عبد العزيز: بوت: إصلاح أخطاء فحص أرابيكا من 1 إلى 104

2023-07-21T00:11:20Z

بوت: إصلاح أخطاء فحص أرابيكا من 1 إلى 104

صفحة جديدة

{{عن|أحد الأشكال الهندسية}}
{{بطاقة متعدد سطوح
| name = مثلث
| image = Triangle illustration.svg
| caption = مثلث
| edges = 3
| schläfli = {3} (للمثلث متساوي الأضلاع)
| area = هناك طرق عدة لحساب المساحة (راجع قسم المساحة)
| angle = 60° (للمثلث متساوي الأضلاع)
}}
{{شريط جانبي هندسة رياضية}}

'''المثلث''' هو أحد الأشكال الأساسية في [[هندسة رياضية|الهندسة]]، وهو شكل ثنائي الأبعاد مكون من ثلاثة [[رأس (توضيح)|رؤوس]] تصل بينها ثلاثة [[ضلع (توضيح)|أضلاع]]، وتلك الأضلاع هي [[قطعة مستقيمة|قطع مستقيمة]].<ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=38738 | عنوان = معلومات عن مثلث على موقع thes.bncf.firenze.sbn.it | ناشر = thes.bncf.firenze.sbn.it|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191213014314/http://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=38738|تاريخ أرشيف=2019-12-13}}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://brilliant.org/wiki/triangles/ | عنوان = معلومات عن مثلث على موقع brilliant.org | ناشر = brilliant.org| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190403224450/https://brilliant.org/wiki/triangles/ | تاريخ أرشيف = 3 أبريل 2019}}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://www.britannica.com/science/triangle-mathematics | عنوان = معلومات عن مثلث على موقع britannica.com | ناشر = britannica.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170402222142/https://www.britannica.com/topic/triangle-mathematics | تاريخ أرشيف = 2 أبريل 2017}}</ref> ومجموع طولي أي ضلعين في مثلث أكبر من طول الضلع الثالث (شرط وجود المثلث). والمثلث الذي رؤوسه هي A و B و C يُرمز له بالرمز <math>\triangle ABC</math>

== أنواع المثلثات ==
[[ملف:Euler diagram of triangle types.svg|تصغير|320px|[[رسم أويلر]] مبينا أنواع المثلثات، مستعملا المثلثات المتساوية الساقين: لها على الأقل ضلعان متساويان، أي أن المثلثات متساوية الأضلاع هن حالة خاصة من المثلثات متساويات الساقين.]]

=== حسب أطوال الأضلاع ===
من الممكن تصنيف المثلثات تبعا لأطوال أضلاعها كما يلي:
* '''[[مثلث متساوي الأضلاع]]''': هو مثلث جميع أضلاعه متساوية، وتكون جميع [[زاوية (توضيح)|زوايا]] المثلث متساوي الأضلاع متساوية أيضا، وقيمة كل منها 60 درجة.
* '''مثلث متساوي الضلعين''': ويسمى أيضا '''متساوي الساقين'''، هو مثلث فيه ضلعان متساويان. الزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين تكونان متساويتين أيضا.
* '''مثلث مختلف الأضلاع أو أخْمَعيّ''':<ref>إدوار غالب، ''الموسوعة في العلوم الطبيعية'' (ط. الثانية)، دار المشرق، بيروت، ج. الأول، ص.36، يُقابله scalene، ويعني مختلف الأضلاع

</ref> هو مثلث أطوال أضلاعه مختلفة، زوايا هذا المثلث تكون مختلفة القيم أيضا.

<font size="-1">
<table align=center>
<tr align="center">
<td>[[ملف:Triangolo-Equilatero.png|مثلث متساوي الأضلاع]]    </td>
<td>    [[ملف:Triangle.Isosceles.png|مثلث متساوي الساقين]]  </td>
<td>  [[ملف:Triangolo-Scaleno.png|مثلث مختلف الأضلاع]]</td>
</tr>
<tr align="center">
<td>متساوي الأضلاع    </td>
<td>    متساوي الساقين  </td>
<td>  مختلف الأضلاع</td>
</tr>
</table>
</font>

=== حسب زواياه الداخلية ===
يمكن أيضا تصنيف المثلثات تبعا لقياس الزوايا الداخلية في المثلث:
* '''[[مثلث قائم|مثلث قائم الزاوية]]''': له زاوية قياسها 90 درجة ([[زاوية قائمة]])، يدعى الضلع المقابل للزاوية القائمة ب[[وتر (توضيح)|الوتر]]، وهو أطول أضلاع هذا المثلث.
* '''مثلث منفرج الزاوية''': له زاوية قياسها أكبر من 90 درجة وأصغر من 180 درجة (زاوية منفرجة).
* '''مثلث حاد الزوايا''': كل زواياه قياسها أصغر من 90 درجة ([[زاوية حادة]]).

<font size="-1">
<table align=center>
<tr align="center">
<td>[[ملف:Triangolo-Rettangolo.png|مثلث قائم]]  </td>
<td>  [[ملف:Triangolo-Ottuso.png|مثلث منفرج]]    </td>
<td>    [[ملف:Triangle.Acute.png|مثلث حاد]]</td>
</tr>
<tr align="center">
<td>قائم  </td>
<td>  منفرج    </td>
<td>    حاد</td>
</tr>
</table>
</font>

الضلع الأفقي يسمى «'''قاعدة المثلث'''».

== حقائق عن المثلثات ==
=== مجموع زوايا المثلث ===
[[ملف:Triangle sommeangles.svg|يسار|200px|تصغير|مجموع الزوايا الداخلية للمثلث 180 درجة (الزوايا التي لها نفس اللون متساوية).]]

مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة.

ويمكن إثبات ذلك عن طريق الزاوية المستقيمة، كما هو مبين بالشكل المجاور.

=== الزاوية الخارجية للمثلث ===
[[ملف:Remint3.svg|200px|يسار|تصغير|الزاوية الخارجية للمثلث]]
الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخلتين غير المجاورة لها.

في الشكل المجاور يكون قياس الزاوية (ACD) يساوي مجموع قياسي الزاويتين (ABC) و (BAC).

مجموع الزوايا الخارجية الثلاثة (واحدة لكل رأس) لأي مثلث هو 360 درجة.

=== [[تطابق (هندسة)|تطابق مثلثين]] ===

يقال عن مثلثين أنهما متطابقان إذا توافرت أحد الشروط التالي:
# إذا تساوت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما (ضلع، ضلع، ضلع).
# إذا تساوت زاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني وتساوى طول الضلع المشترك بين الزاويتين مع نظيره في المثلث الثاني (زاوية، ضلع، زاوية).
# إذا تساوى قياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث آخر وتساوت أطوال الضلعين اللذين يحتويان هذه الزاوية في مثلث مع أطوال الضلعين المناظرين في المثلث الثاني (ضلع، زاوية، ضلع).

==== نتائج التطابق ====
- مساحتي المثلثين المتطابقين متساويتين.

- محيطي المثلثين المتطابقين متساويين.

=== [[تشابه (هندسة)|تشابه مثلثين]] ===
يقال عن مثلثين أنهما متشابهين إذا كانت الزوايا المتقابلة لكل منهما متساوية، أي عندما ينتج أحدهما عن الآخر بتكبيره أو تصغيره. وتكون أطوال أضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة، أي أنه إذا كان طول أقصر أضلاع المثلث الأول هو ضعفا طول أقصر أضلاع المثلث الثاني، فإن طول كل من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأول هو ضعفا طولي الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضا، وبالتالي فإن النسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الأول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الثاني. ويرمز للتشابه بالرمز (~)

==== حالات التشابه ====
# يتشابه مثلثان إذا تناسبت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما (ضلع، ضلع، ضلع).
# يتشابه مثلثان إذا تساوت زاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني (زاويا).
# يتشابه مثلثان إذا تساوى قياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث آخر وتناسبت أطوال الضلعين اللذين يحتويان هذه الزاوية (ضلع، زاوية، ضلع).

==== نتائج التشابه ====
- النسبة بين مساحتي مثلثين متشابهين تساوي مربع النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما.

- النسبة بين محيطي مثلثين متشابهين تساوي النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما.

=== نظرية فيثاغورس ===
واحدة من النظريات الأساسية في المثلثات هي [[مبرهنة فيثاغورس|نظرية فيثاغورس]] والتي تنص على أنه في المثلث القائم، مربع طول الوتر (c) يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين (a, b)، أي:

<math> c^2 = a^2 + b^2 \, </math>
[[ملف:Pythagorean.svg|تصغير|[[مبرهنة فيثاغورس|نظرية فيثاغورس]]]]
مما يعني أن معرفة طولي ضلعين من المثلث القائم، كافٍ لمعرفة طول الضلع الثالث:

من الممكن تعميم نظرية فيتاغورس لتشمل أي مثلث عبر [[قانون جيب التمام]]:

[[مربع (جبر)|مربع]] طول الضلع = مجموع مربعي الضلعين الآخرين مطروح منه ضعف حاصل ضرب طولي الضلعين الآخرين في [[جيب التمام|جيب تمام]] «الزاوية المحصورة بينهما»

<math>c^2 = a^2 + b^2 -2ab\ Cos\theta\, </math>

و هو صحيح لكل المثلثات حتى لو لم تكن الزاوية (<math>\theta \, </math>) قائمة.

== حساب مساحة المثلث ==
انظر [[قوانين مساحة المثلث]].

=== باستعمال علم المثلثات ===

أبسط طريقة لحساب مساحة المثلث وأكثرها شهرة هي:

المساحة = ½ القاعدة × الارتفاع

:<math>Area=\frac{1}{2}bh</math>
حيث <math>b</math> هي طول قاعدة المثلث و <math>h</math> هو ارتفاع المثلث. قاعدة المثلث تمثل أي ضلع من أضلاع المثلث والارتفاع هو طول العمود النازل على هذه القاعدة من الرأس المقابل لها.

من الممكن البرهان على ذلك من خلال الشكل التالي:

<font size="-1">
<table align="center">
<tr align="center">
<td>[[ملف:Triangle.GeometryArea.png|حساب مساحة المثلث هندسيا]]</td>
</tr>
<tr align="center">
<td>
يحول المثلث أولاً [[متوازي أضلاع|لمتوازي أضلاع]]<br />
مساحته ضعف مساحة المثلث، ثم إلى [[مستطيل]].
</td>
</tr>
</table>
</font>

=== باستعمال صيغة هيرو ===
{{مفصلة|صيغة هيرو}}
يمكن حساب المساحة باستخدام صيغة هيرو (أو هيرون) وذلك كالتالي:

''<br />
:<math>A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}</math>
حيث ''s'' هو نصف طول محيط المثلث:
:<math>s=\frac{a+b+c}{2}.</math>
و ''a'' و ''b'' و ''c'' أطوال أضلاع المثلث ''ABC''.

=== 1. باستعمال المتجهات ===
قد تحسب مساحة متوازي أضلاع في فضاء اقليدي ثلاثي الأبعاد باستعمال المتجهات. ليكن AB (قد يرمز إلى المتجهة AB ب <math>\scriptstyle \overrightarrow{AB}</math>) و AC المتجهتين المنطلقتين من A والواصلتين إلى B و C على التوالي. مساحة متوازي الأضلاع ABCD هي
:<math>|\mathbf{AB}\times\mathbf{AC}|</math>
والذي يعنى وُسع [[ضرب اتجاهي|الضرب الاتجاهي]] للمتجهتين AB و AC. مساحة المثلث تساوي نصف هذا الوسع أي:
:<math>\frac{1}{2}|\mathbf{AB}\times\mathbf{AC}|</math>

== نقاط ومستقيمات ودوائر متصلة بالمثلث ==
* [[عمود منصف|المنصف العمودي]] أو المتوسط العمودي لمثلث هو مستقيم [[عمودي (توضيح)|عمودي]] على أحد أضلاع المثلث من منتصفه، وتتلاقى المتوسطات العمودية لمثلث في نقطة تسمى مركز [[دائرة محيطة|الدائرة المحيطة]] بالمثلث، ويكون لهذه النقطة نفس البعد عن رؤوس المثلث الثلاثة، ويكون تقاطع متوسطين عموديين فقط كافياً لمعرفة مركز هذه الدائرة.
{{تحديد|left}}
[[ملف:Triangle.Circumcenter.svg|إطار|يمين|الدائرة المحيطة لمثلث تمر من رؤوس المثلث]]
* تقول [[مبرهنة طاليس (دائرة)|نظرية الدائرة المحيطة بمثلث قائم]] أنه إذا كان مركز الدائرة المحيطة بالمثلث على ضلع من أضلاع المثلث فإن الزاوية المقابلة لهذا الضلع تكون قائمة.

[[ملف:Triangle.Orthocenter.svg|إطار|يسار|نقطة تقاطع الارتفاعات في مثلث تسمى [[ارتفاع (مثلث)|المركز القائم]]]]
* [[ارتفاع (مثلث)|الارتفاع]] هو مستقيم يمر براّس من رؤوس المثلث ويكون عمودياً غلى الضلع المقابل للرأس. ويمثل الارتفاع البعد بين الرأس والضلغ المقابل له كما تتقاطع الارتفاعات في نقطة تسمى [[ارتفاع (مثلث)|مركز قائم]].

[[ملف:Triangle.Incircle.svg|إطار|يمين|تقاطع منصفات الزوايا في مركز الدائرة المحاطة بالمثلث]]
* [[تنصيف|منصف الزاوية]] هو مستقيم يمر من أحد رؤس المثلث ويقسم الزاوية إلى نصفين وتتقاطع المنصفات الثلاثة في مركز [[دوائر داخلية وخارجية لمثلث|الدائرة المحاطة]] بالمثلث وهي الدائرة التي تمس أضلاع المثلث الثلاثة.
* [[متوسط (هندسة رياضية)|المتوسط]] هو [[قطعة مستقيمة|قطعة مستقيم]] تنطلق من أحد رؤس المثلث وتمر من منتصف الضلع المقابل لهذا الرأس وتتقاطع المتوسطات الثلاثة في نقطة تسمى [[مركز ثقل]] المثلث ويكون تقاطع متوسطين فقط كافياً لمعرفة مركز الثقل. كما يكون البعد بين رأس المثلث و[[مركز ثقل|مركز الثقل]] مساوياً لـ<math>\frac{2}{3}</math> من طول المتوسط الصادر من ذلك الرأس.

[[ملف:Triangle.Centroid.svg|إطار|يسار|المتوسطات ومركز الثقل.]]
* [[منصف (توضيح)|منتصفات]] الأضلاع و[[تقاطع (توضيح)|نقطة تقاطع]] الارتفاع والضلع المقابل له موجودة كلها على [[دائرة النقاط التسع]]ة للمثلث والنقاط الثلاثة المتبقية هي منتصف البعد بين رأس المثلث و[[ارتفاع (مثلث)|المركز القائم]] و[[نصف القطر|نصف قطر]] دائرة النقاط التسعة يساوي ½ نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث.

[[ملف:Triangle.NinePointCircle.svg|إطار|يسار|[[دائرة النقاط التسع]]ة]]

== المثلثات غير المستوية ==
انظر [[هندسة كروية|الهندسة الكروية]] و[[هندسة زائدية|الهندسة الزائدية]].

== المثلثات في الهندسة المعمارية ==
[[ملف:Edificio Fuller (Flatiron) en 2010 desde el Empire State crop boxin.jpg|تصغير|يسار| [[مبنى فلاتيرون]] في نيويورك بُني على شكل [[موشور مثلثي]]]]

يعتقد أن المثلثات ستستعمل في المستقبل أكثر مما هي عليه الآن في المعمار، حيث تزداد الهندسة المعمارية تعقدا.

== مراجع ==
{{مراجع}}

== انظر أيضا ==

{{col-begin}}{{فاصل-عمو}}
* [[تطابق (هندسة)]]
* [[مبرهنة ديزارغ|مبرهنة ديسارغو]]
* [[نقطة فيرما]]
* [[مثلث هيروني]]
* [[قانون جيب التمام]]
{{فاصل-عمو}}
* [[قانون الجيب]]
* [[قانون الظل]]
* [[مبرهنة ليستر]]
* [[قائمة مواضيع المثلث|لائحة المواضيع المتعلقة بالمثلث]]
* [[مثلث مساقط|مثلث دواسة]]
* [[متباينة بيدو|متراجحة بيدو]]
{{فاصل-عمو}}
* [[مبرهنة فيثاغورس]]
* [[مثلثات قائمة خاصة]]
* [[عدد مثلثي]]
* [[متوسط (هندسة رياضية)|متوسط المثلث]]
* [[تنصيف|منصف الزاوية]]
* [[ارتفاع (مثلث)|ارتفاع المثلث]]
* [[قوانين مساحة المثلث]]
* [[حساب المثلثات|علم مثلثات]]
* [[دائرة محيطة]]
{{نهاية-عمو}}

{{مضلعات}}
{{هندسة رياضية}}
{{شريط بوابات|رياضيات|هندسة رياضية}}
{{روابط شقيقة}}

{{ضبط استنادي}}

[[تصنيف:مثلثات|*]]
[[تصنيف:أشكال ثنائية الأبعاد]]
[[تصنيف:مضلعات]]
[[تصنيف:هندسة المثلث]]

مثلث - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: بوت: إصلاح أخطاء فحص أرابيكا من 1 إلى 104