متفاوتة بطليموس

متفاوتة بطليموس تهم المسافات بين أربع نقط من فضاء تآلفي إقليدي.

نص المتفاوتة

متفاوتة بطليموس - لتكن A و B و C و D أربع نقط في فضاء تآلفي إقليدي. إذن،

$AB.CD\le AC.BD+AD.BC$

تستنتج هذه المتفاوتة مباشرة من المتفاوتة المثلثية بالتفاف.

البرهان

لتكن d c b المتجهات AC AB و AD.

حساب فوري يعطي:

${\Vert \frac{b}{|b{|}^2}-\frac{c}{|c{|}^2}\Vert }^2=\frac{1}{|b{|}^2}-2\frac{<b|c>}{\left|b{|}^2\right|c{|}^2}+\frac{1}{|c{|}^2}=\frac{|b-c{|}^2}{\left|b{|}^2\right|c{|}^2}$

$\Vert \frac{b}{|b{|}^2}-\frac{c}{|c{|}^2}\Vert =\frac{|b-c|}{\left|b\right|.\left|c\right|}$

لنطبق المتفاوتة المثلثية ل$\frac{b}{\Vert b{\Vert }^2}$ ،$\frac{c}{\Vert c{\Vert }^2}$ ،$\frac{d}{\Vert d{\Vert }^2}$:

$\frac{\Vert d-c\Vert }{\Vert c\Vert .\Vert d\Vert }\le \frac{\Vert d-b\Vert }{\Vert b\Vert .\Vert d\Vert }+\frac{\Vert b-c\Vert }{\Vert b\Vert .\Vert c\Vert }$

لنضرب هذه المتفاوتة ب$:\Vert b\Vert .\Vert c\Vert .\Vert d\Vert$

$\Vert b\Vert .\Vert d-c\Vert \le \Vert c\Vert .\Vert d-b\Vert +\Vert d\Vert .\Vert b-c\Vert$

و منه المتفاوتة المطلوبة !