مبرهنة الجذر النسبي

في الجبر، مبرهنة الجذر النسبي (بالإنجليزية: Rational root theorem)‏ هي مبرهنة تتعلق بالحلول الجذرية لمعادلة حدودية معاملاتها أعداد صحيحة. لتكن المعادلة الحدودية

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0=0$

حيث المعاملات أعداد صحيحة ($a_i\in \mathbb{Z}$) وحيث المعاملان الأول والأخير يختلفان عن الصفر ($a_0,a_n\ne 0$).

كل حل نسبي لـx يمكن كتابته على شكل كسر x=p/q في ابسط صورة تحقق أن p عدد صحيح يقسم $a_0$ و q عدد صحيح يقسم معامل $a_n$.
من النتائج المباشرة من المبرهنة هي أن الحل النسبي يجب أن يكون صحيحاً في حال $a_n=1$.

البرهان

نعرف كثيرة الحدود $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0=0$ حيث $a_n,\cdots ,a_0$ أعداد صحيحة ولنفرض أن p/q حل $P(x)$ حيث p,q أوليان نسبياً.

بالتعويض في $P(x)$ نحصل على

$P(p/q)=a_n(p/q{)}^n+a_{n-1}(p/q{)}^{n-1}+\cdots +a_1(p/q)+a_0=0$

وبنقل $a_0$ للطرف الآخر وضرب طرفي المعادلة في $q^n$ وأخذ $p$ كعامل مشترك نصل إلى

$p(a_n{p}^{n-1}+a_{n-1}q{p}^{n-2}+\cdots +a_1{q}^{n-1})=-a_0{q}^n.$

وبما أن ما بين الأقواس عدد صحيح ولكون p,q أوليان نسبياً نصل إلى أن $p$ تقسم a₀. و بالمثل، إذا نقلنا الحد القائد $a_n$ للطرف الآخر وبالضرب في $q^n$ نصل إلى

$q(a_{n-1}{p}^{n-1}+a_{n-2}q{p}^{n-2}+\cdots +a_0{q}^{n-1})=-a_n{p}^n.$

و بالمثل نستنتج أن q تقسم a_n .

مثال

على سبيل المثال. جميع الجذور النسبية للمعادلة

$3x^3-5x^2+5x-2=0$

يجب أن يكونوا من ضمن الأعداد

± $\frac{1,2}{1,3},$

والذي يعطي 8 إجابات ممكنة:

$1,-1,2,-2,\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3}.$

يمكن إيجاد الحل منها بالعدديد من الطرق، على سبيل المثال طريقة هورنر.

روابط خارجية

• إيريك ويستاين، Rational Zero Theorem، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).