عبد العزيز: بوت:إضافة بوابة (بوابة:رياضيات)

2023-11-14T15:45:28Z

بوت:إضافة بوابة (بوابة:رياضيات)

صفحة جديدة

[[ملف:Confidence intervall normal dist.svg|تصغير|600x600بك|100 مجال ثقة للمتوسط الحسابي لمجتمع إحصائي، هذه المجالات محسوبة من 100 عينة عشوائية. أيضا كل من هذه المجالات محسوب بمستوى ثقة قدره 95%. فقط 94 من هذه المجالات يحتوي على القيمة الحقيقية للمتوسط الحسابي للمجتمع μ = 5، بينما 6 مجالات لا تحتوي على القيمة الحقيقية!]]
في [[إحصاء|الإحصاء]]، '''مجال الثقة''' أو '''نطاق الثقة<ref>{{استشهاد بويكي بيانات|Q111421033|صفحة=53}}</ref>''' ([[اللغة الإنجليزية|بالانكليزية]]: Confidence Interval) هو مجال عددي يُتوقع أن يحتوي على القيمة الحقيقية [[معلمة إحصائية|لمَعلَمة]] إحصائية يراد معرفتها [[مجتمع إحصائي|لمجتمع إحصائي]] ما.

يترافق مفهوم مجال الثقة مع مفهوم آخر هو '''مستوى الثقة''' والذي يمكن شرحه كالتالي: لنقل أننا نريد تقدير قيمة [[معلمة إحصائية|مَعلمة]] ما [[مجتمع إحصائي|لمجتمع إحصائي]] وقمنا لهذا الغرض بتكرار تجربة إحصائية على العديد من [[عينة (إحصائيات)|العينات العشوائية]] المأخوذة من [[مجتمع إحصائي|المجتمع]] ومن ثم قمنا بحساب مجال ثقة لقيمة [[معلمة إحصائية|المَعلَمة]] المدروسة من كل من هذه العينات. يُطلق على نسبة عدد مجالات الثقة التي حوت على القيمة الحقيقية للمعلمة اسم مستوى الثقة.<ref>Cox D.R., Hinkley D.V. (1974) ''Theoretical Statistics'', Chapman & Hall, p49, p209</ref><ref>Kendall, M.G. and Stuart, D.G. (1973) ''The Advanced Theory of Statistics''. Vol 2: Inference and Relationship, Griffin, London. Section 20.4</ref><ref name=":0">[[جيرزي نيمان]] (1937). [http://www.jstor.org/stable/91337 "Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability"]. ''[[Philosophical Transactions of the Royal Society A]]''. '''236''': 333–380. [[معرف الغرض الرقمي|معرف الوثيقة الرقمي]]:. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180125191337/http://www.jstor.org/stable/91337|date=25 يناير 2018}}</ref>

عندما نقول أننا واثقون بنسبة 99% (أي أن مستوى الثقة قدره 99%) بأن قيمة المعلمة المنشودة (المتوسط الحسابي مثلا) تقع ضمن مجال الثقة الذي حسبناه من عينة عشوائية فإن هذا يكافئ قولنا بأن 99% من كل مجالات الثقة التي يمكن حسابها من عينات عشوائية من [[مجتمع إحصائي|المجتمع الإحصائي]] المدروس ستحتوي على القيمة الحقيقية للمعلمة. لذا فإنه من الخطأ القول أن مستوى ثقة بقيمة 99% يعني بأن هنالك احتمال 99% بوقوع القيمة الحقيقية للمعلمة ضمن مجال الثقة المحسوب. الصحيح هو أن القيمة الحقيقية للمعلمة إما أن تقع ضمن من مجال الثقة أو أنها لا تقع ضمنه. كلمة الثقة هنا ليس لها علاقة بالاحتمالية وإنما بتكرارية احتواء مجالات الثقة المحسوبة من العديد من العينات على القيمة الحقيقية للمعلمة.<ref name=":0" /> (انظر الشكل الجانبي).

يتم تحديد مستوى الثقة من قِبَل الباحث نفسه وبالتالي هو ليس رقما مستنبطا من بيانات العينة. جرت العادة في أغلب الأبحاث أن يتم استخدام مجالات ثقة بمستوى ثقة قدره 95% ولكن يمكن أن يتم أيضا حسابها بمستويات ثقة أخرى مثل 99% و90%. تجدر الإشارة إلى أن حجم مجال الثقة يتأثر بعدة عوامل مثل حجم العينة المدروسة [[تشتت (إحصاء)|وتشتت المجتمع الإحصائي]].

يعتبر [[جيرزي نيمان]] هو أول من أتى بفكرة مجالات الثقة في الإحصاء وذلك في ورقة بحثية نشرت في العام 1937.<ref name=":0" />

== تعريف ==
لنفرض أن لدينا '''عينة''' عشوائية <math>X</math> من توزع احتمالي ذي [[معلم (توضيح)|معلمة]] (بارامتر) <math>\theta</math>. لكي نتمكن من معرفة قيمة <math>\theta</math> للتوزع الاحتمالي '''بمستوى ثقة''' قدره <math>\gamma</math> يمكننا تعريف '''مجال ثقة''' بحدين عشوائيين <math>u(X)</math> و <math>v(X)</math> يحققان الصيغة التالية:

<math>{\Pr}_{\theta,\phi}(u(X)<\theta<v(X))=\gamma\text{ for all }(\theta,\phi)</math>

حيث:

<math>{\Pr}_{\theta,\phi}</math> يشير إلى توزع الاحتمال للعينة العشوائية <math>X</math> ذي المعلمتين <math>\theta</math> و <math>\phi</math>

<math>\phi</math> هي مَعلمة إحصائية للتوزع الاحتمالي لسنا مهتمين بها في الدراسة لكنها توصّف التوزع الاحتمالي

<math>u,v</math> هما دالتان لتحديد قيمتين عشوائيتين من <math>X</math> (التي بدورها هي عينة عشوائية)

يمكن قراءة الصيغة أعلاه على النحو التالي: إن مجال الثقة الواقع بين الحدين العشوائيين <math>u(X)</math> و <math>v(X)</math> المأخوذين من العينة العشوائية <math>X</math> يحتوي على القيمة الحقيقية لـ <math>\theta</math> باحتمال قدره <math>\gamma</math>. لاحظ أنه يمكننا استعمال مفهوم «الاحتمال» هنا كون أننا ما زلنا نتكلم عن عينة عشوائية <math>X</math> لكن حالما نقوم فعليا بأخذ العينة ولنسمها <math>x</math> ونقوم بتحديد مجال ثقة بعينه <math>(u(x),v(x))</math> فإننا أصبحنا أمام مثال واحد (عينة واحدة) من بين كل الأمثلة الممكنة (كل العينات الممكنة) وبالتالي لن يكون من الصحيح الحديث عن "''احتمال'' قدره <math>\gamma</math> لاحتواء المجال على قيمة المعلمة <math>\theta</math>" وإنما نقول أن هذا المجال هو ذو ''مستوى ثقة'' قدره <math>\gamma</math>.

== مجال الثقة في اختبارات الفرضيات الإحصائية ==
إذا أجرينا [[اختبار فرضية إحصائية]] ما فيكون مستوى الثقة هو متمم [[مستوى الدلالة|متسوى الدلالة]] المنشود للاختبار. فإذا كان مستوى الدلالة المطلوب من قبل الباحثين هو 5% فيجب أن يكون مستوى الثقة هو 95%.<ref>Field, Andy (2013). ''Discovering statistics using SPSS''. London: SAGE.</ref> وبهذا يكون مجال الثقة حاويا على القيم المحتملة [[معلمة إحصائية|للمعلمة الإحصائية]] والتي عند إخضاعها للاختبار الإحصائي باستخدام نفس العينة فلن يمكن أن يتم [[اختبار فرضية إحصائية|رفضها]].

== انظر أيضًا ==
* [[مجتمع إحصائي]]
* [[توزيع احتمالي طبيعي|توزع احتمالي طبيعي]]

== المراجع ==

{{مراجع}}
{{مراجع}}
{{تصنيف كومنز|Confidence interval}}
{{مصادر طبية}}
{{إحصاءات}}
{{شريط بوابات|إحصاء|رياضيات}}

{{ضبط استنادي}}

[[تصنيف:إحصاء]]
[[تصنيف:إحصاء حيوي]]
[[تصنيف:بحوث التسويق الكمية]]
[[تصنيف:علم النفس التنظيمي]]

مجال ثقة - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: بوت:إضافة بوابة (بوابة:رياضيات)