متباينة برنولي

رسم توضيحي لمتباينة برنولي، مع الرسوم البيانية لـ $y=(1+x{)}^r$ و $y=1+rx$ معروضة باللونين الأحمر والأزرق على التوالي. هنا، $r=3$.

في التحليل الحقيقي، متراجحة برنولي المسماة هكذا نسبة إلى ياكوب بيرنولي، هي متراجحة تمكن من الاقتراب من دالة الأس ل$1+x$.

تنص المتراجحة على أن

$(1+x{)}^r\ge 1+rx$

لكل عدد صحيح $r\ge 0$ و لكل عدد حقيقي $x\ge -1$.

برهان المتراجحة

ليكن $x$ من ${\mathbb{R}}^{+}$. لنبين بالترجع على $n$ أن: $(1+x{)}^n\ge 1+nx$

الخاصية صحيحة من أجل $n=0$ لأن:

$(1+x{)}^0\ge 1+0x$

تكافئ $1\ge 1$.

نفترض أن الخاصية صحيحة من أجل $n$ من $N$.إذن:

$(1+x)(1+x{)}^n\ge (1+x)(1+nx)$ (لأن $(1+x)\ge 0$)

$(1+x{)}^{n+1}\ge 1+nx+x+n{x}^2⟸$

$.(1+x{)}^{n+1}\ge 1+(n+1)x+n{x}^2⟸$

$(1+x{)}^{n+1}\ge 1+(n+1)x⟸$

إذن الخاصية صحيحة من أجل $n+1$، و منه النتيجة.

مراجع

• Carothers، N.L. (2000). Real analysis. Cambridge: Cambridge University Press. ص. 9. ISBN:978-0-521-49756-5.
• Bullen، P. S. (2003). Handbook of means and their inequalities. Dordercht [u.a.]: Kluwer Academic Publ. ص. 4. ISBN:978-1-4020-1522-9.
• Zaidman، S. (1997). Advanced calculus : an introduction to mathematical analysis. River Edge, NJ: World Scientific. ص. 32. ISBN:978-981-02-2704-3.

وصلات خارجية

• إيريك ويستاين، Bernoulli Inequality، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

• Bernoulli Inequality by Chris Boucher, Wolfram Demonstrations Project.
• Arthur Lohwater (1982). "Introduction to Inequalities". Online e-book in PDF format. مؤرشف من الأصل في 2012-10-14.
• Paper “Some Equivalent Forms of Bernoulli’s Inequality: A Survey“