عرض مصدر لغارتم

[[ملف:Logarithm plots.png|تصغير|upright=1.35|رُسوم دوال لغارتمية، بثلاثة أُسُس شائعة الاستخدام. النقاط الخاصة {{تعبير رياضي|log<sub>''b''</sub> ''b'' {{=}} 1}} موضحة بخطوط متقطعة، وجميع المنحنيات تتقاطع {{تعبير رياضي|1=log<sub>''b''</sub> 1 = 0}}.]]

في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''لُغَارِتْم''' عدد ما هو [[رفع أسي|الأس]] الذي يجب رفع قيمة ثابتة أخرى، '''الأساس'''، به لإنتاج ذلك العدد. لغارتم {{تعبير رياضي|1000}} للأساس {{تعبير رياضي|10}} مثلًا هو {{تعبير رياضي|3}}، لأن {{تعبير رياضي|1000}} هو {{تعبير رياضي|10}} مرفوع للأس {{تعبير رياضي|3}}: {{تعبير رياضي|1000 {{=}} 10{{sup|3}} {{=}} 10 × 10 × 10}}. بشكل أعم، إذا كان {{تعبير رياضي|''x'' {{=}} ''b''{{sup|''y''}}}}، فإن {{تعبير رياضي مائل|y}} هو لغارتم {{تعبير رياضي مائل|x}} للأساس {{تعبير رياضي مائل|b}}، ويُكتب {{تعبير رياضي|log{{sub|''b''}} ''x''}}، لذا فإن {{تعبير رياضي|log{{sub|10}} 1000 {{=}} 3}}. اللغارتم دالة وحيدة المتغير، وهذا يعني أن لغارتمَ متغيرٍ ذا الأساس {{تعبير رياضي مائل|b}} هو [[دالة عكسية|معكوس]] [[رفع أسي|رفع المُتغير أسًا]] لذلك الأساس.

اللغارتم ذو الأساس 10 يُسمى [[لغارتم عشري|اللغارتم العشري]] أو اللغارتم الشائع، ويُستخدم استخدامًا شائعًا في العلوم والهندسة. أما [[لغارتم طبيعي|اللغارتم الطبيعي]] فيستخدم العدد [[ه (رياضيات)|{{تعبير رياضي|''e'' ≈ 2.718}}]] أساسًا له؛ ويستخدم استخدامًا واسعًا في الرياضيات [[فيزياء|والفيزياء]] بسبب [[مشتق (رياضيات)|مشتقته]] البسيطة للغاية. أما [[لغارتم اثناني|اللغارتم الاثناني]] فيستخدم الأساس 2 ويستخدم استخدامًا واسعًا في [[علم الحاسوب|علوم الحاسوب]] و[[نظرية المعلومات]] و[[نظرية الموسيقى]] [[تصوير ضوئي|والتصوير الضوئي]]، وعندما يكون الأساس واضحًا من السياق أو غير ذي صلة، غالبًا ما يُحذَف، ويُكتب اللغارتم على نحو {{تعبير رياضي|log ''x''}}.

عرَّف [[جون نابير]] اللغارتمات في عام 1614 وسيلةً لتبسيط العمليات الحسابية.<ref name="م6">{{استشهاد مختصر|Hobson|1914|ص=13-14|لغة=en}}</ref> وسرعان ما تبنّاها [[ملاح|الملاحون]] والعلماء والمهندسون [[مساحة (تخصص)|والمساحون]] وغيرهم لإجراء تحسيبات عالية الدقة بسهولة أكبر. باستخدام جداول اللغارتمات، يمكن استبدال البحث في الجداول والجمع الأبسط بخطوات الضرب المملة المتعددة الأرقام. وهذا ممكن لأن لغارتم [[جداء|الجداء]] هو مجموع لغارتمات العوامل:

<math display="block"> \log_b(xy) = \log_b x + \log_b y,</math>

بشرط أن تكون {{تعبير رياضي مائل|b}} و {{تعبير رياضي مائل|x}} و {{تعبير رياضي مائل|y}} كلها موجبة و {{تعبير رياضي|''b'' ≠ 1}}. تسمح [[مسطرة حاسبة|المسطرة الانزلاقية]]، التي تعتمد أيضًا على اللغارتمات، بإجراء حسابات سريعة دون جداول، ولكن بدقة أقل. يأتي المفهوم الحالي للغارتمات من [[ليونهارت أويلر]]، الذي ربطها [[دالة أسية|بالدالة الأسية]] في القرن الثامن عشر،<ref>{{استشهاد مختصر|Remmert|1991|ص=2-4|لغة=en}}</ref> والذي أدخل أيضًا الحرف {{تعبير رياضي مائل|e}} أساسًا للغارتمات الطبيعية.<ref>{{استشهاد مختصر|Remmert|1991|ص=136|لغة=en}}</ref>

تَختزِل [[مقياس لغارتمي|السلالم اللغارتمية]] الكميات واسعة النطاق إلى نطاقات أصغر. [[ديسيبل|فالدِّسِيبِل]] (dB) مثلًا [[وحدة قياس|وحدة]] تُعبِّر {{وإو|مستوى (كمية لغارتمية)|Level (logarithmic quantity)|4=النسبة في شكل لغارتمات}}، غالبًا لقدرة الإشارة والسعة (والتي يعد [[ضغط الصوت]] مثالًا شائعًا عليها). في الكيمياء، [[أس هيدروجيني|الأس الهيدروجيني]] (pH) قَيْس لغارتمي [[حمض|لحموضة]] [[محلول مائي]]. اللغارتمات شائعة في [[صيغة رياضية|الصيغ]] العلمية، وفي قياسات [[نظرية التعقيد الحسابي|تعقيد الخوارزميات]] والكائنات الهندسية التي تسمى [[كسورية|الكُسوريات]]. تساعد في وصف نسب [[تردد]]ات [[مسافة (موسيقى)|المسافات الموسيقية]]، وتظهر في الصيغ التي تحسب [[عدد أولي|الأعداد الأولية]] أو [[تقريب ستيرلينغ|تقريب]] [[عاملي|العَامِليّات]]، وتوفر معلومات لبعض النماذج في [[علم الطبيعة النفسية]]، ويمكن أن تساعد في [[محاسبة جنائية|المحاسبة الجنائية]].

يمتد مفهوم اللغارتم باعتباره معكوس الرفع الأسي إلى بنًى رياضيةٍ أخرى أيضًا. ومع ذلك، في الحالات العامة، يميل اللغارتم إلى أن يكون [[دالة متعددة القيم]]. على سبيل المثال، [[لغارتم مركب|اللغارتم العقدي]] هو [[دالة عكسية|معكوس]] متعدد القيم للدالة الأسية العقدية. وبالمثل، {{وإو|لغارتم متقطع|Discrete logarithm|4=اللغارتم المتقطع}} هو معكوس متعدد القيم للدالة الأسية في الزمر المنتهية؛ وله استخدامات في [[تعمية بمفتاح عام|التعمية بالمفتاح العام]].

== دوافع ==
[[ملف:Binary logarithm plot with grid.png|يسار|تصغير|يتقاطع بيان اللغارتم ذي الأساس 2 مع [[نظام إحداثيات ديكارتية|محور إحداثيات {{تعبير رياضي|''x''}}]] عند {{تعبير رياضي|''x'' {{=}} 1}} ويمر عبر النقاط {{يسار إلى يمين|(2, 1)}} و{{يسار إلى يمين|(4, 2)}} و{{يسار إلى يمين|(8, 3)}}، مما يمثل، على سبيل المثال، {{تعبير رياضي|log<sub>2</sub>(8) {{=}} 3}} و{{تعبير رياضي|2<sup>3</sup> {{=}} 8}}. يقترب البيان كيفيًا من محور إحداثيات {{تعبير رياضي|''y''}}، [[خط مقارب|لكنه لا يلتقي به]].]]
[[جمع|الجمع]] [[ضرب|والضرب]] [[رفع أسي|والرفع الأسي]] ثلاث من العمليات الحسابية الرئيسة. معكوس الجمع هو [[طرح|الطرح]]، ومعكوس الضرب هو [[قسمة (رياضيات)|القسمة]]. وبالمثل، فإن اللغارتم هو العملية العكسية [[رفع أسي|للرفع الأسي]]. يُنجز الرفع الأسي برفع عدد {{تعبير رياضي مائل|b}}، وهو الأساس، إلى قوة ما {{تعبير رياضي مائل|y}}، تُسمَّى الأس، فتنتج قيمة {{تعبير رياضي مائل|x}}؛ ويُشار إلى ذلك بالعلاقة:

<math display="block">b^y=x.</math>

يعطي رفع 2 إلى قوة 3 القيمة {{تعبير رياضي|8}} على سبيل المثال، ويُعبَّر عنه رياضيًا: <math>2^3 = 8</math>.

لغارتم الأساس {{تعبير رياضي مائل|b}} هو العملية العكسية التي تعطي الخرج {{تعبير رياضي مائل|y}} من الدخل {{تعبير رياضي مائل|x}}، أي <math>y = \log_b x</math> تعادل <math>x=b^y</math> إذا كان {{تعبير رياضي مائل|b}} [[عدد حقيقي|عددًا حقيقيًا]] موجبًا.<ref group="ملا">فيمكن تعريف كل من الرفع الأسي واللغارتم إذا لم يكن b عددًا حقيقيًا موجبًا، ولكنهما قد يأخذان عدة قيم، مما يجعل التعريفات أكثر تعقيدًا</ref>

أحد الدوافع التاريخية الرئيسة لإدخال اللغارتمات هو الصيغة:

<math display="block">\log_b(xy)=\log_b x + \log_b y,</math>

التي تعتمد جداول اللغارتمات عليها لاختزال عمليات الضرب والقسمة بعمليات الجمع والطرح، وساعد هذا في إنجاز الحسابات المُعقَّدة بسهولة قبل اختراع الحواسيب.

== التعريف ==
إذا كان {{تعبير رياضي مائل|b}} [[عدد حقيقي|عددًا حقيقيًا]] موجبًا مغايرًا للواحد، فإن لغارتم أي عدد حقيقي موجب {{تعبير رياضي مائل|x}} بالنسبة إلى الأساس {{تعبير رياضي مائل|b}}{{refn|شُرِحَت القيود المفروضة على {{تعبير رياضي مائل|x}} و {{تعبير رياضي مائل|b}} في قسم [[#خواص تحليلية|خواص تحليلية]].|group=ملا}} هو الأس الذي يجب رفع {{تعبير رياضي مائل|b}} به للحصول على {{تعبير رياضي مائل|x}}. بعبارة أخرى، لغارتم {{تعبير رياضي مائل|x}} بالنسبة للأساس {{تعبير رياضي مائل|b}} هو العدد الحقيقي الوحيد {{تعبير رياضي مائل|y}} حيث <math>b^y = x</math>.<ref>{{استشهاد مختصر|Tarantola|2006|صفحة=51|لغة=en}}</ref>

يُشار إلى اللغارتم بالتعبير: {{تعبير رياضي|log<sub>''b''</sub> ''x''}}، ويُلفظ: لغارتم {{تعبير رياضي مائل|x}} للأساس {{تعبير رياضي مائل|b}}، أو: لغارتم الأساس {{تعبير رياضي مائل|b}} لـ {{تعبير رياضي مائل|x}}.

ثمة تعريف مكافئ وأكثر إيجازًا وهو أن الدالة {{تعبير رياضي|log<sub>''b''</sub>}} هي [[دالة عكسية|الدالة العكسية]] للدالة <math>x\mapsto b^x</math>.

=== أمثلة ===
* {{تعبير رياضي|1=log<sub>2</sub> 16 = 4}}، لأن {{تعبير رياضي|1=2<sup>4</sup> = 2 × 2 × 2 × 2 = 16}}.
* قد تكون اللغارتمات سالبة: <math display="inline">\log_2 \! \frac{1}{2} = -1</math> لأن <math display="inline">2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}</math>.
* {{تعبير رياضي|log<sub>10</sub> 150}} تساوي بالتقريب 2.176، وهو عدد يقع بين 2 و3، متناسبًا مع موقع 150 بين {{تعبير رياضي|1=10<sup>2</sup> = 100}} و{{تعبير رياضي|1=10<sup>3</sup> = 1000}}.
* من أجل أي {{يمين إلى يسار|أساس {{تعبير رياضي مائل|b}}}}، {{تعبير رياضي|1=log<sub>''b''</sub> ''b'' = 1}} و{{تعبير رياضي|1= log<sub>''b''</sub> 1 = 0}}، لأن {{تعبير رياضي|1=''b''<sup>1</sup> = {{تعبير رياضي مائل|b}}}} و{{تعبير رياضي|1=''b''<sup>0</sup> = 1}}، على الترتيب.

== مطابقات لغارتمية ==
{{مفصلة|قائمة المطابقات اللغارتمية}}

توجد عدة صيغ مهمة، تسمى أحيانًا المتطابقات اللغارتمية أو القوانين اللغارتمية، تربط اللغارتمات ببعضها.<ref name="م1">{{استشهاد مختصر|Downing|2003|ص=275|لغة=en}}</ref>

=== الجداء، وخارج القسمة، والقوة والجذر ===
لغارتم جداء هو مجموع لغارتمات الأعداد المضروبة؛ ولغارتم النسبة بين عددين هو فرق اللغارتمين. لغارتم القوة رقم {{تعبير رياضي مائل|p}} لعدد ما هو {{تعبير رياضي مائل|p}} مضروبًا في لغارتم العدد نفسه؛ ولغارتم الجذر من المرتبة {{تعبير رياضي مائل|p}} هو لغارتم العدد مقسومًا على {{تعبير رياضي مائل|p}}. يوضح الجدول التالي هذه المتطابقات مع أمثلة. يمكن اشتقاق كل متطابقة بعد تعويض تعريفات اللغارتم <math>x = b^{\, \log_b x}</math> أو <math>y = b^{\, \log_b y}</math> في الطرف الأيسر. في الصيغ التالية، 𝑥 و𝑦 [[عدد موجب|عددان حقيقيان موجبان]] و{{tmath|p
}} عدد صحيح أكبر من 1.

{| class="wikitable plainrowheaders"
|+ متطابقات الجداء وخارج القسمة والقوة والجذر للغارتمات
|-
! scope="col" | متطابقة
! scope="col" | صيغة
! scope="col" | مثال
|-
! scope="row" | جداء
| <math display="inline">\log_b(x y) = \log_b x + \log_b y</math>
| <math display="inline">\log_3 243 = \log_3 (9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27 = 2 + 3 = 5</math>
|-
! scope="row" | خارج قسمة
| <math display="inline">\log_b \!\frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y</math>
| <math display="inline">\log_2 16 = \log_2 \!\frac{64}{4} = \log_2 64 - \log_2 4 = 6 - 2 = 4</math>
|-
! scope="row" | قوة
| <math display="inline">\log_b\left(x^p\right) = p \log_b x</math>
| <math display="inline">\log_2 64 = \log_2 \left(2^6\right) = 6 \log_2 2 = 6</math>
|-
! scope="row" | جذر
| <math display="inline">\log_b \sqrt[p]{x} = \frac{\log_b x}{p}</math>
| <math display="inline">\log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5</math>
|}

===تغيير الأساس===<!-- This section is linked from [[Mathematica]] -->
يمكن حساب اللغارتم {{تعبير رياضي|log<sub>''b''</sub> ''x''}} من لغارتمات {{تعبير رياضي مائل|x}} و {{تعبير رياضي مائل|b}} بالنسبة إلى أساس {{تعبير رياضي مائل|k}} كيفي باستخدام الصيغة التالية:{{refn|group=ملا|إثبات: بأخذ لغارتم الأساس {{تعبير رياضي مائل|k}} للمتطابقة المُعرِّفَة <math display=inline> x = b^{\log_b x}</math>، نحصل على <math> \log_k x = \log_k \left(b^{\log_b x}\right) = \log_b x \cdot \log_k b</math>. تأتي الصيغة من حل <math>\log_b x</math>.
}}

<math display="block"> \log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}</math>

تحسب [[آلة حاسبة علمية|الآلات الحاسبة العلمية]] النموذجية اللغارتمات للأساسين 10 و {{تعبير رياضي مائل|[[ه (رياضيات)|e]]}}.<ref>{{استشهاد مختصر|Bernstein|1999|ص=21|لغة=en}}</ref> يمكن تحديد اللغارتمات بالنسبة لأي أساس {{تعبير رياضي مائل|b}} باستخدام أي من هذين اللغارتمين بالصيغة السابقة:

<math display="block"> \log_b x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} b} = \frac{\log_{e} x}{\log_{e} b}</math>

يُعطى العدد {{تعبير رياضي مائل|x}} ولغارتمه {{تعبير رياضي|1=''y'' = log<sub>''b''</sub> ''x''}} لأساس مجهول {{تعبير رياضي مائل|b}}، فإن الأساس يُعطى بـ:

<math display="block"> b = x^\frac{1}{y}</math>

ويمكن ملاحظة ذلك من خلال رفع المعادلة المُعرِّفَة <math> x = b^{\,\log_b x} = b^y</math> إلى القوة <math>\tfrac{1}{y}</math>.

== أُسُس خاصة ==
[[ملف:Log4.svg|تصغير|upright=1.2|بيانات متراكبة لِلُغارتم الأسس {{كسر| 1 | 2 }} و 2 و {{تعبير رياضي مائل|e}}]]

من بين جميع الخيارات المتاحة للأساس، توجد ثلاثة خيارات شائعة بشكل خاص. وهي {{تعبير رياضي| ''b'' {{=}} 10}}، و {{تعبير رياضي| ''b'' {{=}} [[ه (رياضيات)|''e'']]}} (الثابت الرياضي [[عدد غير كسري|غير المُنطَق]] {{بدون لف|{{تعبير رياضي|[[ه (رياضيات)|''e'']] ≈ 2.71828183 }}}})، و {{تعبير رياضي| ''b'' {{=}} 2}} ([[لغارتم اثناني|اللغارتم الاثناني]]). في [[تحليل رياضي|التحليل الرياضي]]، ينتشر استخدام اللغارتم ذي الأساس {{تعبير رياضي مائل|e}} بسبب الخواص التحليلية الموضحة أدناه. من ناحية أخرى، من السهل استخدام اللغارتمات ذات الأساس 10 (اللغارتم الشائع) في الحسابات اليدوية في [[نظام عد عشري|نظام الأعداد العشرية]]:<ref name="م1"/>

<math display=block>\log_{10}\,(\,10\,x\,)\ =\;\log_{10} 10\ +\;\log_{10} x\ =\ 1\,+\,\log_{10} x\,</math>

ومن ثمّ، فإن {{تعبير رياضي|log<sub>10</sub> (''x'')}} يرتبط بعدد [[رقم|الأرقام العشرية]] لعدد صحيح موجب {{تعبير رياضي مائل|x}}: عدد الأرقام هو أصغر [[عدد صحيح]] أكبر تمامًا من {{بدون لف|{{تعبير رياضي| log<sub>10</sub> (''x'')}}}}.<ref name="م3">{{استشهاد مختصر|Wegener|2005|ص=20|لغة=en}}</ref> على سبيل المثال، {{تعبير رياضي|log<sub>10</sub>(5986)}} يساوي تقريبًا 3.78. [[دالتان سقفية وأرضية|العدد الصحيح الأقرب]] إليه هو 4، وهو عدد أرقام 5986. يستخدم كل من اللغارتم الطبيعي واللغارتم الاثناني في [[نظرية المعلومات]]، بما يتوافق مع استخدام [[نات (وحدة)|النات]] أو [[بت|البت]] وحداتٍ أساسية للمعلومات، على الترتيب.<ref>
{{استشهاد مختصر|van der Lubbe|1997|ص=3|لغة=en}}</ref> يُستخدَم اللغارتم الاثناني أيضًا في [[علم الحاسوب]]، وفيه النظام الاثناني موجود في كل مكان؛ وفي [[نظرية الموسيقى]]، حيث تنتشر نسبة [[حدة (موسيقى)|حدة الصوت]] 2 ([[جواب (موسيقى)|الجواب]]) بشكل واسع، ويكون عدد [[سنت (موسيقى)|السنتات]] بين أي حدتين نسخة مُدرَّجة من اللغارتم الاثناني، أو log 2 مضروب في 1200، من نسبة الحدة (أي 100 سنت لكل {{وإو|نصف نغمة|Semitone}} في {{وإو|السلم المعدل بالتساوي اثنا عشري النغمات|12 equal temperament|4=السلم المُعدَّل بالتساوي المألوف}})، أو ما يعادل لغارتم الأساس 21/1200؛ وفي [[تصوير ضوئي|التصوير الضوئي]]، تُستخدم لغارتمات الأساس 2 المعاد ضبط سُلَّمها لقياس {{وإو|قيمة تعريض|Exposure value|4=قيم التعريض}} للضوء [[استضواء|ومستويات الضوء]] [[سرعة الغالق|وأوقات التعريض]] [[بؤرة (كاميرا)|وفتحات]] العدسات [[سرعة شريط التصوير الضوئي|وسرعات الأفلام]] بـ"وقفات".<ref>{{استشهاد مختصر|Allen|2011|ص=228|لغة=en}}</ref>

يُستخدم الاختصار {{تعبير رياضي|log ''x''}} غالبًا عندما يمكن استنتاج الأساس المقصود بناءً على السياق أو التخصص، أو عندما يكون الأساس غير محدد أو غير مهم. تعد اللغارتمات العادية (للأساس 10)، التي استخدمت تاريخيًا في جداول اللغارتمات والمساطر الانزلاقية، أداة أساسية للقياس والحساب في العديد من مجالات العلوم والهندسة؛ وفي هذه السياقات، لا يزال {{تعبير رياضي|log x}} يعني في كثير من الأحيان لغارتم الأساس عشرة.<ref>{{استشهاد مختصر|Parkhurst|2006|ص=288|لغة=en}}</ref> في الرياضيات، يشير {{تعبير رياضي|log ''x''}} عادةً إلى اللغارتم الطبيعي (الأساس {{تعبير رياضي مائل|e}}).<ref>{{استشهاد مختصر|Rudin|1976|ص=62|لغة=en}}</ref> في علوم الحاسوب ونظرية المعلومات، يشير {{تعبير رياضي|log}} غالبًا إلى اللغارتمات الاثنانية (للأساس 2).<ref>
{{استشهاد مختصر|Goodrich|2003|ص=23|لغة=en}}</ref> يسرد الجدول التالي التدوينات الشائعة للغارتمات هذه الاُسُس. يسرد عمود "التدوين وفق ISO" التسميات التي اقترحتها [[المنظمة الدولية للمعايير|المنظمة الدولية للمَعْيَرَة]].<ref>{{استشهاد مختصر|ISO|2009|ص=18|لغة=en}}</ref>

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
!scope="col"| الأساس {{تعبير رياضي مائل|b}}
!scope="col"| اسم (log<sub>''b''</sub> ''x'')
!scope="col"| التدوين وفق ISO
!scope="col"| التدوين العلمي العربي<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|مختار|1986|ص=38-39}}</ref>
!scope="col"| تدوينات أخرى
|-
!scope="row"| 2
| [[لغارتم اثناني]]
| {{تعبير رياضي|lb ''x''}}&nbsp;<ref name=gullberg>
{{استشهاد مختصر|Gullberg|1997|ص=154|لغة=en}}
</ref>
| لو<sub>2</sub>(س)
| {{تعبير رياضي|ld ''x''}}, {{تعبير رياضي|log ''x''}}, {{تعبير رياضي|lg ''x''}},<ref>{{استشهاد مختصر|Chicago Press|2003|ص=530|لغة=en}}</ref> {{تعبير رياضي|log<sub>2</sub> ''x''}}
|-
! scope="row"|{{تعبير رياضي مائل|e}}
| [[لغارتم طبيعي]]
| {{تعبير رياضي|ln ''x''}}&nbsp;{{refn|name=adaa|group=ملا|بعض علماء الرياضيات لا يوافقون على هذه التدوين. انتقد [[بول هالموس|بُول هَلْمُوس]] ما اعتبره "تبسيطًا للتلامذة" (The use of ln is a textbook vulgarization)، الذي قال أنه لم يستخدمه أي عالم رياضيات من قبل، وهذا في سيرته الذاتية التي نشرها عام 1985.<ref>{{استشهاد مختصر|Halmos|1985|ص=271|لغة=en}}</ref> صاغ هذا التدوين عالم الرياضيات {{وإو|تر=Irving Stringham|عر=إرفنغ سترنغهام|نص=إرْفِنْغ سْترِنْغَام}} في القرن التاسع عشر.<ref>{{ترقيم استشهادات
|م1={{استشهاد مختصر|Stringham|1893|ص=13|لغة=en}}
|م2={{استشهاد مختصر|Freedman2005|ص=59|لغة=en}}
}}</ref>
}}
| لو<sub>هـ</sub>(س)
| {{تعبير رياضي|log {{تعبير رياضي مائل|x}}}}, {{تعبير رياضي|log<sub>''e''</sub> ''x''}}
|-
!scope="row"| 10
| [[لغارتم عشري]]
| {{تعبير رياضي|lg ''x''}}
| لو<sub>10</sub>(س)
| {{تعبير رياضي|log ''x''}}, {{تعبير رياضي|log<sub>10</sub> ''x''}}
|-
!scope="row"| {{تعبير رياضي مائل|b}}
| لغارتم الأساس {{تعبير رياضي مائل|b}}
| {{تعبير رياضي|log<sub>''b''</sub> ''x''}}
| لو<sub>أ</sub>(س)
| 
|}

== التسمية ==
'''لُغَارِتْم''' اسم [[تعريب (لغة)|مُعرَّب]] من إحدى اللغات الأوروبية وعلى الأرجح من [[اللغة الفرنسية|الفرنسية]] logarithme التي استعيرت استعارةً غير مباشرة من [[لاتينية العصور الوسطى|اللاتينية الوسطى]] logarithmus وتعني حرفيًا "عدد نسبي"،{{Refn|بالإنجليزية: Ratio number، لا ينبغي الخلط مع [[عدد كسري|الأعداد المُنْطَقَة]] الذي تسمى في بعض الدول العربية بالأعداد النسبية.|group=ملا}} هذه الأخيرة مشتقة من الكلمتين اليونانيتين logos "نسبة، كلمة" وarithmos "عدد"، وهي من صياغة [[جون نابير]] سنة 1614؛<ref>{{استشهاد مختصر|Simpson|1989|ص=1104|ج=8|لغة=en}}</ref> أورد [[مجمع اللغة العربية بدمشق]] هذه التهجئة العربية،<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|دعبول|2018|ص=420}}</ref> وهي تتفق مع الكتابة العربية للأسماء، ورد هذا المصطلح أيضًا بتهجئات أخرى في مختلف المراجع والمعجمات مثل '''لوغاريتم'''<ref group="عر">{{ترقيم استشهادات|نمط=محرف عربي
|م1={{استشهاد مختصر|دنان|1984|ص=1008}}
|م2={{استشهاد مختصر|مكتب التنسيق|1990|ص=90}}
|م3={{استشهاد مختصر|بوروفسكي|1995|ص=370}}
|م4={{استشهاد مختصر|الخطيب|2001|ص=414}}
|م5={{استشهاد مختصر|مجمع القاهرة|2019|ص=247}}
}}</ref> و'''لُوغَارِتْم'''<ref group="عر">{{ترقيم استشهادات|نمط=محرف عربي
|م1={{استشهاد مختصر|دبس|1983|ص=1870}}
|م2={{استشهاد مختصر|الخياط|2009|ص=1176}}
}}</ref> و'''لُوغَارِثْم'''<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|البعلبكي|2005|ص=1067}}</ref> و'''لُوغَارِتْمَة'''.<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|جامعة الدول|1970|ص=490}}</ref> من المقابلات العربية المُقتَرَحة للمصطلح '''النَّسَب''' {{جمع|أنساب}} وهو يعني في الأصل القَرَابة، واستخدمت هنا بمعنى القرابة بين الأعداد وتحديدًا الصلة بين الأساس وقوته،<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|مجمع القاهرة|1948|ج=5|ص=229}}</ref> لكنها لم تحظَ بالقبول لذلك أوصى [[مجمع اللغة العربية بالقاهرة]] بتجنب استعمالها، كما اقتُرح مصطلح '''الأَسِيس'''<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|البعلبكي|2002|ص=109}}</ref> المشتق من الجذر «أ س س» الذي من معانيه أصل الشيء ومبتدؤه،<ref group="وب-عر">{{استشهاد بويب
|عنوان=أ س س
|مسار=https://almojam.org/?id=5694
|موقع=[[المعجم التاريخي للغة العربية|المُعجَم التّاريخي للّغة العربيّة]]
|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20251024232542/http://web.archive.org/screenshot/https://almojam.org/?id=5694
|تاريخ أرشيف=24-10-2025
|تاريخ-الوصول=25-10-2025}}</ref> ومن هذا الجذر اشتُق أيضًا مصطلحَا الأُسّ والأَسَاس.

== نبذة تاريخية ==

وضع عالم الرياضيات [[ابن حمزة المغربي]] في أواخر القرن 16 حجر الأساس للغارتمات عن طريق ربط إساس أساس حدود [[متتالية هندسية|المتوالية الهندسية]] بحدود تلك [[متتالية حسابية|الحسابية]] من خلال نص من كتاب «[[تحفة الأعداد لذوي الرشد والسداد]]» المنشور [[اللغة التركية العثمانية|بالتركية العثمانية]]:
{{اقتباس|إن أس أساس أي حد من حدود متتالية هندسية تبدأ بالواحد الصحيح، يساوي مجموع أسي الأساس في الحدين اللذين حاصل ضربهما يساوي الحد المذكور ناقصاً واحداً}}

أي بلغة الرياضيات الحالية <math>T_i.T_j=T_{i+j-1}</math>، وفيه <math>T_n</math> هو حد المتوالية الهندسية.

وقد شُرِح هذا بأن ابن حمزة أورد المتواليتين «1، 2، 4، 8، 16، 32 ...» و «1، 2، 3، 4، 5، 6 ...» واعتبر حدود المتوالية الثانية هي إسَاس للأساس المساوي لـ 2 في حدود الأولى، إلا أن تلك الإساس غير متوافقة مع الأولى وعلى الأرجح هي أرقام ترتيب حدود المتوالية الهندسية، وأيضًا لم يستخدم الصفر في المتوالية الثانية، وقد أشار المؤرخ التركي [[عدنان أديوار]] أنه لو بدأ ابن حمزة المتوالية العددية بالصفر لتمكن من وصف اللغارتمات 25 عامًا قبل [[جون نابير]].<ref group="عر">{{ترقيم استشهادات|نمط=محرف عربي
|م1={{استشهاد مختصر|الدفاع|1983|ص=274-275}}
|م2={{استشهاد مختصر|سودان|2003|ص=560-561}}}}</ref><ref group="فر">{{استشهاد مختصر|Adıvar|1939|ص=76|لغة=fr}}</ref>

شهد تاريخ اللغارتمات في أوروبا في القرن السابع عشر اكتشاف [[دالة]] جديدة وسعت نطاق التحليل إلى ما وراء نطاق الأساليب الجبرية. وقد كشف [[جون نابير]] طريقة اللغارتمات للعموم في عام 1614، في كتاب بعنوان {{وإو|وصف قانون اللغارتمات الرائع|Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio}} (Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio).<ref group="لات">{{ترقيم استشهادات|
|م1={{استشهاد مختصر|Nepero|1614|ص=I|لغة=la}}
|م2={{استشهاد مختصر|Nepero|1619|ص=I|لغة=la}}
}}</ref><ref name="م6"/> استعملت تقنيات أخرى ذات نطاقات مماثلة قبل نشر نابير لعمله، مثل {{وإو|برستافيريسيس|Prosthaphaeresis|4=بُرُسْتافَيْرِسِيس}} أو جداول المتواليات، التي طورها [[يوست بورغي]]، والتي انتشرت انتشارًا واسعًا قرابة عام 1600.<ref>{{استشهاد مختصر|Folkerts|2016|ص=133|لغة=en}}</ref><ref group="وب-إنج">{{استشهاد بويب
| مؤلف1= J. J. O'Connor
|مؤلف2=E. F. Robertson
|عنوان = Jost Bürgi
| مسار = https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Burgi/
|موقع = University of St Andrews, Scotland
|لغة = en
|تاريخ أرشيف = 04-10-2025
| مسار أرشيف  = https://web.archive.org/web/20251004184959/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Burgi/
|تاريخ الوصول = 29-10-2025}}</ref>

اللغارتم الشائع لعدد ما هو دليل قوة العشرة التي تساوي هذا العدد.<ref>{{استشهاد مختصر|Gardiner|1742|ص=1|لغة=en}}</ref> عندما نقول إن عددًا ما يتطلب عددًا كبيرًا من الأرقام، فإننا نشير تقريبيًا إلى اللغارتم الشائع، والذي أشار إليه [[أرخميدس]] بـ"ترتيب العدد".<ref>{{استشهاد مختصر|Pierce|1977|ص=22–26|لغة=en}}</ref> كانت اللغارتمات الحقيقية الأولى طرائق تجريبيةً لتحويل الضرب إلى جمع، مما يسهل التحسيب السريع. استخدمت بعض هذه الطرق جداول مستمدة من المتطابقات المثلثية.<ref>{{استشهاد مختصر|González-Velasco|2011|ص=117|لغة=en}}</ref> تسمى هذه الطرق {{وإو|برستافيريسيس|Prosthaphaeresis|4=بِبُرُسْتافَيْرِسِيس}}.

بدأ اختراع [[دالة|الدالة]] المعروفة الآن باسم [[لغارتم طبيعي|اللغارتم الطبيعي]] محاولةً لإجراء [[تربيع (مساحات)|تربيع]] [[قطع زائد|قطع]] [[قطع زائد|زائد]] قائم الذي أجراه [[غريغوار دو سان فنسان]]، وهو راهب يسوعي بلجيكي مقيم في [[براغ]].<ref name=":6">{{استشهاد مختصر|Cajori|1913a|ص=10-13|لغة=en}}</ref> كان أرخميدس قد كتب كتاب "[[تربيع القطع المكافئ]]" في القرن الثالث قبل الميلاد، ولكن تربيع القطع الزائد ظل بعيدًا عن متناول جميع الجهود حتى نشر سان فنسان نتائجه في عام 1647.<ref name=":6" /> دفعت العلاقة التي يوفرها اللغارتم بين [[متتالية هندسية|المتوالية الهندسية]] في [[عمدة دالة|عُمدته]] [[متتالية حسابية|والمتوالية الحسابية]] من القيم، {{وإو|ألفونس أنطونيو دي سارسا|Alphonse Antonio de Sarasa}} إلى الربط بين تربيع سان فنسان وتقليد اللغارتمات في {{وإو|برستافيريسيس|Prosthaphaeresis|4=بُرُسْتافَيْرِسِيس}}،<ref name=":6" /> مما أدى إلى وضع مصطلح "اللغارتم الزائدي"، وهو مرادف للغارتم الطبيعي.<ref>{{استشهاد مختصر|Cajori|1913b|ص=78|لغة=en}}</ref> وسرعان ما حظيت الدالة الجديدة بتقدير [[كريستيان هويغنس|كريستيان]] [[كريستيان هويغنس|هويغنس]] [[جيمس غريغوري (عالم)|وجيمس غريغوري]]. اعتمد [[غوتفريد لايبنتس|غوتفريد فِلْهِلْم لايبنتس]] التدوين {{تعبير رياضي|Log ''y''}} في عام 1675، وفي العام التالي ربطه [[تكامل|بالتكامل]] <math display="inline">\int \frac{dy}{y} </math>.<ref>{{استشهاد مختصر|Cajori|1913a|ص=13|لغة=en}}</ref>

قبل أن يطور أويلر مفهومه الحديث للغارتمات الطبيعية العقدية، توصل [[روجر كوتس]] إلى نتيجة مماثلة تقريبًا عندما أظهر في عام 1714 أن:<ref>{{استشهاد مختصر|Stillwell|2010|ص=315|لغة=en}}</ref>

<math display="block">\log(\cos \theta + i\sin \theta) = i\theta.</math>

== جداول اللغارتمات، والمساطر الانزلاقية والتطبيقات التاريخية ==
[[ملف:Logarithms Britannica 1797.png|تصغير|مادة «Logarithms» في طبعة 1797 من [[الموسوعة البريطانية]].]]

ساهمت اللغارتمات في تقدم العلوم بتبسيط الحسابات الصعبة قبل ظهور الآلات الانزلاقية والحاسوب، وخاصة [[علم الفلك]]. كانت اللغارتمات ضرورية للتقدم في مجالات [[مساحة (تخصص)|المساحة]] [[ملاحة فلكية|والملاحة الفلكية]] وغيرها من المجالات. وصف [[بيير لابلاس|بيير سيمون لابلاس]] اللغارتمات بأنها:<ref>{{استشهاد مختصر|Bryant|1907|ص=44|لغة=en}}</ref>

<blockquote>... حيلة رائعة، تقلل من عمل عدة أشهر إلى بضعة أيام، وتُضاعِف عمر الفلكي، وتجنبه الأخطاء والإحباط اللذين لا ينفصلان عن الحسابات الطويلة.</blockquote>

نظرًا لأن الدالة {{تعبير رياضي|''f''(''x'') {{=}} {{تعبير رياضي مائل|b}}<sup>''x''</sup>}} هي الدالة العكسية لـ {{تعبير رياضي|1=log<sub>''b''</sub> ''x''}}، فقد أُطلق عليها اسم '''مقابل اللغارتم'''.<ref>{{استشهاد مختصر|Abramowitz|1965|ص=89|لغة=en}}</ref> في الوقت الحاضر، يُطلق على هذه الدالة اسم [[دالة أسية|الدالة الأسية]].

=== جداول اللغارتمات ===
جدول اللغارتمات أداة أساسية مكَّنت من الاستخدام العملي للغارتمات قبل اختراع الآلة الحاسبة.<ref>{{استشهاد مختصر|Jagger|2003|ص=50|لغة=en}}</ref> أعدّ [[هنري بريغز (عالم رياضيات)|هنري بريغز]] أول جدول من هذا النوع في عام 1617، مباشرة بعد اختراع نابير، ولكنه اعتمد العدد 10 أساسًا لها بدلًا من {{تعبير رياضي مائل|e}}. احتوى جدول بريغز الأول على [[لغارتم عشري|اللغارتمات الشائعة]] للأعداد الصحيحة بين 1 و1000، بدقة 14 رقمًا. بعد ذلك، وُضِعت جداول تشمل قيمًا أعلى. أدرجت هذه الجداول قيم {{تعبير رياضي|log<sub>10</sub> ''x''}} لأي عدد {{تعبير رياضي مائل|x}} في نطاق معين، بدقة معينة. استخدمت اللغارتمات ذات الأساس 10 عمومًا في الحساب فشاعت، ولهذا سُمِّيت باللغارتمات الشائعة، يمكن فصل اللغارتم الشائع لـ {{تعبير رياضي مائل|x}} إلى [[دالتان سقفية وأرضية|جزء صحيح]] {{وإو|جزء كسري|Fractional part|4=وجزء كسري}} اعتمادًا على حقيقة أن الأعداد التي تتباعد قيمها بمضاعفات العدد 10 لها لغارتمات تتباعد قيمها بأعداد صحيحة، يُعرفان بالمميزة والجزء العشري. لا تحتاج جداول اللغارتمات إلا إلى تضمين الجزء العشري، ويمكن تحديد المميزة بسهولة عن طريق عد الأرقام بعد الفاصلة.<ref>{{استشهاد مختصر|Spiegel|2006|ص=264|لغة=en}}</ref> مميزة {{تعبير رياضي|10 · {{تعبير رياضي مائل|x}}}} هي واحد زائد مميزة x، وجزئيهما العشريان متماثلان. ومن ثم، باستخدام جدول لغارتمي ثلاثي الأرقام، يمكن تقريب لغارتم 3542 وفق ما يأتي:

<math display="block">\begin{align}
\log_{10}3542 &= \log_{10}(1000 \cdot 3.542) \\
&= 3 + \log_{10}3.542 \\
&\approx 3 + \log_{10}3.54
\end{align}</math>

يمكن الحصول على دقة أكبر عن طريق [[استكمال داخلي|الاستكمال الداخلي]]:

<math display="block">
\log_{10}3542 \approx{} 3 + \log_{10}3.54 + 0.2 (\log_{10}3.55-\log_{10}3.54)
</math>

يمكن تحديد قيمة {{تعبير رياضي|10<sup>''x''</sup>}} عن طريق البحث العكسي في الجدول نفسه، لأن اللغارتم [[دالة رتيبة|دالة]] [[دالة رتيبة|رتيبة]].

=== تحسيبات ===
حُسِب جُداء عددين موجبين {{تعبير رياضي مائل|c}} و''{{تعبير رياضي مائل|d}}'' وخارج قسمتهما عادةً على صورة المجموع والفرق بين لغارتماتهما. وجاء الجداء {{تعبير رياضي|''cd''}} أو خارج القسمة {{تعبير رياضي|''c''/''d''}} من البحث عن مقابل اللغارتم للمجموع أو الفرق، عبر الجدول نفسه:

<math display="block"> cd = 10^{\, \log_{10} c} \, 10^{\,\log_{10} d} = 10^{\,\log_{10} c \, + \, \log_{10} d}</math>

و

<math display="block">\frac c d = c d^{-1} = 10^{\, \log_{10}c \, - \, \log_{10}d}</math>

إجراء عمليات البحث عن لغارتمين لحساب العمليات الحسابية اليدوية التي تتطلب دقة ملحوظة، مثل: حساب مجموع لغارتمين، أو الفرق بينهما، والبحث عن مقابل اللغارتم، أسرع بكثير من إجراء الضرب بالطرق السابقة مثل {{وإو|برستافيريسيس|Prosthaphaeresis|4=بُرُسْتافَيْرِسِيس}} التي تعتمد على [[قائمة المتطابقات المثلثية|المتطابقات المثلثية]].

تُختزل عمليات حساب القوى [[جذر نوني|والجذور]] إلى عمليات ضرب أو قسمة وعمليات بحث عن طريق هذه المعادلة:

<math display="block">c^d = \left(10^{\, \log_{10} c}\right)^d =  10^{\, d \log_{10} c}</math>

و

<math display="block">\sqrt[d]{c} = c^\frac{1}{d} = 10^{\frac{1}{d} \log_{10} c}</math>

سُهِّلَت العمليات الحسابية المثلثية من خلال الجداول التي تحتوي على اللغارتمات العادية [[دوال مثلثية|للدوال المثلثية]].

=== المساطر الانزلاقية ===
{{مفصلة|مسطرة حاسبة}}

المسطرة الانزلاقية تطبيق آخر بالغ الأهمية للغارتم وتسمى أيضا المسطرة الحاسبة، تتألف من زوجين من السلالم المقسمة لغارتميًا. اختُرع السُّلَّم اللغارتمي غير الانزلاقي، المُسمَّى سلم غونتر {{إنج|Gunter's scale}}، بعد فترة وجيزة من وصف نابير للغارتم، ثم طورها [[ويليام أوتريد|وليم أوتريد]] لاختراع المسطرة الحاسبة، وهي زوجان من السلالم اللغارتمية المتحركة نسبيًا زوجٌ بالنسبة لآخر. توضع الأعداد على مسافات تتناسب مع الفروق بين لغارتماتها على سلمين منزلقين: أسفل وأعلى. يرقى تحريك السلم الأعلى تحريكًا مناسبًا إلى جمع اللغارتمات، كما هو موضح الرسم:

[[ملف:Slide rule example2 with labels.svg|مركز|تصغير|500بك|رسم تخطيطي لمسطرة انزلاقية. بدءًا من 2 على السلم الأسفل، أضيفت المسافة إلى 3 على السلم الأعلى للوصول إلى الجداء 6. تعمل المسطرة الانزلاقية لأنها مُعَلَّمَة لتتناسب المسافة 1 إلى {{تعبير رياضي مائل|x}} مع لغارتم {{تعبير رياضي مائل|x}}.]]

ينتج، على سبيل المثال، عن إضافة المسافة من 1 إلى 2 على السلم الأسفل إلى المسافة من 1 إلى 3 على السلم الأعلى الجداء 6، والذي يُقرأ في الجزء الأسفل. كانت المسطرة الانزلاقية أداة حسابية أساسية للمهندسين والعلماء حتى سبعينيات القرن العشرين، لأنها تسمح، على حساب الدقة، بتحسيب أسرع بكثير من التقنيات المعتمدة على الجداول.<ref name="ReferenceA">{{استشهاد مختصر|Maor|1994|ص=13|لغة=en}}</ref>

== خواص تحليلية ==
تعتمد دراسة اللغارتمات على [[دالة|الدوال]]، والدالة علاقة رياضية تربط بين عناصر مجموعتين، تُسمَّى أولهما منطلق الدالة، وتكون عناصرها عمدتها، وتُسمَّى الثانية مُستقرُّها وعناصرها خرج الدالة.<ref>{{استشهاد مختصر|Devlin|1992|ص=72|لغة=en}}</ref> مثال ذلك الدالة الأسية ذات الأساس الثابت الصحيح الموجب المغاير للواحد {{تعبير رياضي مائل|b}}، والذي يكون أسها مُتغيِّراً من مجموعة الأعداد الحقيقية، صورتها {{تعبير رياضي|1=''f''(''x'') = {{تعبير رياضي مائل|b}}<sup> ''x''</sup>}} وخرجها قيمة من مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة.

=== الوجود ===
ليكن {{تعبير رياضي مائل|b}} عددًا حقيقيًا موجبًا مغايرًا للـ 1، تُعرَّف الدالة {{تعبير رياضي|1=''f''(''x'') = {{تعبير رياضي مائل|b}}<sup> ''x''</sup>}} منطلقها <math>\R</math>، ومستقرها <math>\R^{*+}</math>. لذلك، فإن {{تعبير رياضي مائل|f}} تقابل قيمًا من <math>\R</math> مع قيمٍ من <math>\R^{*+}</math>. بعبارة أخرى، من أجل كل عدد حقيقي موجب {{تعبير رياضي مائل|y}}، يوجد عدد حقيقي واحد فقط {{تعبير رياضي مائل|x}} يُحقِّق <math>b^x = y</math>. الدالة {{تعبير رياضي مائل|f}} مستمرة، تتزايد تمامًا (من أجل {{تعبير رياضي|''b'' > 1}})، أو تتناقص تمامًا (من أجل {{تعبير رياضي|0 < {{تعبير رياضي مائل|b}} < 1}})،<ref name="LangIV.2">{{استشهاد مختصر|Lang|1997|ص=83-90|لغة=en}}</ref>

من النتائج المعيارية في التحليل الحقيقي أن أي دالة مستمرة [[دالة رتيبة|ورتيبة]] تمامًا تكون [[تقابل (دالة)|تقابلية]] بين منطلقها ومستقرها، أي لكل عنصر في المستقر عنصر واحد يرتبط معه على الأكثر في المنطلق. هذه الحقيقة تنبع من [[مبرهنة القيمة الوسطية|مبرهنة القيمة المتوسطة]].<ref name="LangIII.3">{{استشهاد مختصر|Lang|1997|ص=50-59|لغة=en}}</ref>

يُشتر إلى معكوس الدالة {{تعبير رياضي مائل|f}} بجعل <math>\log_b\colon\R^{*+}\to\R</math>. أي أن {{تعبير رياضي|log<sub>''b''</sub> ''y''}} هو العدد الحقيقي الوحيد {{تعبير رياضي مائل|x}} بحيث <math>b^x = y</math>. تسمى هذه الدالة "دالة اللغارتم للأساس b" أو "الدالة اللغارتمية" (أو "اللغارتم" فقط).

=== تمييز بصيغة الجداء ===
يمكن أيضًا تمييز الدالة {{تعبير رياضي|log<sub>''b''</sub> ''x''}} أساسًا من خلال صيغة الجداء:

<math display="block">\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y.</math>

بتعبير أدق، اللغارتم لأي أساس {{تعبير رياضي|''b'' > 1}} هو [[دالة رتيبة|الدالة]] [[دالة رتيبة|المتزايدة]] الوحيدة ''f'' المعرفة من الأعداد الحقيقية الموجبة إلى الأعداد الحقيقية التي تحقق {{تعبير رياضي|1=''f''(''b'') = 1}} و:<ref>{{استشهاد مختصر|Dieudonné|1969|ص=84|لغة=en}}</ref>

<math display="block">f(xy)=f(x)+f(y).</math>

=== بيان دالة اللغارتم ===
[[ملف:Logarithm inversefunctiontoexp.svg|تصغير|يُحصَل على بيان دالة اللغارتم {{تعبير رياضي|log<sub>''b''</sub> (''x'')}} (الأزرق) عن طريق [[انعكاس (رياضيات)|عكس]] بيان الدالة {{تعبير رياضي|''b''<sup>''x''</sup>}} (الأحمر) على القطر ({{تعبير رياضي|1=''x'' = {{تعبير رياضي مائل|y}}}}).|alt=The graphs of two functions.]]
كما نوقش أعلاه، فإن الدالة {{تعبير رياضي|log<sub>''b''</sub>}} هي معكوس الدالة الأسية <math>x\mapsto b^x</math>. لذلك، فإن بياناتهما تتطابق عند مبادلة الفواصل والتراتيب -إحداثيات {{تعبير رياضي مائل|x}} و {{تعبير رياضي مائل|y}}- (أو عند الانعكاس على القطر {{تعبير رياضي|1=''x'' = ''y''}})، كما هو موضح على اليمين: النقطة {{تعبير رياضي|1=(''t'', ''u'' = {{تعبير رياضي مائل|b}}<sup>''t''</sup>)}} على بيان {{تعبير رياضي مائل|f}} تعطي النقطة {{تعبير رياضي|1=(''u'', ''t'' = log<sub>''b''</sub> ''u'')}} على بيان اللغارتم والعكس بالعكس. ونتيجة لذلك، فإن {{تعبير رياضي|log<sub>''b''</sub> (''x'')}} [[نهاية متتالية|تتباعد إلى ما لا نهاية]] (تصبح أكبر من أي عدد معين) إذا زاد {{تعبير رياضي مائل|x}} إلى ما لا نهاية، بشرط أن يكون {{تعبير رياضي مائل|b}} أكبر من واحد. في هذه الحالة، تكون {{تعبير رياضي|log<sub>''b''</sub>(''x'')}} دالة متزايدة. من أجل {{تعبير رياضي|''b'' < 1}}، تؤول {{تعبير رياضي|log<sub>''b''</sub> (''x'')}} إلى سالب ما لا نهاية بدلاً من ذلك. عندما يقترب {{تعبير رياضي مائل|x}} من الصفر، تؤول {{تعبير رياضي|log<sub>''b''</sub> ''x''}} إلى سالب ما لا نهاية من أجل {{تعبير رياضي|''b'' > 1}} (إلى موجب ما لا نهاية من أجل {{تعبير رياضي|''b'' < 1}}، على الترتيب).

=== المشتق ومعاكسه ===
[[ملف:Logarithm derivative.svg|تصغير|بيان [[لغارتم طبيعي|اللغارتم الطبيعي]] (بالأخضر) ومماسه عند {{تعبير رياضي|''x'' {{=}} 1.5}} (بالأسود)|alt=A graph of the logarithm function and a line touching it in one point.]]
تنتقل الخواص التحليلية للدوال إلى معكوساتها.<ref name="LangIII.3" /> ومن ثم، بما أنّ {{تعبير رياضي|1=''f''(''x'') = {{تعبير رياضي مائل|b}}<sup>''x''</sup>}} دالة مستمرة [[دالة قابلة للاشتقاق|وقابلة للاشتقاق]]، فإن {{تعبير رياضي|log<sub>''b''</sub> ''y''}} هي كذلك أيضًا. عمومًا، تكون الدالة المستمرة قابلة للاشتقاق إذا كان بيانها لا يحتوي على "زوايا" مدببة. علاوةً على ذلك، بما أنّ [[مشتق (رياضيات)|مشتق]] {{تعبير رياضي|''f''(''x'')}} يساوي {{تعبير رياضي|ln(''b'') ''b''<sup>''x''</sup>}} وفقًا لخواص [[دالة أسية|الدالة الأسية]]، فإنّ [[قاعدة السلسلة]] تنص على أنّ مشتقة {{تعبير رياضي|log<sub>''b''</sub> ''x''}} تُعطى بـ:<ref name="LangIV.2" /><ref group="وب-إنج">{{استشهاد بويب
|مسار=http://www.wolframalpha.com/input/?i=d/dx(Log(b,x))
|عنوان=d/dx(Log(b,x))
|لغة=en
|ناشر=[[ولفرام ريسيرتش|Wolfram]]
|مسار أرشيف=http://web.archive.org/web/20251004022400/https://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx%28Log%28b%2Cx%29%29
|تاريخ أرشيف=2025-10-04
|تاريخ الوصول=29-10-2025
}}</ref>

<math display="block">\frac{d}{dx} \log_b x = \frac{1}{x\ln b}. </math>

أي أن [[ميل المستقيم|ميل]] [[مماس|المماس]] الذي يمس منحنى لغارتم الأساس {{تعبير رياضي|''b''}} عند النقطة {{تعبير رياضي|(''x'', log<sub>''b''</sub> (''x''))}} يساوي {{تعبير رياضي|1/(''x'' ln(''b''))}}.

مشتقة {{تعبير رياضي|ln(''x'')}} هي {{تعبير رياضي|1/''x''}}؛ وهذا يعني أن {{تعبير رياضي|ln(''x'')}} هي [[مشتق عكسي|معاكس المشتق]] الوحيد لـ {{تعبير رياضي|1/''x''}} التي لها القيمة 0 من أجل {{تعبير رياضي|1=''x'' = 1}}. هذه الصيغة البسيطة للغاية هي التي دفعت إلى وصف اللغارتم الطبيعي بـ "الطبيعي"؛ وهذا أيضًا أحد الأسباب الرئيسة لأهمية [[ه (رياضيات)|الثابت]] [[ه (رياضيات)|{{تعبير رياضي مائل|e}}]].

المشتقة ذات العُمْدة الداليّة المُعمَّمة {{تعبير رياضي|''f''(''x'')}} هي:

<math display="block">\frac{d}{dx} \ln f(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}.</math>

يُسمى خارج القسمة في الطرف الأيمن [[مشتق لغارتمي|مشتقًا لغارتميًا]] لـ ''{{تعبير رياضي مائل|f}}''. يُعرف حساب {{تعبير رياضي|''f<nowiki>'</nowiki>''(''x'')}} بواسطة مشتق {{تعبير رياضي|ln(''f''(''x''))}} باسم {{وإو|مفاضلة لغارتمية|Logarithmic differentiation|4=المفاضلة اللغارتمية}}.<ref>{{استشهاد مختصر|Kline|1998|ص=386|لغة=en}}</ref> معاكس مشتق [[لغارتم طبيعي|اللغارتم الطبيعي]] {{تعبير رياضي|ln(''x'')}} هو:<ref group="وب-إنج">{{استشهاد بويب
|مسار=http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate(ln(x))
|عنوان=Calculation of ''Integrate(ln(x))
|لغة=en
|ناشر=[[ولفرام ريسيرتش|Wolfram]]
|مسار أرشيف=http://web.archive.org/web/20250815080843/https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%28ln%28x%29%29
|تاريخ أرشيف=15-08-2025
|تاريخ الوصول=01-11-2025
}}</ref>

<math display="block">\int \ln(x) \,dx = x \ln(x) - x + C.</math>

يمكن اشتقاق [[قائمة تكاملات الدوال اللغارتمية|الصيغ ذات الصلة]]، مثل معاكسات مشتقات اللغارتمات لأسس أخرى، من هذه المعادلة باستخدام تغيير الأساس.<ref>{{استشهاد مختصر|Abramowitz|1965|ص=69|لغة=en}}</ref>

=== التمثيل التكاملي للغارتم الطبيعي ===
[[ملف:Natural logarithm integral.svg|تصغير|[[لغارتم طبيعي|اللغارتم الطبيعي]] لـ ''{{تعبير رياضي مائل|t}}'' هو المساحة المظللة أسفل بيان الدالة {{تعبير رياضي|1=''f''(''x'') = 1/''x''}}.|alt=A hyperbola with part of the area underneath shaded in grey.]]
يُعرَّف [[لغارتم طبيعي|اللغارتم الطبيعي]] لمتغير {{تعبير رياضي مائل|t}} على أنه [[تكامل|التكامل المحدود]] التالي:

<math display="block">\ln t = \int_1^t \frac{1}{x} \, dx.</math>

ميزة هذا التعريف أنه لا يعتمد على الدالة الأسية أو أي دالة مثلثية؛ فالتعريف هذا هو بدلالة تكامل مقلوب بسيط. بصفته تكاملًا، {{تعبير رياضي|ln(''t'')}} يساوي المساحة بين محور {{تعبير رياضي مائل|x}} وبيان الدالة {{تعبير رياضي|1/''x''}}، التي تُراوح من {{تعبير رياضي|1=''x'' = 1}} إلى {{تعبير رياضي|1=''x'' = ''t''}}. وهذا نتيجة [[المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل|للمبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل]] وحقيقة أن مشتقة {{تعبير رياضي|ln(''x'')}} تساوي {{تعبير رياضي|1/''x''}}. يمكن اشتقاق صيغ لغارتم الجداء والقوة من هذا التعريف.<ref>{{استشهاد مختصر|Courant|1988|ص=167-177|لغة=en}}</ref> على سبيل المثال، يُستنتج صيغة الجداء {{تعبير رياضي|1=ln(''tu'') = ln(''t'') + ln(''u'')}} على النحو التالي:

<math display="block">\begin{align}
\ln(tu) &= \int_1^{tu} \frac{1}{x} \, dx \\
& \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{tu} \frac{1}{x} \, dx \\
& \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^u \frac{1}{w} \, dw \\
&= \ln(t) + \ln(u).
\end{align}</math>

المساواة (1) تجزئ التكامل إلى جزأين، في حين أن المساواة (2) هي تغيير المتغير ({{تعبير رياضي|1=''w'' = {{تعبير رياضي مائل|x}}/''t''}}). في الرسم التوضيحي أدناه، يقابل التجزئة تقسيم المساحة إلى الجزأين الأصفر والأزرق. إعادة ضبط قد المساحة الزرقاء اليسرى عموديًا بمعامل {{تعبير رياضي مائل|t}} وتقليصها بالمعامل نفسه أفقيًا لا يغير مقاسها. وبتحريكها تحريكًا مناسبًا، تتوافق المساحة مع منحني الدالة {{تعبير رياضي|1=''f''(''x'') = 1/''x''}} مرة أخرى. لذلك، فإن المساحة الزرقاء اليسرى، وهي تكامل {{تعبير رياضي|''f''(''x'')}} من {{تعبير رياضي مائل|t}} إلى {{تعبير رياضي مائل|tu}}، هي تكامل من 1 إلى {{تعبير رياضي مائل|u}} نفسه. وهذا يبرر المساواة (2) بإثبات هندسي أكثر.

[[ملف:Natural logarithm product formula proven geometrically.svg|تصغير|مركز|إثبات مرئي لصيغة الجداء للغارتم الطبيعي|alt=The hyperbola depicted twice. The area underneath is split into different parts.]]

يمكن اشتقاق صيغة القوة {{تعبير رياضي|1=ln(''t''<sup>''r''</sup>) = ''r'' ln(''t'')}} بطريقة مماثلة:

<math display="block">\begin{align}
\ln(t^r) &= \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx \\
&= \int_1^t \frac{1}{w^r} \left(rw^{r - 1} \, dw\right) \\
&= r \int_1^t \frac{1}{w} \, dw \\
&= r \ln(t).
\end{align}</math>

تَستخدم المساواة الثانية تغيير المتغيرات ([[تكامل بالتعويض|التكامل بالتعويض]])، {{تعبير رياضي|1=''w'' = {{تعبير رياضي مائل|x}}<sup>1/''r''</sup>}}.

يسمى مجموع مقاليب الأعداد الطبيعية،

<math display="block">1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},</math>

[[متسلسلة متناسقة (رياضيات)|بالمتسلسلة التوافقية]]. وهو مرتبط ارتباطًا وثيقًا [[لغارتم طبيعي|باللغارتم الطبيعي]]: عندما يقترب {{تعبير رياضي مائل|n}} من [[لانهاية|اللانهاية]]، فإن الفرق

<math display="block">\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n),</math>

يتقارب (أي يقترب كيفيًا) إلى عدد يعرف باسم [[ثابت أويلر]] [[ثابت أويلر|وماسكيروني]] {{تعبير رياضي|1 = ''γ'' = 0.5772...}}. تساعد هذه العلاقة في تحليل أداء الخوارزميات مثل خوارزمية [[الفرز السريع]].<ref>{{استشهاد مختصر|Havil|2003|ص=95-97, 128-129|لغة=en}}</ref>

=== تسامي اللغارتم ===
تُسمَّى [[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]] غير [[عدد جبري|الجبرية]] [[عدد متسام|بالأعداد المتسامية]]؛<ref>{{استشهاد مختصر|Nomizu|1996|ص=21|لغة=en}}</ref> [[ط (رياضيات)|{{pi}}]] و ''[[ه (رياضيات)|e]]''، على سبيل المثال، عددان متساميان، ولكن <math>\sqrt{2-\sqrt 3}</math> ليس متساميًا. الأعداد الحقيقية أعداد متسامية {{وإو|غالب (رياضيات)|Almost all|4=بغالبها}}، واللغارتم مثال عن الدالة المتسامية. تنص [[مبرهنة غيلفوند وشنايدر]] على أن قيم اللغارتمات متسامية، أو "صعبة" {{إنج|difficult}} حسب تعبير النظرية.<ref>{{استشهاد مختصر|Baker|1975|ص=10|لغة=en}}</ref>

== حساب ==
[[ملف:Logarithm keys.jpg|تصغير|مفاتيح اللغارتم (LOG للأساس 10 و LN للأساس e) على آلة حاسبة بيانية {{وإو|سلسلة TI-83|TI-83 series|4=TI-83 بْلَاس}}]]
حساب اللغارتمات سهل في بعض الحالات، مثل {{تعبير رياضي|1=log<sub>10</sub> (1000) = 3}}. عمومًا، يمكن حساب اللغارتمات باستخدام [[متسلسلة قوى|متسلسلات القوى]] أو [[وسط حسابي هندسي|الوسط الحسابي الهندسي]]، أو استحضارها من جدول لغارتمات محسوب مسبقًا يوفر دقة ثابتة.<ref>{{ترقيم استشهادات
|م1={{استشهاد مختصر|Muller|2006|ص=72, 95|لغة=en}}
|م2={{استشهاد مختصر|Romain|1968|ص=91|لغة=en}}}}</ref> يمكن أيضًا استخدام [[طريقة نيوتن]]، وهي طريقة تكرارية لحل المعادلات بالتقريب، لحساب اللغارتم، لأن دالته العكسية، الدالة الأسية، يمكن حسابها بكفاءة.<ref>{{استشهاد مختصر|Zhang|1994|ص=281-282|لغة=en}},</ref> باستخدام جداول البحث، يمكن استخدام طرق شبيهة بطريقة «[[كوردك]]» {{إنج|CORDIC}} لحساب اللغارتمات باستخدام عمليات الجمع {{وإو|إزاحة حسابية|Arithmetic shift|4=وإزاحة البِتات}} فقط.<ref>{{استشهاد مختصر|Meggitt|1962|ص=210–226|لغة=en}}</ref><ref group="وب-إنج">{{استشهاد بويب
|مؤلف=[[وليم كاهان|William Kahan]]
| تاريخ = 20-05-2001
|عنوان = Pseudo-Division Algorithms for Floating-Point Logarithms and Exponentials
|مسار = https://ieeemilestones.ethw.org/w/images/3/30/Wk_pseudo_division_log_exp_may01.pdf
|موقع = IEEE Milestones Program
|لغة= en
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20240716195247/https://ieeemilestones.ethw.org/w/images/3/30/Wk_pseudo_division_log_exp_may01.pdf
|تاريخ أرشيف = 16-07-2024
|تاريخ الوصول = 02-11-2025}}</ref> علاوة على ذلك، تَحسُب خوارزمية اللغارتم الاثناني دالة {{تعبير رياضي|lb(''x'')}} [[عودية|عَوْدِيًّا]]، بناءً على التربيعات المتكررة لـ {{تعبير رياضي مائل|x}}، مستفيدة من العلاقة:

<math display="block">\log_2\left(x^2\right) = 2 \log_2 |x|.</math>

=== متسلسلات القوى ===

==== متسلسلات تَيْلور ====
من أجل أي عدد حقيقي {{تعبير رياضي مائل|z}} يحقق {{تعبير رياضي|0 < ''z'' ≤ 2}}، تنطبق الصيغة التالية:{{refn|تنطبق نفس المتسلسلة على القيمة الرئيسة لِلُّغارتم العقدي للأعداد العقدية {{تعبير رياضي مائل|z}} التي تحقق {{تعبير رياضي|{{!}}''z'' − 1{{!}} < 1}}.|group=ملا}}<ref name="م2">{{استشهاد مختصر|Abramowitz|1965|ص=68|لغة=en}}</ref>[[ملف:Taylor approximation of natural logarithm.gif|تصغير|متسلسلة تيلور لـ {{تعبير رياضي|ln(''z'')}} المتمركزة عند {{تعبير رياضي|''z'' {{=}} 1}}. تُظهر الصورة المتحركة أولى 10 تقريبات إلى جانب التقريبين 99 و 100. لا تتقارب التقريبات بعد مسافة 1 من المركز.|alt=An animation showing increasingly good approximations of the logarithm graph.]]<math display="block">
\begin{align}\ln (z)  &= \frac{(z-1)^1}{1} - \frac{(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3} - \frac{(z-1)^4}{4} + \cdots \\
&= \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{(z-1)^k}{k}.
\end{align}
</math>

إن إجراء مساواة الدالة {{تعبير رياضي|ln(''z'')}} بهذا المجموع ([[متسلسلة (رياضيات)|المتسلسلة]]) اللانهائي هي طريقة مختصرة للقول بأن الدالة يمكن تقريبها إلى قيمة أكثر دقة من خلال العبارات التالية (المعروفة باسم المجاميع الجزئية):

<math display="block">
(z-1),\ \ (z-1) - \frac{(z-1)^2}{2},\ \ (z-1) - \frac{(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3},\ \ldots
</math>

على سبيل المثال، مع {{تعبير رياضي|''z'' {{=}} 1.5}}، ينتج عن التقريب الثالث {{تعبير رياضي|0.4167}}، وهو أكبر بنحو {{تعبير رياضي|0.011}} مرة من {{تعبير رياضي|ln(1.5) {{=}} 0.405465}}، وينتج عن التقريب التاسع {{تعبير رياضي|0.40553}}، وهو أكبر بنحو {{تعبير رياضي|0.0001}} مرة فقط. يمكن للمجموع الجزئي النوني ({{تعبير رياضي مائل|n}}) تقريب {{تعبير رياضي|ln(''z'')}} بدقة كيفية، بشرط أن يكون عدد الحدود المضافة {{تعبير رياضي مائل|n}} كبيرًا بما يكفي.

في حساب التفاضل والتكامل الابتدائي، يُقال إن المتسلسلة [[متسلسلة متقاربة|تتقارب]] إلى الدالة {{تعبير رياضي|ln(''z'')}}، والدالة هي [[نهاية (رياضيات)|نهاية]] المتسلسلة. وهي [[متسلسلة تايلور|متسلسلة تيلور]] [[لغارتم طبيعي|للغارتم الطبيعي]] عند {{تعبير رياضي|1=''z'' = 1}}. توفر متسلسلة تيلور لـ {{تعبير رياضي|ln(''z'')}} تقريبًا مفيدًا بشكل خاص لـ {{تعبير رياضي|ln(1 + ''z'')}} عندما يكون {{تعبير رياضي مائل|z}} صغيرًا، أي {{تعبير رياضي|{{!}}''z''{{!}} < 1}}، لأنه عندئذٍ:<math display="block">
\ln (1+z) = z - \frac{z^2}{2}  +\frac{z^3}{3} -\cdots \approx z.
</math>

على سبيل المثال، مع {{تعبير رياضي|1=''z'' = 0.1}}، يعطي التقريب من المرتبة الأولى {{تعبير رياضي|ln(1.1) ≈ 0.1}}، والذي يقع ضمن هامش خطأ أقل من {{تعبير رياضي|5%}} عن القيمة الصحيحة {{تعبير رياضي|0.0953}}.

==== معكوس الظل الزائدي ====
متسلسلة أخرى تستند إلى دالة [[دوال زائدية عكسية|معكوس الظل الزائدي]]:

<math display="block">
\ln (z) = 2\cdot\operatorname{artanh}\,\frac{z-1}{z+1} = 2 \left ( \frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3 + \frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots \right ),
</math>

من أجل أي عدد حقيقي {{تعبير رياضي|''z'' > 0}}.{{refn|تنطبق نفس المتسلسلة على القيمة الرئيسة لِلُّغارتم العقدي للأعداد العقدية {{تعبير رياضي مائل|z}} ذات الجزء الحقيقي الموجب.|group=ملا}}<ref name="م2" />  باستخدام [[مجموع (علم الحساب)|تدوين سيغما]]، يُكتب هذا أيضًا على النحو التالي:

<math display="block">\ln (z) = 2\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2k+1}.</math>

يمكن اشتقاق هذه المتسلسلة من متسلسلة تيلور أعلاه. وهي تتقارب تقاربًا أسرع من متسلسلة تيلور، خاصة إذا كان {{تعبير رياضي مائل|z}} قريبًا من 1. على سبيل المثال، من أجل {{تعبير رياضي|1=''z'' = 1.5}}، فإن الحدود الثلاثة الأولى من المتسلسلة الثانية تُقارب {{تعبير رياضي|ln(1.5)}} بخطأ يبلغ نحو {{يسار إلى يمين|{{val|3|e=-6}}}}. يمكن الاستفادة من التقارب السريع لـ {{تعبير رياضي مائل|z}} القريب من 1 بالطريقة التالية: يُعطى تقريب منخفض الدقة {{تعبير رياضي|''y'' ≈ ln(''z'')}} ونضع:

<math display="block">A = \frac z{\exp(y)},</math>

لغارتم {{تعبير رياضي مائل|z}} هو:

<math display="block">\ln (z)=y+\ln (A).</math>

كلما كان التقريب الابتدائي {{تعبير رياضي مائل|y}} أفضل، اقترب {{تعبير رياضي مائل|A}} من 1، ومن ثم يمكن حساب لغارتمه بكفاءة. يمكن حساب {{تعبير رياضي مائل|A}} باستخدام [[دالة أسية|المتسلسلة الأسية]]، التي تتقارب بسرعة شريطة ألا يكون {{تعبير رياضي مائل|y}} كبيرًا جدًا. يمكن تقليص حساب لغارتم {{تعبير رياضي مائل|z}} ذات القيمة الأكبر إلى قيم أصغر لـ {{تعبير رياضي مائل|z}} بكتابة {{تعبير رياضي|''z'' {{=}} ''a'' · 10<sup>''b''</sup>}}، بحيث يكون {{تعبير رياضي|ln(''z'') {{=}} ln(''a'') + {{تعبير رياضي مائل|b}} · ln(10)}}.

يمكن استخدام طريقة وثيقة الصلة لتحسيب لغارتم الأعداد الصحيحة. بوضع <math>\textstyle z=\frac{n+1}{n}</math> في المتسلسلة أعلاه، يترتب على ذلك ما يلي:

<math display="block">\ln (n+1) = \ln(n) + 2\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\left(\frac{1}{2 n+1}\right)^{2k+1}.</math>

إذا كان لغارتم عدد صحيح كبير {{تعبير رياضي مائل|n}} معلومًا، فإن هذه المتسلسلة تعطي متسلسلة سريعة التقارب لـ {{تعبير رياضي|log(''n''+1)}}، [[سرعة التقارب|بمعدل تقارب]] <math display="inline">\left(\frac{1}{2 n+1}\right)^{2}</math>.

=== تقريب بالوسط الحسابي الهندسي ===
يوفر [[متوسط حسابي هندسي|الوسط الحسابي الهندسي]] تقريبات عالية الدقة [[لغارتم طبيعي|للغارتم الطبيعي]]. أظهر ساساكي وكانادا في عام 1982 أن تقريب بالوسط الحسابي الهندسي سريع بشكل خاص للدقة بين 400 و1000 منزلة عشرية، في حين أن طرق التي تعتمد على متسلسلة تيلور كانت عادةً أسرع عندما كانت الدقة المطلوبة أقل. في عملهما، تُقرَّب {{تعبير رياضي|ln(''x'')}} بدقة {{تعبير رياضي|2<sup>−''p''</sup>}} (أو {{تعبير رياضي مائل|p}} بتات دقيقة) بالصيغة التالية (بفضل [[كارل فريدريش غاوس]]):<ref>{{ترقيم استشهادات
|م1={{استشهاد مختصر|Tateaki|1982|ص=247-250|لغة=en}}
|م2={{استشهاد مختصر|Ahrendt|1999|ص=302-312|لغة=en}}}}</ref>

<math display="block">\ln (x) \approx \frac{\pi}{2\, \mathrm{M}\!\left(1, 2^{2 - m}/x \right)} - m \ln(2).</math>

وفيها يشير {{تعبير رياضي|M(''x'', ''y'')}} إلى الوسط الحسابي الهندسي لـ {{تعبير رياضي مائل|x}} و {{تعبير رياضي مائل|y}}. ويُحصَل عليه عن طريق حساب المتوسط {{تعبير رياضي|(''x'' + ''y'')/2}} ([[متوسط حسابي|الوسط الحسابي]]) و <math display="inline">\sqrt{xy}</math> ([[متوسط هندسي|الوسط الهندسي]]) لـ {{تعبير رياضي مائل|x}} و {{تعبير رياضي مائل|y}} بشكل متكرر، ثم جعل هذين العددين يصبحان {{تعبير رياضي مائل|x}} و {{تعبير رياضي مائل|y}} التاليين. يتقارب العددان بسرعة إلى نهاية مشتركة وهو قيمة {{تعبير رياضي|M(''x'', ''y'')}}. يُختار {{تعبير رياضي مائل|m}} بحيث:

<math display="block">x \,2^m > 2^{p/2}.\, </math>

لضمان الدقة المطلوبة. كلما زاد كِبَر {{تعبير رياضي مائل|m}}، زاد عدد الخطوات اللازمة لحساب {{تعبير رياضي|M(''x'', ''y'')}} (حيث يكون {{تعبير رياضي مائل|x}} و {{تعبير رياضي مائل|y}} الأوليان أبعد عن بعضهما، مما يتطلب عددًا أكبر من الخطوات للتقارب)، ولكن ذلك يوفر دقة أكبر. يمكن حساب الثوابت {{تعبير رياضي|{{pi}}}} و {{تعبير رياضي|ln(2)}} باستخدام متسلسلات سريعة التقارب.

=== خوارزمية فاينمان ===
طور [[ريتشارد فاينمان]]، في أثناء عمله في [[مختبر لوس ألاموس الوطني]] على [[مشروع مانهاتن]]، خوارزمية معالجة بتات لتحسيب اللغارتم تشبه القسمة الطويلة، واستُخدمت لاحقًا في [[آلة التواصل]]. تعتمد الخوارزمية على حقيقة أن كل عدد حقيقي {{تعبير رياضي مائل|x}} مع {{تعبير رياضي|1 < ''x'' < 2}} يمكن تمثيله على شكل جداء {{تعبير رياضي مائل|P}} لعوامل متمايزة بالصيغة {{تعبير رياضي|1 + 2<sup>−''k''</sup>}}. تبني الخوارزمية هذا الجداء  تسلسليًا، بدءًا من {{تعبير رياضي|''P'' {{=}} 1}} و {{تعبير رياضي|''k'' {{=}} 1}}: إذا كان {{تعبير رياضي|''P'' · (1 + 2<sup>−''k''</sup>) < ''x''}}، فإنها تغير {{تعبير رياضي مائل|P}} إلى {{تعبير رياضي|''P'' · (1 + 2<sup>−''k''</sup>)}}. ثم تزيد <math>k</math> بمقدار واحد بغض النظر عن النتيجة. تتوقف الخوارزمية عندما يكون {{تعبير رياضي مائل|k}} كبيرًا بما يكفي لإعطاء الضَبَاطة المطلوبة. نظرًا لأن {{تعبير رياضي|log(''x'')}} هو مجموع الحدود من الشكل {{تعبير رياضي|log(1 + 2<sup>−''k''</sup>)}} المقابل لتلك الأعداد {{تعبير رياضي مائل|k}} التي فيها ضُمِّنَّ العامل {{تعبير رياضي|1 + 2<sup>−''k''</sup>}} في الجداء {{تعبير رياضي مائل|P}}، يمكن تحسيب {{تعبير رياضي|log(''x'')}} بعملية جمع بسيطة، باستخدام جدول {{تعبير رياضي|log(1 + 2<sup>−''k''</sup>)}} من أجل قيم {{تعبير رياضي مائل|k}} كلها. يمكن استخدام أي أساس لجدول اللغارتم.<ref>{{استشهاد مختصر|Hillis|1989|ص=78|لغة=en}}</ref>

== تطبيقات ==
[[ملف:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|تصغير|صدفة [[نوتي|النوتي]] تظهر حلزونًا لغارتميًا|alt=A photograph of a nautilus' shell.]]
للّغارتمات العديد من التطبيقات داخل الرياضيات وخارجها. بعض هذه التطبيقات مرتبطة بمفهوم {{وإو|لاتغير السلم|Scale invariance}}. على سبيل المثال، كل حُجْرَة من حُجُرات صدفة [[نوتي|النوتي]] هي نسخة تقريبية من الحجرة التالية، مُدرَّجة بعامل ثابت. وهذا يؤدي إلى ظهور [[حلزون لوغاريتمي|حلزون لغارتمي]].<ref name=":0">{{استشهاد مختصر|Maor|1994|ص=135|لغة=en}}</ref> يمكن أيضًا تفسير [[قانون بنفورد]] بشأن توزيع الأرقام الأولى بلا تغير السلم.<ref name=":1">{{استشهاد مختصر|Frey|2006|ص=275|لغة=en}}</ref> ترتبط اللغارتمات أيضًا [[تشابه ذاتي|بالتشابه الذاتي]]. على سبيل المثال، تظهر اللغارتمات في تحليل الخوارزميات التي تحل مسألة ما عن طريق تقسيمها إلى مسألتين أصغر متشابهتين وربط حلولهما.<ref>{{استشهاد مختصر|Ricciardi|1990|ص=21|لغة=en}}</ref> كما تستند أبعاد الأشكال الهندسية المتشابهة ذاتيًا، أي الأشكال التي تشبه أجزاؤها الصورة الكلية، إلى اللغارتمات. وتُعد [[مقياس لغارتمي|السلالم اللغارتمية]] مفيدة في قياس التغير النسبي لقيمة ما مقابل الفرق المطلق لها. علاوة على ذلك، نظرًا لأن الدالة اللغارتمية {{تعبير رياضي|log(''x'')}} تنمو ببطء شديد بالنسبة لقيم {{تعبير رياضي مائل|x}} الكبيرة، تُستخدم السلالم اللغارتمية لضغط المعطيات العلمية واسعة النطاق. تظهر اللغارتمات أيضًا في العديد من الصيغ العلمية، مثل [[معادلة تسالكوفسكي الصاروخية|معادلة]] [[معادلة تسالكوفسكي الصاروخية|الصاروخ لتسالكوفسكي]]، [[معادلة فينسك|ومعادلة فِنْسك]]، أو [[معادلة نرنست]].

=== السلم اللغارتمي ===
{{مفصلة|مقياس لغارتمي{{!}}سلم لغارتمي}}

[[ملف:Germany Hyperinflation (mathmatical notation)-ar.svg|مخطط لغارتمي يوضح قيمة [[مارك ذهبي|المارك الذهبي]] الواحد [[مارك ورقي|بالمارك الورقي]] خلال فترة [[التضخم الجامح في جمهورية فايمار|التضخم الجامح في ألمانيا في عشرينيات القرن 20]].|تصغير]]
غالبًا ما تُعبَّر عن الكميات العلمية على شكل لغارتمات لكميات أخرى، باستخدام سلم لغارتمي. على سبيل المثال، [[ديسيبل|الديسيبل]] هو [[وحدة قياس]] مرتبطة بكميات [[مقياس لغارتمي|السلم اللغارتمي]]. وهو يعتمد على اللغارتم الشائع [[نسبة (رياضيات)|للنسب]] — 10 مرات اللغارتم الشائع لنسبة [[قدرة (فيزياء)|القدرة]] أو 20 مرة اللغارتم الشائع لنسبة [[جهد كهربائي|الجهد]]. يستخدم لقياس توهين الإشارات الكهربائية أو تضخيمها،<ref>{{استشهاد مختصر|Sankaran|2002|ص=158-159|لغة=en}}</ref> ولوصف مستويات قدرة الأصوات في [[صوتيات (فيزياء)|الصوتيات]]،<ref>{{استشهاد مختصر|Maling|2007|ص=970-991|لغة=en}}</ref> [[امتصاصية|وامتصاصية]] الضوء في مجالات [[مطيافية|المطيافية]] [[بصريات|والبصريات]]. تُقَاس [[نسبة الإشارة إلى الضجيج]] التي تصف مقدار [[ضجيج (إلكترونيات)|الضجيج]] غير المرغوب فيه بالنسبة إلى [[إشارة (علوم)|إشارة]] (ذات معنى) بالديسيبل أيضًا.<ref>{{استشهاد مختصر|Tashev|2009|ص=98|لغة=en}}</ref> وعلى المنوال نفسه، تُستخدم {{وإو|نسبة إشارة القمة إلى الضجيج|Peak signal-to-noise ratio}} عادةً لتقييم جودة طرق ضغط الصوت [[ضغط صورة|والصورة]] باستخدام اللغارتم.<ref>{{استشهاد مختصر|Chui|1997|ص=180|لغة=en}}</ref>

تُقاس قوة الزلزال بحساب اللغارتم الشائع للطاقة المنبعثة عند الزلزال. ويُستخدم هذا في [[مقياس درجة العزم|سلم مقدار العزم]] أو [[مقياس ريختر|سلم رِخْتَر]]. على سبيل المثال، يطلق زلزال بشدة 5.0 32 مرةً {{تعبير رياضي|(10<sup>1.5</sup>)}} من الطاقة التي يطلقها زلزال بشدة 4.0، في حين يطلق زلزال ذو شدة 6.0 1000 مرة {{تعبير رياضي|(10<sup>3</sup>)}} من الطاقة التي يطلقها زلزال ذو شدة 4.0.<ref>{{استشهاد مختصر|Crauder|2014|ص=295|لغة=en}}</ref> يقيس [[قدر ظاهري|القدر الظاهري]] لمعان النجوم لغارتميًا.<ref>{{استشهاد مختصر|Bradt|2004|ص=231|لغة=en}}</ref> يُشار إلى '''مرافق اللغارتم''' العشري، أي سالب اللغارتم العشري، في [[كيمياء|الكيمياء]] بالحرف p.<ref name="Jens">{{استشهاد مختصر|Nørby|2000|ص=36–37|لغة=en}}</ref> [[أس هيدروجيني|الأس الهيدروجيني]] (pH) على سبيل المثال هو سالب اللغارتم العشري [[فاعلية (كيمياء)|لنشاط]] أيونات [[هيدرونيوم|الهيدرونيوم]] (الشكل الذي تتخذه [[أيون]]ات [[هيدروجين|الهيدروجين]] [[هيدرون|{{يسار إلى يمين|H<sup>+</sup>}}]] في الماء).<ref>{{استشهاد مختصر|McNaught|1997|ص=298|لغة=en}}</ref> نشاط أيونات الهيدرونيوم في الماء المعتدل هو {{يسار إلى يمين|10<sup>−7</sup> [[تركيز مولي|مول·لتر<sup>−1</sup>]]}}، ومن ثم فإن الأس الهيدروجيني هو 7. عادةً ما يكون الأس الهيدروجيني للخل نحو 3. الفرق 4 يتوافق مع نسبة 10<sup>4</sup> من النشاط، أي أن نشاط أيون الهيدرونيوم في الخل يبلغ نحو {{تعبير رياضي|10<sup>−3</sup> mol·L<sup>−1</sup>}}.

تَستخدم [[مخطط نصف لوغاريتمي|البيانات نصف اللغارتمية]] (اللغارتمية الخطية) مفهوم السلم اللغارتمي للإظهار: تُدرَّج أحد المحاور، عادةً المحور الشاقولي، لغارتميًا. على سبيل المثال، يضغط المخطط الموجود على اليمين الزيادة الحادة من مليون إلى تريليون إلى نفس المساحة (على المحور الشاقولي) مثل الزيادة من 1 إلى مليون. في مثل هذه البيانات، تظهر [[دالة أسية|الدوال الأسية]] من الصيغة {{تعبير رياضي|1=''f''(''x'') = ''a'' · ''b''{{i sup|''x''}}}} على شكل مستقيمات ذات [[ميل المستقيم|ميل]] يساوي لغارتم {{تعبير رياضي مائل|b}}. تُدرِّج {{وإو|بيان اللغارتم بدلالة اللغارتم|Log–log plot|4=بيانات اللغارتم بدلالة اللغارتم}} كلا المحورين لغارتميًا، مما يؤدي إلى تصوير الدوال من الصيغة {{تعبير رياضي|1=''f''(''x'') = ''a'' · ''x''{{i sup|''k''}}}} على شكل مستقيمات ذات ميل يساوي الأس {{تعبير رياضي مائل|k}}. ويُطبَّق ذلك في إظهار [[قانون رفع|قوانين القوة]] وتحليلها.<ref>{{استشهاد مختصر|Bird|2001|ص=166-170|لغة=en}}</ref>

=== علم النفس ===
تظهر اللغارتمات في العديد من القوانين التي تصف [[إدراك حسي|الإدراك الحسي البشري]]:<ref>{{ترقيم استشهادات
|م1={{استشهاد مختصر|Goldstein|2010|ص=355-356|ج=1|لغة=en}}
|م2={{استشهاد مختصر|Matthews|2000|ص=48|لغة=en}}}}</ref> يقترح [[قانون هيك]] وجود علاقة لغارتمية بين الوقت الذي يستغرقه الأفراد لاختيار بديل وعدد الخيارات المتاحة لهم.<ref>{{استشهاد مختصر|Welford|1968|ص=61|لغة=en}}</ref> يتنبأ [[قانون فيتس]] بأن الوقت اللازم للتحرك بسرعة إلى منطقة مستهدفة هو دالة لغارتمية لنسبة المسافة إلى الهدف وحجمه.<ref>{{استشهاد مختصر|Fitts|1954|ص=381-391|لغة=en}}</ref> في [[علم الطبيعة النفسية]]، يقترح [[قانون ويبر-فيشنر|قانون]] [[قانون ويبر-فيشنر|فِيبَر وفِشْنَر]] وجود علاقة لغارتمية بين [[منبه (علم النفس)|المُنبِّه]] [[حاسة|والإحساس]]، مثل الوزن الفعلي مقابل الوزن المتصور لشيء يحمله الشخص.<ref>{{استشهاد مختصر|Banerjee|1994|ص=304|لغة=en}}</ref> (ومع ذلك، فإن هذا "القانون" أقل واقعية من النماذج الأحدث، مثل {{وإو|قانون القوة لستيفنز|Stevens's power law|4=قانون القوة لِستيفنز}}.<ref>{{استشهاد مختصر|Nadel|2005|ص=527-537, 800-805|ج=3|لغة=en}}</ref>)

أظهرت الدراسات النفسية أن الأفراد الذين لم يتلقوا تعليمًا رياضياتيًا كافيًا يميلون إلى تقدير الكميات بطريقة لغارتمية، أي أنهم يضعون العدد على خط لم توضَع علامات عليه وفقًا للغارتم الخاص به، فيكون الرقم 10 قريبًا من 100 بقدر قرب 100 من 1000. يؤدي زيادة التعليم إلى تحويل هذا إلى تقدير خطي (بوضع 1000 عشر مرات أبعد) في بعض الظروف، في حين تُستخدَم اللغارتمات عندما يكون من الصعب تحديد الأعداد المراد تحديدها خطيًا.<ref>{{ترقيم استشهادات
|م1={{استشهاد مختصر|Siegler|2003|ص=237-243|لغة=en}}
|م2={{استشهاد مختصر|Dehaene|2008|ص=1217-1220|لغة=en}}}}</ref>

=== نظرية الاحتمالات والإحصاء ===
[[ملف:PDF-log normal distributions-ar.svg|تصغير|alt=Three asymmetric PDF curves|ثلاث [[دالة الكثافة الاحتمالية|دوال كثافة احتمالية]] (PDF) لمتغيرات عشوائية ذات توزيعات طبيعية لغارتمية. الوسيط المكاني μ، التي تساوي صفرًا لجميع دوال الكثافة الاحتمالية الثلاث الموضحة، هي وسط لغارتم المتغير العشوائي، وليس وسط المتغير نفسه.]]

تظهر اللغارتمات في [[نظرية الاحتمال]]ات: ينص [[قانون الأعداد الكبيرة]] على أنه كلما زاد عدد مرات رمي {{وإو|نقد معدني عديل|Fair coin}} وصولاً إلى ما لا نهاية، [[توزيع ثنائي الحد|اقترب احتمال الحصول على أحد الوجه من النصف]]. يُوصف تباين هذه النسبة عن قيمة النصف {{وإو|قانون اللغارتم التكراري|Law of the iterated logarithm|4=بقانون اللغارتم التكراري}}.<ref>{{استشهاد مختصر|Breiman|1992|ص=263-264|لغة=en|فصل=12.9}}</ref>

تظهر اللغارتمات أيضًا في {{وإو|توزيع طبيعي لغارتمي|Log-normal distribution|4=التوزيعات الطبيعية اللغارتمية}}. عندما يكون لغارتم [[متغير عشوائي]] ذو [[توزيع احتمالي طبيعي|توزيع]] [[توزيع احتمالي طبيعي|طبيعي]]، يُقال إن المتغير له توزيع طبيعي لغارتمي.<ref>{{استشهاد مختصر|Aitchison|1957|ص=1-2|لغة=en}}</ref> توجد التوزيعات الطبيعية اللغارتمية في العديد من المجالات، خاصةً عندما يتكون متغير ما من جداء عدد من المتغيرات العشوائية الموجبة المستقلة، على سبيل المثال في دراسة اضطراب الموائع.<ref>
{{استشهاد مختصر|Mathieu|2000|ص=50|لغة=en}}</ref>[[ملف:Benfords law illustrated by world's countries population.svg|توزيع الأرقام الأولى (بالنسبة المئوية، الأعمدة الحمراء) في [[قائمة البلدان والتبعيات حسب عدد السكان|أعداد سكان 237 دولة]] حول العالم. تشير النقاط السوداء إلى التوزيع المتوقع وفقًا لقانون بنفورد.|تصغير|alt=A bar chart and a superimposed second chart. The two differ slightly, but both decrease in a similar fashion.]]

تُستخدم اللغارتمات [[تقدير حسب القيمة العليا لدالة الإمكان|لتقدير]] [[تقدير حسب القيمة العليا لدالة الإمكان|الأرجحية العظمى]] [[نموذج إحصائي|للنماذج الإحصائية]] الوسيطية. بالنسبة لمثل هذا النموذج، تعتمد [[دالة الإمكان|دالة الأرجحية]] على {{وإو|نموذج وسيطي|Parametric model|4=وسيط}} واحد على الأقل يجب تقديرها. يحدث القيمة العظمى لدالة الأرجحية عند نفس قيمة الوسيط مثل القيمة العظمى لِلُغارتم الأرجحية (الأرجحية اللغارتمية)، لأن اللغارتم دالة متزايدة. من الأسهل تعظيم الأرجحية اللغارتمية، خاصة بالنسبة لأرجحيات مضروبة لمتغيرات عشوائية [[استقلال (نظرية الاحتمال)|مستقلة]].<ref>{{استشهاد مختصر|Rose|2002|ص=357-362|لغة=en}}</ref>

يصف [[قانون بنفورد]] تكرار الأرقام في العديد من [[مجموعة بيانات|مجموعات المعطيات]]، مثل ارتفاعات المباني. احتمال أن يكون الرقم العشري الأول لعنصر ما في عينة المعطيات هو {{تعبير رياضي مائل|d}} (من 1 إلى 9) يساوي {{تعبير رياضي|log<sub>10</sub> (''d'' + 1) − log<sub>10</sub> (''d'')}}، بغض النظر عن وحدة القياس وفقًا لقانون بنفورد.<ref>{{استشهاد مختصر|Tabachnikov2005|ص=36-40|لغة=en}}</ref> ومن ثم، يمكن توقع أن يكون الرقم الأول في حوالي 30٪ من البيانات هو 1، و 18٪ يبدأ بـ 2، وهكذا. يفحص المدققون الانحرافات عن قانون بنفورد للكشف عن الاحتيال المحاسبي.<ref>{{استشهاد مختصر|Durtschi|2004|ص=19|لغة=en}}</ref>

التحويل اللغارتمي هو نوع من أنواع {{وإو|تحويل معطيات (إحصاء)|Data transformation (statistics)|4=تحويل المعطيات}} يُستخدم لتقريب التوزيع التجريبي من التوزيع المفترض.

=== التعقيد الحوسبي ===
[[تحليل الخوارزميات]] فرع من فروع [[علم الحاسوب]] يدرس [[تعقيد الوقت|أداء]] [[خوارزمية|الخوارزميات]] (برامج الحاسوب التي تحل مسألة معينة).<ref>{{استشهاد مختصر|Wegener|2005|ص=1–2|لغة=en}}</ref> تفيد اللغارتمات في وصف الخوارزميات التي [[خوارزمية فرق تسد|تقسم المسألة إلى مسائل أصغر]]، خاصة العودية منها، التي تُرد المسائل المُعقدة فيها إلى مسائل أبسط لها حلول معروفة.<ref>{{استشهاد مختصر|Harel|2004|ص=143|لغة=en}}</ref>

تُستعمَل [[بحث اثناني|خوارزمية البحث الاثناني]]، على سبيل المثال، لإيجاد عدد في قائمة مُرتَّبة عدد عناصرها {{تعبير رياضي مائل|N}}، تَحسُب الخوارزمية أولًا فهرس العنصر الأوسط وتفحصه، فإن لم يساوي القيمة المستهدفة، تقارنه معها، وتنتقل إلى النصف الذي يسبقه أو يليه وفقًا لنتيحة المقارنة. تتطلب هذه الخوارزمية في المتوسط إنجاز {{تعبير رياضي|log<sub>2</sub> (''N'')}} مقارنة.<ref>{{استشهاد مختصر|
Knuth|1998|ص=409-426|لغة=en}}</ref> وبالمثل، تَفْرِز خوارزمية [[فرز بالمرج|الفرز بالمرج]] قائمة غير مفروزة عن طريق تقسيم القائمة إلى نصفين وفرزهما أولًا قبل مرج النتائج. تتطلب خوارزميات الفرز بالمرج عادةً وقتًا [[تمثيل O الكبرى|يتناسب تقريبًا]] مع {{تعبير رياضي|''N'' · log(''N'')}}.<ref>{{استشهاد مختصر|Knuth|1998|ص=158-168|لغة=en}}</ref> لم يُحدَّد أساس اللغارتم هنا، لأن النتيجة تتغير فقط بعامل ثابت عند استخدام أساس آخر. عادةً ما يُتَجاهَل العامل الثابت في تحليل الخوارزميات بموجب نموذج التكلفة الموحدة المعياري.<ref name="م3"/>

يقال إن الدالة {{تعبير رياضي|''f''(''x'')}} تتزايد لغارتميًا إذا كانت (بالضبط أو تقريبًا) متناسبة مع لغارتم {{تعبير رياضي مائل|x}}. لكن أدبيات علم الأحياء تستخدم هذا المصطلح  للدالة الأسية التي تصف تكاثر الكائنات الحية.<ref>{{استشهاد مختصر|Mohr|1995|ص=298|لغة=en}}</ref> يُمكِن، على سبيل المثال، تمثيل أي [[عدد طبيعي]] {{تعبير رياضي مائل|N}} في [[نظام عد ثنائي|شكل]] [[نظام عد ثنائي|اثناني]] بما لا يزيد عن {{تعبير رياضي|log<sub>2</sub> ''N'' + 1}} [[بت]]. بمعنى آخر، تزداد كمية [[ذاكرة حاسوب|الذاكرة]] اللازمة لتخزين {{تعبير رياضي مائل|N}} لغارتميًا مع {{تعبير رياضي مائل|N}}.

=== الإنتروبيا والشواش ===
{{أيضا|إنتروبيا|نظرية فوضى الكون{{!}}نظرية الشواش}}

[[ملف:Chaotic Bunimovich stadium.svg|تصغير|[[بلياردو|البلياردو]] على [[طاولة البلياردو|طاولة بلياردو]] بيضاوية. جسيمان، يبدآن من المركز بزاوية تختلف بمقدار درجة واحدة، يسلكان مسارين يتباعدان بِشواش بسبب [[انعكاس (فيزياء)|الانعكاسات]] عند الحدود.|alt=An oval shape with the trajectories of two particles.]]

الإنتروبيا قَيْس عام لاضطراب بعض الأنظمة. في [[ميكانيكا إحصائية|الديناميكا الحرارية الإحصائية]]، تُعرَّف إنتروبيا بعض الأنظمة الفيزيائية {{تعبير رياضي مائل|S}} على أنها:

<math display="block"> S = - k \sum_i p_i \ln(p_i).\, </math>

أي أنها مجموعٌ لحالات النظام المعني الممكنة كلها وعددها {{تعبير رياضي مائل|i}}، مثل مواقع جسيمات الغاز في حاوية. علاوة على ذلك، {{تعبير رياضي|''p''<sub>''i''</sub>}} هي احتمالية الوصول إلى الحالة {{تعبير رياضي مائل|i}} و {{تعبير رياضي مائل|k}} هو [[ثابت بولتزمان]]. وبالمثل، تقيس [[اعتلاج (نظرية المعلومات)|الانتروبيا في نظرية المعلومات]] كمية المعلومات. إذا كان مستلم الرسالة يتوقع أي رسالة من {{تعبير رياضي مائل|N}} رسائل ممكنة بأرجحية متساوية، فإن كمية المعلومات التي تنقلها أي رسالة من هذا النوع تُقاس بـ {{تعبير رياضي|log<sub>2</sub> ''N''}} بت.<ref>{{استشهاد مختصر|Eco|1989|ص=46|لغة=en}}</ref>

تُستخدَم {{وإو|أس ليابونوف|Lyapunov exponent|4=إساس ليابونوف}} اللغارتمات لقياس درجة الشواش في [[نظام تحريكي|نظام ديناميكي]]. على سبيل المثال، بالنسبة لجسيم يتحرك على طاولة بلياردو بيضاوية، فإن التغيرات الطفيفة في الظروف الابتدائية تؤدي إلى مسارات مختلفة جدًا للجسيم. هذه الأنظمة [[نظرية فوضى الكون|شَوِشَة]] بطريقة [[نظام حتمي (رياضيات)|حتمية]]، لأن الأخطاء الصغيرة في قياس الحالة الابتدائية تؤدي بشكل متوقع إلى حالات نهائية مختلفة إلى حد كبير.<ref>{{استشهاد مختصر|Sprott|2010|ص=|20-24|لغة=en}}</ref> يكون أس ليابونوف واحد على الأقل لنظام شوش حتمي موجبًا.

=== الكسوريات ===
[[ملف:Sierpinski dimension.svg|يُنشَأ مثلث سِيِرْبِنْسكي (على اليمين) عن طريق استبدال ثلاثة مثلثات أصغر حجمًا [[مثلث متساوي الأضلاع|بالمثلثات المتساوية الأضلاع]] بشكل متكرر.|تصغير|alt=Parts of a triangle are removed in an iterated way.]]

تظهر اللغارتمات في تعريفات [[بعد كسيري|أبعاد]] [[كسورية|الكسوريات]].<ref>{{استشهاد مختصر|Helmberg|2007|ص=8-9, 49-61, 92|لغة=en}}</ref> الكسوريات هي كائنات هندسية متشابهة ذاتيًا بمعنى أن الأجزاء الصغيرة منها تعيد إنتاج، على الأقل تقريبيًا، البنية الكلية بأكملها. يمكن تغطية [[مثلث سيربنسكي|مثلث]] [[مثلث سيربنسكي|سِيِرْبِنْسكي]] (في الصورة) بثلاث نسخ منه، كل منها لها أضلاع بطول نصف الطول الأصلي. وهذا يجعل [[بعد هاوسدورف|بُعد هاوسدورف]] لهذه البنية {{تعبير رياضي|1=ln(3)/ln(2) ≈ 1.58}}. ويُحْصَل على مفهوم آخر للبعد القائم على اللغارتمات عن طريق {{وإو|بعد منكوفسكي وبوليغان|Minkowski–Bouligand dimension|4=حساب عدد المكعبات}} اللازمة لتغطية الكسوري المعني.

=== الموسيقى ===
{{multiple image
| direction = vertical
| width = 350
| footer = أربعة أجوبة مختلفة موضحة على سلم خطي، ثم على سلم لغارتمي (كما تسمعها الأذن)
| image1 = 4Octaves.and.Frequencies-ar.svg
| alt1 = Four different octaves shown on a linear scale.
| image2 = 4Octaves.and.Frequencies.Ears-ar.svg
| alt2 = Four different octaves shown on a logarithmic scale
}}

ترتبط اللغارتمات [[نغمة موسيقية|بالنغمات]] [[مسافة (موسيقى)|والمسافات]] الموسيقية. في دَوْزَنَات {{وإو|السلم المعدل بالتساوي|Equal temperament|4=السلم المُعدَّل بالتساوي}}، تعتمد نسبة التردد فقط على المسافة بين نغمتين، وليس على التردد أو [[حدة (موسيقى)|الحِدَّة]] المحددين لكل نغمة. في دوزنة {{وإو|السلم المعدل بالتساوي اثنا عشري النغمات|12 equal temperament}} الشائع في الموسيقى الغربية الحديثة، يُقسَّم كل [[جواب (موسيقى)|جواب]] (مُضاعَفة التردد) إلى اثني عشر مسافة متساوية الفراغ تسمى {{وإو|نصف نغمة|Semitone|4=أنصاف نغمات}}. على سبيل المثال، إذا كان تردد [[لا (موسيقى)|المُجَسِّدَة لا]] هو 440 [[هرتز]]، فإن تردد مجسدة {{وإو|سي مع الخفض|B♭ (musical note)}} هو 466 هرتز. المسافة بين لا و سي مع الخفض هي نصف نغمة، وكذلك المسافة بين سي مع الخفض و سي (تردد 493 هرتز). وبناءً على ذلك، تتطابق نسب الترددات:

<math display="block">\frac{466}{440} \approx \frac{493}{466} \approx 1.059 \approx \sqrt[12]2.</math>

يمكن قياس المسافات بين الحِدَّات الكيفية بالأجوبة عن طريق أخذ لغارتم الأساس 2 لنسبة [[تردد|التردد]]، أو يمكن قياسها بنصف نغمات مُعدَّلَة بالتساوي عن طريق أخذ لغارتم الأساس {{بدون لف|{{تعبير رياضي|2<sup>1/12</sup>}}}} (12 مرات لغارتم الأساس 2)، أو يمكن قياسها [[سنت (موسيقى)|بالسنتات]]، أي أجزاء من مئة جزء من نصف نغمة، عن طريق أخذ لغارتم الأساس {{بدون لف|{{تعبير رياضي|2<sup>1/1200</sup>}}}} (1200 مرات لغارتم الأساس 2). يُستخدم الأخير لترميز أدق، حيث إنه ضروري للقياسات الدقيقة أو السلالم المعدلة بالتساوي.<ref>{{استشهاد مختصر|Wright|2009|ص=53-60|لغة=en}}</ref>

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
! المسافة<br /> <span style="font-weight: normal">(تُعْزَف النغمتين في نفس الوقت)</span>
| {{وإو|المقياس ذو 72 حدة معدلة بالتساوي|72 tone equal temperament|4=1/12 نغمة}}<br> {{صوت|1_step_in_72-et_on_C.mid|تشغيل}}
| {{وإو|نصف نغمة|Semitone|4=نصف النغمة}}<br> {{صوت|help=no|Minor_second_on_C.mid|تشغيل}}
| {{وإو|ثالث كبير|Major third|4=الثالث الكبير المضبوط}}<br> {{صوت|help=no|Just_major_third_on_C.mid|تشغيل}}
| {{وإو|ثالث كبير|Major third|4=الثالث الكبير}}<br> {{صوت|help=no|Major_third_on_C.mid|تشغيل}}
| {{وإو|ثلاثي النغمات|Tritone}}<br> {{صوت|help=no|Tritone_on_C.mid|تشغيل}}
| [[جواب (موسيقى)|الجواب]]<br> {{صوت|help=no|Perfect_octave_on_C.mid|تشغيل}}
|-
! '''نسبة التردد'''<br> <math>r</math>
| <math>2^{\frac 1 {72}} \approx 1.0097</math>
| <math>2^{\frac 1 {12}} \approx 1.0595</math>
| <math>\tfrac 5 4 = 1.25</math>
| <math>\begin{align} 2^{\frac 4 {12}} & = \sqrt[3] 2 \\ & \approx 1.2599 \end{align} </math>
| <math>\begin{align} 2^{\frac 6 {12}} & = \sqrt 2 \\ & \approx 1.4142 \end{align} </math>
| <math> 2^{\frac {12} {12}} = 2 </math>
|-
! عدد أنصاف النغمات<br /><math>12 \log_2 r</math>
| <math>\tfrac 1 6</math>
| <math>1</math>
| <math>\approx 3.8631</math>
| <math>4</math>
| <math>6</math>
| <math>12</math>
|-
! '''عدد السنتات'''<br /><math>1200 \log_2 r</math>
| <math>16 \tfrac 2 3</math>
| <math>100</math>
| <math>\approx 386.31</math>
| <math>400</math>
| <math>600</math>
| <math>1200</math>
|}

=== نظرية الأعداد ===
ترتبط [[لغارتم طبيعي|اللغارتمات الطبيعية]] ارتباطًا وثيقًا [[الدالة العادة للأعداد الأولية|بعد الأعداد الأولية]] (2، 3، 5، 7، 11، ...)، وهو موضوع مهم في [[نظرية الأعداد]]. بالنسبة لأي [[عدد صحيح]] {{تعبير رياضي مائل|x}}، يُشار إلى كمية [[عدد أولي|الأعداد الأولية]] الأقل من أو يساوي {{تعبير رياضي مائل|x}} بـ {{تعبير رياضي|[[الدالة العادة للأعداد الأولية|{{pi}}(''x'')]]}}. تنص [[مبرهنة الأعداد الأولية]] على أن {{تعبير رياضي|{{pi}}(''x'')}} تُعطى تقريبًا بـ:

<math display="block">\frac{x}{\ln(x)},</math>

بمعنى أن نسبة {{تعبير رياضي|{{pi}}(''x'')}} إلى هذا الكسر تقترب من 1 عندما يقترب {{تعبير رياضي مائل|x}} من اللانهاية.<ref>{{استشهاد مختصر|Bateman|2004|ص=71|لغة=en}}</ref> ونتيجة لذلك، فإن احتمال أن يكون الرقم المختار عشوائيًا بين 1 و {{تعبير رياضي مائل|x}} عددًا أوليًا [[تناسب (رياضيات)|يتناسب]] عكسيًا مع عدد الأرقام العشرية لـ {{تعبير رياضي مائل|x}}. ويُحصَل على تقدير أفضل بكثير لـ {{تعبير رياضي|{{pi}}(''x'')}} من خلال [[دالة التكامل اللغارتمي|دالة التكامل اللغارتمي الحائدة]] {{تعبير رياضي|Li(''x'')}}، المعرفة بـ:

<math display="block"> \mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac1{\ln(t)} \,dt.  </math>

يمكن صياغة [[فرضية ريمان]]، وهي واحدة من أقدم [[حدسية (رياضيات)|الحدسيات]] الرياضية المفتوحة، بدلالة مقارنة {{تعبير رياضي|{{pi}}(''x'')}} و {{تعبير رياضي|Li(''x'')}}.<ref>{{استشهاد مختصر|Bateman|2004|ص=206|لغة=en}}</ref> كما أن [[مبرهنة إيردوس-كاك|مبرهنة إردوس وَكاك]] التي تصف عدد [[عدد أولي|العوامل الأولية]] المتمايزة تتضمن أيضًا [[لغارتم طبيعي|اللغارتم الطبيعي]].

لغارتم [[عاملي]] ''n''، أي {{تعبير رياضي|1=''n''! = 1 · 2 · ... · ''n''}}، يُعطى بـ:<math display="block"> \ln (n!) = \ln (1) + \ln (2) + \cdots + \ln (n).</math>

يمكن استخدام هذا للحصول على [[تقريب ستيرلينغ|صيغة سترلنغ]]، وهي تقريب لـ {{تعبير رياضي|''n''!}} لقيم {{تعبير رياضي مائل|n}} الكبيرة.<ref>{{استشهاد مختصر|Slomson|1999|ص=47-53|لغة=en}}</ref>

== تعميمات ==

=== اللغارتمات العقدية ===
{{مفصلة|لغارتم مركب{{!}}لغارتم عقدي}}

[[ملف:Complex number illustration multiple arguments.svg|تصغير|الشكل القطبي لـ {{تعبير رياضي|''z {{=}} x + iy''}}. كل من {{تعبير رياضي مائل|φ}} و {{يسار إلى يمين|{{تعبير رياضي مائل|φ'}}}} هما عُمَدتَا {{تعبير رياضي مائل|z}}.|alt=An illustration of the polar form: a point is described by an arrow or equivalently by its length and angle to the x-axis.]]

جميع [[عدد مركب|الأعداد العقدية]] {{تعبير رياضي مائل|a}} التي تحل المعادلة:

<math display="block">e^a=z</math>

تسمى لغارتمات عقدية لـ {{تعبير رياضي مائل|z}}، عندما يكون (يعتبر) {{تعبير رياضي مائل|z}} عددًا عقديًا. عادةً ما يُمثَّل العدد العقدي على شكل {{تعبير رياضي|''z {{=}} x + iy''}}، وفيه {{تعبير رياضي مائل|x}} و {{تعبير رياضي مائل|y}} أعداد حقيقية و {{تعبير رياضي مائل|i}} [[وحدة تخيلية]]، ومربعها هو {{يسار إلى يمين|−1}}. يمكن تمثيل هذا العدد بنقطة في [[مستو مركب|المستوي العقدي]]، كما هو موضح على اليمين. يُرَمِّز الشكل القطبي العدد العقدي غير المعدوم {{تعبير رياضي مائل|z}} [[معيار عدد مركب|بقيمته المطلقة]]، أي المسافة (الموجبة، الحقيقية) {{تعبير رياضي مائل|r}} إلى [[أصل (رياضيات)|الأصل]]، والزاوية بين المحور الحقيقي (محور {{تعبير رياضي مائل|x}}) {{تعبير رياضي|Re}} والخط الذي يمر عبر كل من الأصل و {{تعبير رياضي مائل|z}}. تسمى هذه الزاوية [[عمدة عدد مركب|عُمْدَة]] {{تعبير رياضي مائل|z}}.

القيمة المطلقة {{تعبير رياضي مائل|r}} لـ {{تعبير رياضي مائل|z}} تُعطى بـ:

<math display="block">\textstyle r=\sqrt{x^2+y^2}.</math>

يمكن التعبي عن أي عدد عقدي {{تعبير رياضي مائل|z}} اعتمادًا على التفسير الهندسي [[جيب (رياضيات)|للجيب]] [[جيب التمام|وجيب التمام]] ودورهما {{تعبير رياضي|2{{pi}}}}، على النحو التالي:

<math display="block">\begin{align}
z &= x + iy \\
  &= r (\cos \varphi + i \sin \varphi ) \\
  &= r (\cos (\varphi + 2k\pi) + i \sin (\varphi + 2k\pi)),
\end{align}</math>من أجل أي عدد صحيح {{تعبير رياضي مائل|k}}. من الواضح أن عمدة {{تعبير رياضي مائل|z}} ليست محددة تحديدًا فريدًا: كل من {{تعبير رياضي مائل|φ}} و {{تعبير رياضي|1=''φ''' = ''φ'' + 2''k''{{pi}}}} عُمَد صالحة لـ {{تعبير رياضي مائل|z}} من أجل جميع الأعداد الصحيحة {{تعبير رياضي مائل|k}}، لأن إضافة {{تعبير رياضي|2''k''{{pi}}}} [[راديان]] أو ''k''⋅360°{{refn|انظر مقالة [[راديان]] للتحويل بين 2[[ط (رياضيات)|{{pi}}]] و 360 [[درجة (زاوية)|درجة]].|group=ملا}} إلى {{تعبير رياضي مائل|φ}} يقابله "الالتفاف" حول نقطة الأصل عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار {{تعبير رياضي مائل|k}} [[دورة (وحدة زاوية)|دورة]]. العدد العقدي الناتج هو دائمًا {{تعبير رياضي مائل|z}}، كما هو موضح على اليمين من أجل {{تعبير رياضي|''k'' {{=}} 1}}. يمكن انتقاء واحد فقط من العُمَد الممكنة لـ {{تعبير رياضي مائل|z}} باعتبارها العمدة الرئيسة، المشار إليها بـ {{تعبير رياضي|Arg(''z'')}}، بحرف {{تعبير رياضي|A}} كبير، من خلال اشتراط أن ينتمي {{تعبير رياضي مائل|φ}} إلى دورة واحدة منتقاة انتقاءً ملائمًا، على سبيل المثال {{تعبير رياضي|−{{pi}} < ''φ'' ≤ {{pi}}}}<ref>{{استشهاد مختصر|Ganguly|2005|ص=8|لغة=en}}</ref> أو {{تعبير رياضي|0 ≤ ''φ'' < 2{{pi}}}}.<ref>{{استشهاد مختصر|Nevanlinna|2007|ص=149-154|لغة=en}}</ref> تسمى هذه المناطق التي فيها تُحدَّد عمدة {{تعبير رياضي مائل|z}} تحديدًا فريدًا {{وإو|فرع رئيس|Principal branch|4=بفروع}} دالة العمدة.

[[ملف:Complex log domain.svg|تصغير|الفرع الرئيس ({{يسار إلى يمين|-{{pi}}, {{pi}}}}) من اللغارتم العقدي، {{تعبير رياضي|Log(''z'')}}. النقطة السوداء عند {{تعبير رياضي|''z'' {{=}} 1}} تقابل قيمة مطلقة تساوي الصفر، والألوان الأكثر سطوعًا تشير إلى قيم مطلقة أكبر. تُرمِّز [[نقبة (نظرية الألوان)|النُقْبَة]] عمدة {{تعبير رياضي|Log(''z'')}}.|alt=A density plot. In the middle there is a black point, at the negative axis the hue jumps sharply and evolves smoothly otherwise.]]

تربط [[صيغة أويلر]] الدالتين المثلثيتين [[جيب (رياضيات)|جيب]] [[جيب التمام|وجيب تمام]] بالدالة الأسية العقدية:

<math display="block">e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi .</math>

باستخدام هذه الصيغة، ومرة أخرى خاصية الدورية، تنطبق المتطابقات التالية:<ref>{{استشهاد مختصر|Moore|1991|ص=6-12|لغة=en}}</ref>

<math display="block"> \begin{align}
z &= r \left (\cos \varphi + i \sin \varphi\right) \\
  &= r \left (\cos(\varphi + 2k\pi) + i \sin(\varphi + 2k\pi)\right) \\
  &= r e^{i (\varphi + 2k\pi)} \\
  &= e^{\ln(r)} e^{i (\varphi + 2k\pi)}  \\
  &= e^{\ln(r) + i(\varphi + 2k\pi)} = e^{a_k},
\end{align}
</math>

وفيها {{تعبير رياضي|ln(''r'')}} هو اللغارتم الطبيعي الحقيقي الفريد، و {{تعبير رياضي|''a''<sub>''k''</sub>}} يشير إلى اللغارتمات العقدية لـ {{تعبير رياضي مائل|z}}، و {{تعبير رياضي مائل|k}} هو عدد صحيح كيفي. لذلك، فإن اللغارتمات العقدية لـ {{تعبير رياضي مائل|z}}، وهي جميع القيم العقدية {{تعبير رياضي|''a''<sub>''k''</sub>}} التي تكون فيها القوة من المرتبة {{تعبير رياضي|''a''<sub>''k''</sub>}} لـ {{تعبير رياضي مائل|e}} تساوي {{تعبير رياضي مائل|z}}، هي القيم العديدة اللامنتهية:

<math display="block">a_k = \ln (r) + i ( \varphi + 2 k \pi ),</math>

من أجل الأعداد الصحيحة الكيفية {{تعبير رياضي مائل|k}}.

بأخذ {{تعبير رياضي مائل|k}} بحيث يكون {{تعبير رياضي|''φ'' + 2''k''{{pi}}}} ضمن المجال المحدد للعمد الرئيسة، فإن {{تعبير رياضي|''a''<sub>''k''</sub>}} يُسمى القيمة الرئيسة للغارتم، ويُدوَّن بـ {{تعبير رياضي|Log(''z'')}}، أيضًا بحرف {{تعبير رياضي|L}} كبير. العمدة الرئيسة لأي عدد حقيقي موجب {{تعبير رياضي مائل|x}} هي 0؛ ومن ثم فإن {{تعبير رياضي|Log(''x'')}} هو عدد حقيقي ويساوي اللغارتم الحقيقي (الطبيعي). ومع ذلك، فإن الصيغ أعلاه للغارتمات الجداءات والقوى لا تنطبق على القيمة الرئيسة للغارتم العقدي.<ref>{{استشهاد مختصر|Wilde|2006|ص=97|لغة=en}}</ref>

يوضح الرسم التوضيحي على اليمين {{تعبير رياضي|Log(''z'')}}، ويقصر عمد {{تعبير رياضي مائل|z}} على المجال {{open-closed|−π, π}}. وبهذه الطريقة، يكون للفرع المقابل من اللغارتم العقدي انقطاعات على طول محور {{تعبير رياضي مائل|x}} الحقيقي السالب، والتي يمكن رؤيتها في القفزة في النقبة هناك. ينشأ هذا الانقطاع من القفز إلى الحد الآخر في نفس الفرع، عند عبور الحد، أي عدم التغيير إلى قيمة {{تعبير رياضي مائل|k}} المقابلة للفرع المجاور المستمر. يسمى هذا المحل الهندسي {{وإو|نقطة تفرع|Branch point#Branch cuts|4=بقطع تفرعي}}. يؤدي إسقاط اقتصارات المدى على العمدة إلى جعل علاقات "عمدة {{تعبير رياضي مائل|z}}"، ومن ثم "لغارتم {{تعبير رياضي مائل|z}}"، [[دالة متعددة القيم|دوالًا متعددة القيم]].

=== معكوسات الدوال الأسية الأخرى ===
يُستخدم الرفع الأسي في العديد من مجالات الرياضيات وغالبًا ما يشار إلى دالة عكسية لها باسم اللغارتم. على سبيل المثال، {{وإو|لغارتم مصفوفة|Logarithm of a matrix|4=لغارتم المصفوفة}} هو الدالة العكسية (متعددة القيم) {{وإو|أسية مصفوفة|Matrix exponential|4=لأسية المصفوفة}}.<ref>{{استشهاد مختصر|Higham|2008|ص=269-282|لغة=en}}</ref>  اللغارتم الأوّليّانيّ مثال آخر،{{refn|p-adic logarithm، مفهوم "{{وإو|تر=p-adic analysis|عر=تحليل أولياني|نص=أَوَّلِيَّانِيّ}}" متعلق بالأعداد الأولية.|group=ملا}} وهو الدالة العكسية {{وإو|دالة أسية أوليانية|p-adic exponential function|4=للأسية الأوّليانيّة}}. كلاهما يُعرّفان بمتسلسلة تيلور مماثلة للحالة الحقيقية.<ref>{{استشهاد مختصر|Neukirch|1999|ص=134-142|لغة=en}}</ref> في سياق [[هندسة تفاضلية|الهندسة التفاضلية]]، يُحوِّل {{وإو|تطبيق أسي (هندسة ريمانية)|Exponential map (Riemannian geometry)|4=التطبيق الأسي}} [[فضاء مماس|الفضاء المُماس]] عند نقطة من [[متنوعة|المتنوعة]] إلى [[جوار (رياضيات)|جوار]] تلك النقطة. ويُطلق على معكوسها أيضًا اسم التطبيق اللغارتمي.<ref>{{استشهاد مختصر|Yu|2009|ص=379|لغة=en}}</ref>

يُجرى الرفع الأسي في سياق [[زمرة منتهية|الزمر المنتهية]] عن طريق ضرب عنصر الزمرة {{تعبير رياضي مائل|b}} بنفسه ضربًا متكررًا. {{وإو|لغارتم متقطع|Discrete logarithm|4=اللغارتم المتقطع}} هو العدد الصحيح ''{{تعبير رياضي مائل|n}}'' الذي يحل المعادلة:

<math display="block">b^n = x,</math>

وفيها {{تعبير رياضي مائل|x}} عنصر من عناصر الزمرة. يمكن إجراء الرفع الأسي بكفاءة، ولكن يُعتقد أن اللغارتم المتقطع صعب الحساب في بعض الزمر. لهذا اللاتناظر تطبيقات مهمة في [[تعمية بمفتاح عام|التعمية بالمفتاح العام]]، مثل [[طريقة ديفي وهيلمان لتبادل المفاتيح]]، وهي إجرائية تسمح بتبادل مفاتيح [[تعمية (تخصص)|التعمية]] تبادلًا آمنًا عبر قنوات اتصال غير آمنة.<ref>{{استشهاد مختصر|Stinson|2006|ص=396-399|لغة=en}}</ref> يرتبط {{وإو|لغارتم تسيش|Zech's logarithm|4=لغارتم تْسِيش}} باللغارتم المتقطع في الزمرة الضربية لعناصر غير صفرية في [[حقل منته]]ٍ.

{{علامة موقع|double logarithm}} تشمل الدوال العكسية الشبيهة باللغارتمات اللغارتم المزدوج {{تعبير رياضي|ln(ln(''x''))}}، واللغارتم الفائق (وهو اختلاف طفيف عنه يسمى {{وإو|لغارتم متكرر|Iterated logarithm|4=اللغارتم  المتكرر}} في علم الحاسوب)، [[دالة W للامبرت|ودالة W]] [[دالة W للامبرت|لِلامبرت]]، {{وإو|لوجيت|Logit|4=ولوجيت}}. وهي الدوال العكسية [[دالة أسية مزدوجة|للدالة الأسية المزدوجة]]، {{وإو|تكرار أسي|Tetration|4=والتكرار الأسي}}،<ref name="م4">{{استشهاد مختصر|Cherkassky|2007|ص=357|لغة=en}}</ref> و {{تعبير رياضي|''f''(''w'') {{=}} ''we<sup>w</sup>''}}،<ref>{{استشهاد مختصر|Corless|1996|ص=329–331|لغة=en}}</ref> [[دالة لوجستية|والدالة المنطقية الرمزية]]، على الترتيب.<ref name="م4"/>

=== المفاهيم المتعلقة ===
تعد المتطابقة {{تعبير رياضي|log(''cd'') {{=}} log(''c'') + log(''d'')}} من منظور [[نظرية الزمر]] {{وإو|تماكل زمري|Group isomorphism|en|تماكلًا زمريًا}} بين [[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]] الموجبة الخاضعة لعملية الضرب والأعداد الحقيقية الخاضعة لعملية الجمع. الدوال اللغارتمية هي التماكلات المستمرة الوحيدة بين هذه الزمر.<ref>{{استشهاد مختصر|Bourbaki|1997|ص=19-21|لغة=en}}</ref> وبواسطة هذا التماكل، فإن {{وإو|قيس هار|Haar mesure|4=قَيْس هار}} ([[مقياس لوبيغ|قيس لوبيغ]]) {{تعبير رياضي|''dx''}} على الأعداد الحقيقية يتوافق مع قَيْس هار {{تعبير رياضي|''dx''/''x''}} على الأعداد الحقيقية الموجبة.<ref>{{استشهاد مختصر|Ambartzumian|1990|ص=9-10|لغة=en}}</ref> الأعداد الحقيقية غير السالبة لا تحتوي على الضرب فحسب، بل تحتوي أيضًا على الجمع، وتشكل {{وإو|نصف حلقة|Semiring}}، تسمى نصف حلقة الاحتمال؛ وهي في الواقع {{وإو|نصف حقل|Semifield}}. ثم يأخذ اللغارتم الضرب إلى الجمع (الضرب اللغارتمي)، ويأخذ الجمع إلى الجمع اللغارتمي ({{وإو|لوغ سوم إكسب|LogSumExp}})، مما يعطي [[تماكل]] أنصاف الحلقات بين نصف حلقة الاحتمال {{وإو|نصف حلقة لغارتمي|Log semiring|4=ونصف الحلقة اللغارتمي}}.

تظهر {{وإو|شكل لغارتمي|Logarithmic form|4=الأشكال اللغارتمية من الدرجة الأولى}} {{تعبير رياضي|''df''/''f''}} في [[تحليل مركب|التحليل العقدي]] [[هندسة جبرية|والهندسة الجبرية]] في صورة [[شكل تفاضلي|أشكال تفاضلية]] ذات [[قطب (تحليل مركب)|أقطاب]] لغارتمية.<ref>{{استشهاد مختصر|Esnault|1992|ص=11-18|لغة=en}}</ref>

[[لغارتم متعدد|اللغارتم المتعدد]] دالة معرفة بالعلاقة التالية:

<math display="block">
\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}.
</math>

وهي مرتبطة [[لغارتم طبيعي|باللغارتم الطبيعي]] بواسطة {{تعبير رياضي|1=Li<sub>1</sub> (''z'') = −ln(1 − ''z'')}}. علاوة على ذلك، فإن {{تعبير رياضي|Li<sub>''s''</sub> (1)}} تساوي [[دالة زيتا لريمان|دالة زيتا]] [[دالة زيتا لريمان|لريمان]] {{تعبير رياضي|ζ(''s'')}}.<ref group="وب-إنج">{{استشهاد بويب
|مؤلف = T. M. Apostol
|مسار = https://dlmf.nist.gov/25.12
|عنوان = 25.12 Polylogarithms
|موقع =National Institute of Standards and Technology (NIST)
|لغة=en
|مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20250413135624/https://dlmf.nist.gov/25.12
|تاريخ أرشيف = 13-04-2025
|تاريخ الوصول = 11-01-2025
}}</ref>

== انظر أيضًا ==

* [[دالة أسية]]
* [[لغارتم اثناني]]
* {{وإو|كشاف مواضيع اللغارتم|Index of logarithm articles}}

== ملاحظات وهوامش ==
{{مراجع|group=ملا|30em}}

== المراجع ==
=== فهرس المراجع ===
;المنشورات
:بالعربية
{{بداية المراجع}}
{{مراجع|20em|مجموعة="عر"}}
{{نهاية المراجع}}
:بالإنجليزية
{{بداية المراجع|محاذاة=نعم}}
{{مراجع|20em}}
{{نهاية المراجع}}
:بالفرنسية
{{بداية المراجع|محاذاة=نعم}}
{{مراجع|مجموعة="فر"}}
{{نهاية المراجع}}
:باللاتينية
{{بداية المراجع|محاذاة=نعم}}
{{مراجع|30em|مجموعة="لات"}}
{{نهاية المراجع}}
;الوب
:بالعربية
{{بداية المراجع}}
{{مراجع|مجموعة="وب-عر"}}
{{نهاية المراجع}}
:بالإنجليزية
{{بداية المراجع|محاذاة=نعم}}
{{مراجع|30em|مجموعة="وب-إنج"}}
{{نهاية المراجع}}

=== معطيات المراجع الكاملة ===
;المقالات المُحكَمة
:بالعربية
{{بداية المراجع}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136655839|مرجع=سودان2003}}
{{نهاية المراجع}}
:بالإنجليزية
{{بداية المراجع|محاذاة=نعم|30em}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136678597|مرجع=Cajori1913a}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q56059147|مرجع=Cajori1913b}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q30463892|مرجع=Fitts1954}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q30052160|مرجع=Meggitt1962}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136681072|مرجع=Romain1968}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136650445|مرجع=Pierce1977}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136694712|مرجع=Tateaki1982}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q55871992|مرجع=Hillis1989}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q54118497|مرجع=Zhang1994}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136688706|مرجع=Nomizu1996}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q29028819|مرجع=Lang1997}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q55890350|مرجع=Ahrendt1999}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q33818830|مرجع=Nørby2000}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136735482|مرجع=Durtschi2004}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136688836|مرجع=Jagger2003}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136724666|مرجع=Maling2007}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q24656417|مرجع=Dehaene2008}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q60431141|مرجع=Yu2009}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q56116069|مرجع=Folkerts2016}}
{{نهاية المراجع}}
;الكتب
:بالعربية
{{بداية المراجع|30em}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136759699|مرجع=مجمع القاهرة1948}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q130298867|مرجع=دبس1983}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136655999|مرجع=الدفاع1983}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q131933449|مرجع=دنان1984}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q138971754|مرجع=مختار1986}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q114600477|مرجع=مكتب التنسيق1990}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q121833036|مرجع=بوروفسكي1995}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q124741809|مرجع=الخطيب2001}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q122381255|مرجع=البعلبكي2002}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q107009855|مرجع=البعلبكي2005}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q113466993|مرجع=الخياط2009}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q108593221|مرجع=دعبول2018}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q125363697|مرجع=مجمع القاهرة2019}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q132667789|مرجع=جامعة الدول1970}}
{{نهاية المراجع}}
:بالإنكليزية
{{بداية المراجع|محاذاة=نعم|30em}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136678527|مرجع=Gardiner1742}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136654062|مرجع=Stringham1893}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136670027|مرجع=Bryant1907}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136567702|مرجع=Hobson1914}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136734359|مرجع=Aitchison1957}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120962780|مرجع=Abramowitz1965}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136724620|مرجع=Welford1968}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136682189|مرجع=Dieudonné1969}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136670250|مرجع=Baker1975}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136647820|مرجع=Rudin1976}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136652491|مرجع=Halmos1985}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136686878|مرجع=Courant1988}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136745434|مرجع=Eco1989}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120829013|مرجع=Simpson1989}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136730962|مرجع=Ambartzumian1990}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136758425|مرجع=Moore1991}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q120969645|مرجع=Remmert1991}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q105584125|مرجع=Breiman1992}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136682104|مرجع=Devlin1992}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q56050589|مرجع=Esnault1992}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136730099|مرجع=Banerjee1994}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136124705|مرجع=Maor1994}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136745371|مرجع=Mohr1995}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q55878644|مرجع=Corless1996}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136734772|مرجع=Bourbaki1997}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136720820|مرجع=Chui1997}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136609799|مرجع=Gullberg1997}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136645106|مرجع=van der Lubbe1997}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136682252|مرجع=Kline1998}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q47756624|مرجع=Knuth1998}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136592540|مرجع=Bernstein1999}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q55898607|مرجع=Neukirch1999}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136757292|مرجع=Slomson1999}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136722808|مرجع=Matthews2000}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136735450|مرجع=Mathieu2000}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136729418|مرجع=Bird2001}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136744494|مرجع=Rose2002}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136716652|مرجع=Sankaran2002}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136647882|مرجع=Goodrich2003}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136609278|مرجع=Downing2003}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136124439|مرجع=Havil2003}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q34196218|مرجع=Siegler2003}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136750861|مرجع=Bateman2004}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136723042|مرجع=Bradt2004}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136735767|مرجع=Harel2004}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136654102|مرجع=Freedman2005}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136757405|مرجع=Ganguly2005}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136735281|مرجع=Nadel2005}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136744532|مرجع=Tabachnikov2005}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136645058|مرجع=Wegener2005}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136716524|مرجع=Frey2006}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136687603|مرجع=Muller2006}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136592600|مرجع=Parkhurst2006}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136670791|مرجع=Spiegel2006}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136749400|مرجع=Stinson2006}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136678781|مرجع=Tarantola2006}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136757443|مرجع=Wilde2006}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136735308|مرجع=Cherkassky2007}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136747860|مرجع=Helmberg2007}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136758471|مرجع=Nevanlinna2007}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q132467655|مرجع=Higham2008}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136716732|مرجع=Tashev2009}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136747987|مرجع=Wright2009}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136722737|مرجع=Goldstein2010}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136672339|مرجع=Sprott2010}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q56656820|مرجع=Stillwell2010}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136647356|مرجع=Allen2011}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136668195|مرجع=González-Velasco2011}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136724589|مرجع=Crauder2014}}
{{نهاية المراجع}}
:بالفرنسية
{{بداية المراجع|محاذاة=نعم}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136658561|مرجع=Adıvar1939}}
{{نهاية المراجع}}
:باللاتينية
{{بداية المراجع|محاذاة=نعم}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q107666651|مرجع=Nepero1614}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136659941|مرجع=Nepero1619}}
{{نهاية المراجع}}

;المعايير
:بالإنكليزية
{{بداية المراجع|محاذاة=نعم}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q136731711|مرجع=McNaught1997}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q28959682|مرجع=Chicago Press2003}}
* {{استشهاد بويكي بيانات|Q26711931|مرجع=ISO2009}}
{{نهاية المراجع}}

== للاستزادة ==
{{بداية المراجع|محاذاة=نعم}}
*{{شبرينغر
| title = Logarithmic function
| id = p/l060600
}}
*{{استشهاد|مؤلف=Edward Wright|مسار=http://www.johnnapier.com/table_of_logarithms_001.htm|عنوان=Translation of Napier's work on logarithms|لغة=en|تاريخ الوصول=12 October 2010|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20021203005508/http://www.johnnapier.com/table_of_logarithms_001.htm|تاريخ أرشيف=3 December 2002|حالة المسار=dead}}
*{{Cite EB1911|wstitle=Logarithm |volume=16 |pages=868–77 |first=James Whitbread Lee|last=Glaisher|no-icon=نعم}}
{{نهاية المراجع}}

== روابط خارجية ==
* [[إيريك ويستاين|ويستاين، إريك و.]] [https://mathworld.wolfram.com/Logarithm.html "لغارتم"]. [[ماثوورلد]]. {{أيقونة إنجليزية}}
* [https://www.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-exp-and-log/alg-introduction-to-logarithms الدوال الأسية واللغارتمية | الجبر (كل المحتوى) | أكاديمية خان]. [https://web.archive.org/web/20231208072209/https://www.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-exp-and-log/alg-introduction-to-logarithms نسخة مؤرشفة] من الأصل في 8 ديسمبر 2023. {{أيقونة إنجليزية}}
{{شريط سفلي دوال رياضية شائعة}}


{{شريط محتوى متميز|1=مختارة|التاريخ=19 فبراير 2025|النسخة=73573315|تاريخ مراجعة الزملاء=14 ديسمبر 2025}}

[[تصنيف:لغارتمات|*]]
[[تصنيف:دوال خاصة ابتدائية]]
[[تصنيف:عمليات ثنائية]]
[[تصنيف:اختراعات إسكتلندية]]