عبد العزيز: بوت: إصلاح أخطاء فحص أرابيكا من 1 إلى 104

2023-07-21T00:11:13Z

بوت: إصلاح أخطاء فحص أرابيكا من 1 إلى 104

صفحة جديدة

[[ملف:BoysSurfaceTopView.PNG|تصغير|الفضاء الإسقاطي الحقيقي هو متعدد شعب ثنائي الأبعاد لا يمكن تمثيله في ثلاثة أبعاد دون أن يقطع نفسه، معروضة هنا [[Boy's surface|كسطح بوي]]. ]]
[[ملف:Polar_stereographic_projections.jpg|يسار|تصغير|سطح الأرض يتطلب (على الأقل) خارطتين ليتضمّن كل نقطة. هنا، الكرة الأرضية مقسمة إلى خرائط حول القطبين الجنوبي والشمالي.]]
في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''متعدد الشعب '''أو '''الشتيتة '''([[اللغة الإنجليزية|بالإنجليزية]]: Manifold) هو <nowiki/>[[فضاء طوبولوجي]] يشبه [[فضاء إقليدي|الفضاء الإقليدي]] حول كل نقطة.<ref>{{استشهاد بدورية محكمة |الأول=R. |الأخير=Sikorski |عنوان=Abstract covariant derivative |صحيفة=Coll. Math. |المجلد=18 |العدد= |صفحات=251–272 |سنة=1967 |مسار= https://www.impan.pl/cgi-bin/shvold?cm18 |مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20141023134440/http://journals.impan.gov.pl/cgi-bin/shvold?cm18|تاريخ أرشيف=2014-10-23}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب |عنوان=Geometry of Differential Forms |مؤلف1=Shigeyuki Morita |مؤلف2=Teruko Nagase |مؤلف3=Katsumi Nomizu |صفحة=12 |مسار=https://books.google.com/books?id=5N33Of2RzjsC&pg=PA12
|isbn=0-8218-1045-6 |سنة=2001 |ناشر=American Mathematical Society Bookstore | مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191215090426/https://books.google.com/books?id=5N33Of2RzjsC&pg=PA12 | تاريخ أرشيف = 15 ديسمبر 2019 }}</ref><ref>{{استشهاد بدورية محكمة |الأخير=Whitney |الأول=H. |مؤلف-وصلة=Hassler Whitney |عنوان=Differentiable Manifolds |صحيفة=Ann. of Math. |سلسلة=2 |المجلد=37 |العدد=3 |سنة=1936 |صفحات=645–680 |jstor=1968482 }}</ref> بشكل أدق، لكل نقطة في متعدد شعب نونيّ -الأبعاد [[جوار (رياضيات)|جوار]] <nowiki/>[[تشابه الشكل البلوري|هوميمورفي]] للفضاء الإقليدي النونيّ الأبعاد.

من ضمن متعددات الشعب أحادية البعد [[مستقيم (رياضيات)|الخطوط]] [[دائرة|والدوائر]]. تسمى متعددات الشعب ثنائية البعد [[سطح|أسطحًا]]. من أمثلة الأسطح: [[مستو (رياضيات)|المستوي]]، [[كرة|الكرة]]، [[طارة (رياضيات)|والطارة]] والذين يمكن [[تضمين رياضي|طمرهم]] (أي إدراجهم بدالة هوميومورفية) في الفضاء ثلاثي الأبعاد، كما توجد [[زجاجة كلاين]] و[[Real projective plane|الفضاء الإسقاطي الحقيقي]] اللذان لا يمكن طمرهم في الفضاء ثلاثي الأبعاد دون التقاطع بنفسهم، ولكن بالإمكان طمرهم في الفضاء الرباعي الأبعاد.

ورغم أن متعدد الشعب يبدو كالفضاء الإقليدي محليًا (أي في جوار كل نقطة) إلا أنه قد لا يكون كذلك شموليًا. على سبيل المثال، سطح الكرة ليس فضاء إقليديًا، ولكن في منطقة معينة يمكن إحداثه بواسطة [[إسقاط الخرائط|إسقاط خرائط]] للمنطقة على الفضاء الإقليدي (في سياق متعددات الشعب تسمّى نظم إحداثيّات). في حال أن تندرج منطقة تحت نظامين إحداثيين، لا تتطابق الإحداثيات تمامًا وبالتالي يتطلّب تحويل للانتقال من واحد للآخر يسمى «دالة انتقالية».

مفهوم متعدد الشعب هو مفهوم جوهري لعديد من فروع الهندسة والفيزياء الرياضية لأنها تسمح بوصف وفهم العديد من البنى المعقدة باستخدام خواص الفضاء الإقليدي الأكثر فهمًا نسبيًا. تطرأ متعددات الشعب تلقائيًا كمجموعات حل لنظم المعادلات وكرسوم بيانية للدوال. لمتعددات الشعب خواص إضافية. أحد الأصناف الهامة من متعددات الشعب هو متعددات الشعب التفاضلية. هذه البنية التفاضلية تسمح باستخدام أساليب التفاضل على متعددات الشعب. [[متعدد شعب ريماني|المقياس الريماني]] على متعدد شعب يسمح بقياس المسافات والزوايا. [[Symplectic manifold|متعددات الشعب الجدلية]] (Symplectic manifolds) تخدم [[فضاء الطور|كفضاءات طورية]] في [[ميكانيكا هاملتوني|الميكانيكا الهاميلتونية]]، بينما تمثّل متعددات الشعب اللورنتزية (Lorentzian manifolds) الرباعية الأبعاد الزمكان في [[النسبية العامة]].

== الأمثلة المحفّزة ==

=== الدائرة ===
[[ملف:Circle_with_overlapping_manifold_charts.svg|يسار|تصغير|الشكل 1: النظم البيانية الأربعة كل منها تربط جزءًا من الدائرة إلى [[مجال فاصل (رياضيات)|فترة]] [[مجموعة مفتوحة|مفتوحة]]، ومعًا يغطون الدائرة بأكملها.]]
غير الخط، تعتبر الدائرة أبسط مثال على متعدد شعب. تتجاهل الطوبولوجيا الانحناء، ولذلك فإن قطعة صغيرة من الدائرة تُعامل تمامًا كما تُعامل قطعة صغيرة من خط. على سبيل المثال، انظر إلى الجزء العلوي من [[دائرة وحدة|دائرة الوحدة]]، حيث الإحداثية y موجبة (القوس الأصفر في الشكل 1). أي نقطة في هذا القوس يمكن التعبير عنها بإحداثيتها x. لذلك، [[إسقاط سكاني|الإسقاط]] على الإحداثيّ الأول يمثّل دالة [[دالة مستمرة|مستمرّة]] <nowiki/>[[تقابل (دالة)|وتقابلية]] من القوس العلوي للفترة المفتوحة (-1، 1):
: <math> \chi_{\mathrm{top}}(x,y) = x . \,</math>
دوال كهذه مع المناطق المفتوحة التي يدلّون عليها تسمى نظمًا إحداثية. بشكل مماثل، هناك نظم إحداثية للأقواس الأيسر (أزرق) والأسفل (أحمر) والأيمن (أخضر) من الدائرة:

: <math> \chi_{\mathrm{bottom}}(x,y) = x </math>
: <math> \chi_{\mathrm{left}}(x,y) = y </math>
: <math> \chi_{\mathrm{right}}(x,y) = y.</math>

معًا، تغطي جميع هذه النظم البيانية الدائرة ومجموعة هذه النظم تسمى [[Atlas (topology)|أطلسًا]].

النظام البياني العلوي والأيمن يتداخلان، حيث تقاطعهم يقع في ربع الدائرة حيث كلا الإحداثيين x وy موجبان. النظامان χtop و χright كلاهما يدلّان هذا المقطع إلى الفترة (0,1). إذًا، بالإمكان إنشاء دالة T من الفترة (0,1) لنفسها، والتي تستخدم معاكس دالّة النظام العلوي للوصول للدائرة ومن ثم العودة للفترة عن طريق دالّة النظام الأيمن. ليكن a أي عدد في (0,1). لدينا أن:

: <math>\begin{align}
T(a) &= \chi_{\mathrm{right}}\left(\chi_{\mathrm{top}}^{-1}\left[a\right]\right) \\
&= \chi_{\mathrm{right}}\left(a, \sqrt{1-a^2}\right) \\
&= \sqrt{1-a^2}
\end{align}</math>

تسمى هذه الدالة [[Atlas (topology)|دالة انتقالية]].
[[ملف:Circle_manifold_chart_from_slope.svg|يسار|تصغير|شكل 2: نظام بياني لمتعدد شعب الدائرة مبني على الميل، يغطي جميع نقط الدائرة سوى نقطة واحدة (الزرقاء).]]
النظم البيانية العلوية والسفلية واليمنى واليسرى توضّح أن الدائرة متعدد شعب، ولكنها لا تكوّن الأطلس الوحيد للدائرة. لا يجب أن تكون النظم البيانية إسقاطات هندسية، وعدد النظم هو مسألة اختيار. انظر لدوال النظم:

: <math>\chi_{\mathrm{minus}}(x,y) = s = \frac{y}{1+x}</math>

و

: <math>\chi_{\mathrm{plus}}(x,y) = t = \frac{y}{1-x}{}</math>

هنا، s هو ميل الخط الذي يمر بالنقطة (x,y) ونقطة المحور الثابتة (−1, 0)، وبالمثل t هو الميل ولكن بنقطة المحور (+1, 0). الدالة العكسية من s إلى (x, y) تعطى من خلال

: <math>\begin{align}
x &= \frac{1-s^2}{1+s^2} \\
y &= \frac{2s}{1+s^2}
\end{align}</math>

من السهل تأكيد بأن x2 + y2 = 1 لجميع قيم الميل s. هذان النظامان يوفّران أطلسًا آخر للدائرة، حيث

: <math>t = \frac{1}{s}</math>

كل من النظم يحذف نقطة واحدة، إما (−1, 0) لـs أو (+1, 0) لـt. من الممكن إثبات أنه لا يمكن تغطية كل الدائرة بنظام بياني واحد.

== تركيبات أخرى ==
=== زمرة لاي (Lie Group) ===

{{مفصلة|زمرة لاي}}

من أشهر الأمثلة لمتعدد الشعب هي زمر لاي، وهي عبارة عن متعدد شعب ناعم (قابل للتفاضل لانهائياً)، ولديها أيضا بنية الزمرة. مثلاً، تعد الزمرة المتعامدة الخاصة <math>SO(n,\mathbb{R})</math> متعدد شعب حيث يتم اعتبار المصفوفات <math>A \in \mathbb{R^{n\times n}}</math> كنقاط في الفضاء <math>\mathbb{R^{n^{2}}}</math> وإثبات خصائص متعدد الشعب باستخدام [[مبرهنة الدالة الضمنية|المبرهنة عبر الدوال الضمنية]].<ref>{{استشهاد بكتاب|مسار= https://www.springer.com/de/book/9780387406152|عنوان=Classical Mathematical Physics - Dynamical Systems and Field {{!}} Walter Thirring {{!}} Springer|لغة=en|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20180219090135/http://www.springer.com/de/book/9780387406152|تاريخ أرشيف=2018-02-19}}</ref>

== مراجع ==
{{مراجع}}

{{تصنيف كومنز|Manifolds}}
{{موتر}}
{{شريط بوابات|هندسة رياضية}}
{{ضبط استنادي}}

[[تصنيف:متعدد شعب| ]]

متعدد شعب - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: بوت: إصلاح أخطاء فحص أرابيكا من 1 إلى 104