لغارتم عقدي

تمثيل دالة لغارتم عقدية على المستوي العقدي (تلوين المجال).

في التحليل عقدي، اللغارتم العقدي دالة عكسية للدالة الأسية العقدية، تمامًا كما هو الحال بالنسبة إلى اللغارتم الطبيعي الذي هو الدالة العكسية للدالة الأسية الحقيقية e^x. إذن، اللغارتم العقدي لعدد عقدي z هو عدد عقدي w حيث e^w = z. يرمز إلى العدد w هذا بالرمز ln z أو log z. بما أن لكل عدد عقدي مختلف عن الصفر عدد لا نهائي من اللغارتمات، فإنه من الواجب الحذر عند كتابة هذه الصيغة من أجل إعطائها معنى واضحا لا لبس فيه.

معضلة كيفية عكس الدالة الأسية العقدية

رسم بياني يبين الجزء التخيلي متعدد القيم لدالة اللغارتم العقدية.

لكي تكون دالة ما تقابلاً، ينبغي أن تربط أعدادًا مختلفة عن بعضها البعض بقيم مختلفة عن بعضها البعض. هذا يعني أنه ينبغي أن تكون متباينة. لكن الدالة الأسية العقدية ليست متباينة. سبب ذلك هو أنه مهما كانت قيمة العدد w، إضافة iθ إلى w في الصيغة e^w+2kπi = e^w يكافئ دوران e^w في عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية تساوي θ راديان. لائحة الأعداد غير المنتهية التالية

$\dots ,w-4\pi i,w-2\pi i,w,w+2\pi i,w+4\pi i,\dots ,$

تمثل على خط مستقيم نقاطًا متساوية التباعد، الواحدة منهن عن التي تليها. ولكن، الدالة الأسية العقدية تربطهن جميعهن بنفس الصورة. نتيجة لذلك، ليس للدالة الأسية العقدية من دالة عكسية بالمعنى الاعتيادي للكلمة.

هناك حلان لهذه المعضلة.

يتمثل الحل الأول في جعل مجموعة انطلاق الدالة الأسية العقدية، تقتصر على مجال ضيق محدد، لا يحتوي على قيمتين مختلفتين تبتعدان عن بعضها البعض بمضاعف للعدد 2πi. هذه التقنية هي التقنية المستعملة من أجل تعريف الدوال المثلثية العكسية الثلاث الأساسية: قوس الجيب وقوس جيب التمام وقوس الظل.

يتمثل الحل الثاني في النظر إلى دالة اللغارتم العقدية دالةً مجموعة انطلاقها، ليست جزءًا من المستوى العقدي وإنما سطح لريمان تغطي المستوي العقدي بشكل معين.

تعريف للقيمة الأساسية

بالنسبة لكل عدد عقدي z = x + yi، اللغارتم العقدي عدد عقدي جزؤه التخيلي ينتمي إلى المجال $]-\pi ,\pi ]$.

$\mathrm{Log}z:=\text{ln }r+i\theta =\ln |z|+i\mathrm{Arg}z=\ln \sqrt{x^2+y^2}+i\mathrm{atan2}(y,x).$

على سبيل المثال، Log(−3i) = ln 3 − πi/2، بينما Log(−3) = ln 3 +πi.

اللغارتم العقدي للصفر يبقى غير معرف لأنه لا وجود لعدد w حيث e^w = 0.

ليس كل الصيغ الصالحة للغارتم الطبيعي مطبقا على الأعداد الحقيقية تبقى صالحة عندما يتعلق الأمر بالأعداد العقدي. الصيغة e^Log z = z صحيحة مهما كان z. تعريف اللغاريتم العقدي هو الذي يضمن هذه الخاصية. ولكن، الصيغة Log e^z = z ليست صحيحة كلما خرج z عن الشريط S. لهذا السبب، لا يمكن دائما تطبيق دالة اللغارتم العقدي على طرفي متطابقة ما من قبيل e^z = e^w من أجل استنتاج z = w.

$\mathrm{Log}((-1)i)=\mathrm{Log}(-i)=\ln (1)-\frac{\pi i}{2}=-\frac{\pi i}{2},$

لكن

$\mathrm{Log}(-1)+\mathrm{Log}(i)=(\ln (1)+\pi i)+(\ln (1)+\frac{\pi i}{2})=\frac{3\pi i}{2}\ne -\frac{\pi i}{2}.$

انظر أيضا

• لغارتم
• دالة أسية
• عمدة عدد عقدي
• الدوال المثلثية العكسية
• امتداد تحليلي