

{{عن|3=! (توضيح)}}
{{بطاقة عامة}}
في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''المضروب''' أو '''العاملي''' لعدد صحيح طبيعي ''n''، والذي يكتب <math>n!</math>، والذي يقرأ "عاملي n"، هو [[جداء]] كل [[عدد طبيعي|الأعداد الطبيعية]] (الأعداد الصحيحة الموجبة قطعاً) المساوية أو الأصغر من ''n''، ما عدا الصفر.<ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://www.britannica.com/science/factorial | عنوان = معلومات عن عاملي على موقع britannica.com | ناشر = britannica.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20160506223541/http://www.britannica.com/topic/factorial | تاريخ أرشيف = 6 مايو 2016 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://zthiztegia.elhuyar.eus/kontzeptua/032440 | عنوان = معلومات عن عاملي على موقع zthiztegia.elhuyar.eus | ناشر = zthiztegia.elhuyar.eus|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191210045433/https://zthiztegia.elhuyar.eus/kontzeptua/032440|تاريخ أرشيف=2019-12-10}}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://oeis.org/A000142 | عنوان = معلومات عن عاملي على موقع oeis.org | ناشر = oeis.org| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190507190718/http://oeis.org/A000142 | تاريخ أرشيف = 7 مايو 2019 }}</ref>

فيما يلي مثال 5 عاملي:

:<math>5 ! = 5  \times  4  \times  3  \times  2  \times  1 = 120  \ </math>

و تعريف العاملي على شكل جداء يترتب عنه كون <math>0! = 1</math> ذلك أن 0! جداء مفرغ، وبمعنى آخر مختصر أي عدد مضروب في صفر يساوي صفر في عملية الضرب.

تظهر دالة العاملي في مجالات مختلفة من الرياضيات، وخصوصا في [[تركيبات|التوافقيات]] و[[جبر|الجبر]] و[[تحليل رياضي|التحليل الرياضي]]. أبسط مثال على ذلك، وجود ''!n'' طريقة مختلفة لترتيب عناصر مجموعة عددهم مساو ل n (أي عدد [[تبديل (رياضيات)|التبديلات]] لعناصر هذه المجموعة). عرفت هذه الحقيقة على الأقل منذ القرن الثاني عشر الميلادي، من طرف علماء الرياضيات الهنديين. ويظهر العاملي في عدة معادلات رياضية، مثل [[مبرهنة ذي الحدين|صيغة الثنائي الحد]] ل[[إسحاق نيوتن|نيوتن]] وصيغة [[بروك تايلور|تايلور]]. إستُعمل رمز علامة التعجب (!) للتعبير عن دالة عاملي لأول مرة من طرف عالم الرياضيات [[كريستيان كرامب]] وكان ذلك عام 1808.

يمكن لتعريف دالة عاملي أن [[عاملي#دالتا غاما و π|يمدد إلى أعداد غير صحيحة]] بدون المساس بخصائص هذه الدالة. هذه العملية تستلزم تقنيات متطورة في الرياضيات وخصوصا تلك المستقاة من [[تحليل رياضي|التحليل الرياضي]].