عبد العزيز: استرجاع تعديلات 105.74.2.228 (نقاش) حتى آخر نسخة بواسطة Elsayed Taha

2023-10-08T17:30:17Z

استرجاع تعديلات 105.74.2.228 (نقاش) حتى آخر نسخة بواسطة Elsayed Taha

صفحة جديدة

[[ملف:Cauchy sequence illustration2.svg|يسار|تصغير|350px|متتالية غير منتهية من الأعداد الحقيقية (باللون الأزرق). هذه المتتالية ليست تصاعدية ولا تنازلية, وليست لها نهاية (أي أنها ليست متقاربة، إذن، هي متباعدة)، وليست هي [[متتالية كوشي|بمتتالية كوشي]]. ولكنها محدودة.]]

'''المتتالية''' {{إنج|Sequence}} (ويطلق عليها المتتابعة والمتوالية وال[[تناسب (توضيح)|تناسب]]<ref>محمد كريم خان الكرماني. رسالة كشف المجهول في علم الحساب واستخراج المجهولات العددية. [https://www.alabrar.info/webview.aspx?newbook=yes&book=86-kashf ص. 4] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180228162833/http://www.alabrar.info/webview.aspx?newbook=yes&book=86-kashf |date=28 فبراير 2018}}</ref><ref>[[:wikt:proportio|prōportiō]] باللاتينية ([http://mathforum.org/library/drmath/view/62617.html Naming Geometric and Arithmetic Progressions.] Math Forum at Drexel - Ask Dr. Math) {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180725003121/http://mathforum.org/library/drmath/view/62617.html |date=25 يوليو 2018}}</ref>) هي مجموعة من الأغراض أو الأحداث أو الحروف المرتبة بنمط خطي (وله معنى بحيث أن ظهور الحرف أو الحدث بعد الآخر له دلالة ولم يأتي عبثاً قد يكون وفق تطبيق محدد) حيث يكون ترتيب أعضاء المتتالية محدداً تماماً ومميزاً. هذه الأعضاء تسمى [[عناصر (توضيح)|عناصر]] المتتالية أو [[حد (رياضيات)|حدودها]].

إذا وضعنا مقابل كل عدد طبيعي <math>n</math> عددا حقيقيا <math>x_n</math> فنحصل على: <math>x_0,x_1,x_2,...,x_n,...</math> وكل هذه الاعداد ندعوها بحدود المتتالية و <math>x_n</math>الحد العام.

و المهم في المتتالية أنها من أجل كل <math>n\in N</math> أن الحد <math>x_{n+1}</math> يلي الحد <math>x_n</math> والحد <math>x_n</math> يسبق الحد <math>x_{n+1}</math> بغض النظر عن قيمهما.

== نبذة تاريخية ==
* دُرِسَت المتتاليات العددية الأولى في اليونان القديمة{{بحاجة لمصدر}}، مثل متتالية الأعداد الأولية و[[أرخميدس]] قام بأعمال حول المتتاليات التي نهايتها تساوي p.
* في القرن الثالث عشر اكتشف الإيطالي [[ليوناردو فيبوناتشي]] المتتالية التراجعية البسيطة التي تحمل اسمه: <math>u_n = u_{n-1}+u_{n-2}</math>مع <math>u_0=1</math> و <math>u_1=1</math>والتي تترجم نمو تكاثر الحيوانات وتدخل المتتالية في توزيع وترتيب اوراق بعض النباتات بحيث يضمن هذا التوزيع وصول أكبر قدر من اشعة الشمس، وقد أثبت عام 1975 بأن عناصر هذه المتتالية تمثل جذورا لكثيرات حدود من الدرجة الخامسة. .
* المتتاليات الحسابية والهندسية ظهرت في أوروبا وفي الصين في القرون الوسطى.
* في [[عصر النهضة]] درست المتتاليات المعروفة لدينا الآن.<ref>{{استشهاد بكتاب|مسار= http://www.education.gov.dz|عنوان=الرياضيات لسنة الثالثة من التعليم الثانوي العام و التكنولوجي|تاريخ=|موقع=|ناشر=الديوان الوطني للمطبوعات المدرسية|مكان=الجزائر|تاريخ الوصول=|الأخير=مراد|الأول=محمد فاتح|بواسطة=|سنة=2007|ISBN=978-9947-20-534-1|المجلد=الثاني|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20190904224659/http://www.education.gov.dz/|تاريخ أرشيف=2019-09-04}}</ref>

== التعريف الرسمي والخصائص الأساسية ==
=== تعريف ===
يُسمى متتاليةً عدديّةً كل تطبيق منطلقه [[عدد طبيعي|مجموعة الأعداد الطبيعية]] <math>N</math> ومستقره حقل <math>K</math>.
نرمز عادة إلى المتتالية بالرمز <math>(U_n)_{n\in N}</math>أو <math>\{u_n\}</math>عوضاََ عن:<ref>{{استشهاد بكتاب|مسار=www.hiast.edu.sy|عنوان=التحليل 1|تاريخ=|موقع=|ناشر=المعهد العالي للعلوم التطبيقية والتكنولوجيا|مكان=الجمهورية العربية السورية|تاريخ الوصول=|الأخير=قوبا|الأول=عمران|بواسطة=|سنة=2017|ISBN=978-9933-9228-8-7|صفحة=87|تاريخ النشر=2017|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20190516203934/https://hiast.edu.sy/|تاريخ أرشيف=2019-05-16}}</ref>

<math>\begin{matrix} u:N \rightarrow K \\ n\mapsto u_n \end{matrix}</math>

'''تعريف متتالية من خلال الاستدعاء الذاتي (تعريف التدرجي)''' :

حيث يكون كل حد في المتتالية متعلقاً بالحد أو الحدود التي قبله، كأن يكون كل حد هو مجموع الحدين الذين قبله

مثال: مهما يكن <math>\forall n \in N </math> نعرف المتتالية <math>\{x_n\}</math> كما يلي: <math>\begin{matrix} x_0=1 \\ x_{n+1}=(n+1)x_n \end{matrix}</math>

'''تعريف متتالية دالة''' :

مثال: <math>x_n = \frac{2^n}{2^n+1}</math>

=== متتالية عددية حقيقية لانهائية محدودة ===
نقول عن المتتالية <math>\{x_n\}</math>محدودة إذا كانت محدودة في <math>R</math> أي: مهما كان <math>m,M \in R</math>يكون: <math>m \leq x_n \leq M</math>

أو: <math>\left\vert x_n \right\vert < K</math>من أجل كل <math>n\in N</math>و <math>K</math> [[عدد حقيقي]] موجب.<ref name=":0">{{استشهاد بكتاب|عنوان=التحليل 1|تاريخ=|ناشر=مديرية الكتب الجامعة - سورية -|مكان=الجمهورية العربية السورية|تاريخ الوصول=|الأخير=عبد الواحد|الأول=ابو حمدة|بواسطة=|عمل=|سنة=1988}}</ref>

أي أن مجموعة قيم أي متتالية عددية حقيقية لا نهائية تكون مجموعة اما منتهية وغير خالية أو غير منتهية وتكون إما محدودة أو غير محدودة.

ونقول انها محدودة من الأعلى إذا كانت مجموعة قيمها محدودة من الأعلى ونقول أنها محدودة من الأدنى إذا كانت مجموعة قيمها محدودة من الأدنى.

و نقول ان المتتالية ما محدودة لما تكون مجموعة قيمها محدودة من الأعلى والأدنى في اَن واحد.<ref name=":1">{{استشهاد بكتاب|عنوان=التحليل 1 تذكير بالدروس و تمارين محلولة عدد 300|تاريخ=|ناشر=ديوان المطبوعات الجامعية|مؤلف1=بابا حامد|مؤلف2=بن حبيب|محرر1=|لغة=|مكان=الجزائر|الأول=|بواسطة=|عمل=|سنة=2006|ISBN=9961-0-0997-5}}</ref>

=== المتتاليات الحسابية والمتتاليات الهندسية ===
قد تكون متتالية ما [[متتالية حسابية|حسابيةً]] إذا كان الفرق بين قيمتي حدين متتابعين للمتتالية ثابثاً، وتكون [[متتالية هندسية|هندسيةً]] إذا كانت النسبة بين قيمتي حدين متتابعين للمتتالية ثابثة. وقد تكون غير ذلك (أي أنها ليست حسابية وليست هندسية).

=== المتتاليات المطردة ===
نقول عن المتتالية العددية إنها متتالية مطردة إذا كانت إما متتالية تصاعدية أو تنازلية أو تصاعدية تماما أو تنازلية تماما.

'''متتالية تصاعدية ومتتالية تنازلية'''

يقال عن متتالية ما أنها '''[[دالة رتيبة|تصاعدية]]''' إذا كان كل حد أكبر من الحد الذي يسبقه أو يساويه. ويقال عنها أنها '''تصاعدية تماماً''' إذا كان كل حد أكبر تماماً من الحد الذي يسبقه. ويقال عن متتالية ما أنها '''[[دالة رتيبة|تنازلية]]''' إذا كان كل حد أصغر من الحد الذي يسبقه أو يساويه. ويقال عنها أنها '''تنازلية تماماً''' إذا كان كل حد أصغر تماماً من الحد الذي يسبقه.

بالتعبير الرياضي:

نقول أن المتتالية العددية <math>\{x_n\} </math>أنها:

* تصاعدية إذا كان <math>x_n \leq x_{n+1}</math> من أجل كل <math>n\in N^*</math>
* تنازلية إذا كان <math>x_n \geq x_{n+1} </math> من اجل كل <math>n\in N^*</math>
* تصاعدية تماما إذا كان <math>x_n < x_{n+1}</math> من اجل كل <math>n\in N^*</math>
* تنازلية تماما إذا كان <math>x_n > x_{n+1}</math> من اجل كل <math>n\in N^*</math>'''<ref name=":1" />'''

=== المتتاليات الجزيئة ===
ال[[متتالية جزئية|متتالية الجزئية]] لمتتالية ما، هي متتالية تتكون من عناصر المتتالية الأصلية، بعد حذف بعض العناصر منها، دون تغير الترتيب النسبي الذي جاءت فيه العناصر غير المحذوفة. على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الزوجية 0، 2، 4، 6... هي متتالية جزئية من متتالية الأعداد الطبيعية، 0، 2، 4، 6، 8.... (في هذا المثال حذفت جميع الأعداد الفردية).

لتكن لدينا المتتالية العددية <math>x_1;x_2;...;x_n;... </math>ولنختر من بين حدودها حدََا نرمز له بالرمز <math>x_{n_{1}} </math>ثم نحذف من هذه المتتالية الحدود <math>x_1;x_2;...,x_{n_1} </math>فتبقى لدينا الحدود <math>x_{n_1+1};x_{n_1+2};...</math>, ومن الحدود المتبقية نختار الحدََا نرمز له بـ <math>x_{n_2}</math>ونكرر نفس عملية الحذف وهكذا حتى نحصل على المتتالية الجديدة: <math>x_{n_1};x_{n_2};...;x_{n_k};...</math>, تدعى هذه المتتالية بالمتتالية الجزئية من المتتالية <math>x_1;x_2;...;x_n;...</math>و يكون الحد العام للمتتالية الجزئية هو <math>x_{n_k}</math>و نلفت النظر ان رقم الحد <math>x_{n_k}</math>يتعين بواسطة <math>k</math>وليس <math>n</math>.

وننوه أن: <math>n_k \geq k</math>من أجل كل <math>k \in N^*</math>وهذا يعني انه من اجل كل <math>k \in N^*</math>يكون الحد <math>x_{n_k}</math>إما يساوي الحد <math>x_k</math>أو يساوي أحد الحدود التي تلي الحد <math>x_k</math>, ويمكن البرهان على هذا بالاستقراء: فمن أجل <math>k=1</math>تكون القضية <math>n_1\geq 1</math>صحيحة لان الحد <math>x_{n_{1}}</math>هو إما <math>x_1</math> أو أحد الحدود التي تلي <math>x_1</math>في المتتالية <math>x_1;x_2;...;x_n;...</math>و لنفرض أن المتباينة <math>n_m\geq m</math>صحيحة من اجل <math>k=m</math> عندئذ نجد أن: <math>n_{m+1}\geq n_m+1 \geq m+1</math> وبهذا قد أثبتنا المطلوب.
=== أنواع أخرى من المتتاليات ===
تُدعى متتالية ما ''جدائية'' إذا كان<math display="inline">f(x \times y) = f(x) \times f(y)</math> حينما يكون x و y [[عدد أولي|أوليين فيما بينهما]]. [[دالة موبيوس|متتالية موبيوس]] مثال على ذلك.

انظر إلى [[مجموعة مرتبة جزئيا]] وإلى [[دالة رتيبة]].

== نهاية متتالية وتقاربها ==

=== متتالية عددية حقيقية متقاربة ===
نقول عن العدد <math>a</math> انه نهاية المتتالية العددية <math>\{x_n\}</math>و نكتب: <math>\lim_{n \to \infty} x_n =a</math> عندما وفقط عندما يتحقق ما يلي:

<math>\forall \epsilon\in R^*_+ \ \exist \ n_\epsilon \in N : n\geq n_\epsilon \Rightarrow |x_n-a|<\epsilon</math>

حيث العدد الطبيعي <math>n_\epsilon </math>يتغير في الحالة العام بتغير العدد <math>\epsilon</math>.<ref name=":0" />

ونقول عن المتتالية العددية الحقيقية اللانهائية التي توجد لها نهاية بإنها متتالية '''متقاربة''' . وإذا كانت هذه النهاية تساوي <math>a</math> نقول عن هذه المتتالية انها متقاربة من <math>a</math>

ويمكن كتابة تعريف المتتالية المتقاربة في <math>R</math>بالشكل التالي:

نقول عن المتتالية <math>\{x_n\}</math>أنها متقاربة من العدد الحقيقي <math>a \in R </math> [[إذا وفقط إذا]] كان <math>\lim_{n \to \infty} x_n =a</math>.<ref name=":1" />

=== متتالية متباعدة ===
يُقال عن متتالية عددية <math>\{x_n\}</math> أنها متباعدة إذا لم تكن متقاربة. ويتوفر ذلك في إحدى الحالتين التاليتين:
* نهاية هذه المتتالية هو ما لا نهاية له. [[دالة مطابقة|المتتالية الحيادية]] التي تربط كل عدد n بنفسه مثال على ذلك.
* المتتالية حيث متتاليتان جزئيتان تقتربان من نهايتين مختلفتين. المتتالية المتناوبة <math>\{x_n\} = (-1)^n</math> مثال على ذلك.

=== متتالية كوشي ===
{{مفصلة|متتالية كوشي}}
يُقال عن متتالية أنها لكوشي إذا كانت حدود هذه المتتالية تتقارب من بعضها البعض بشكل غير محدود من القرب كلما آل n إلى ما لا نهاية له. سُميت هذه المتتاليات هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي [[أوغستين لوي كوشي]].

== مبرهنات اساسية حول التقارب ==

=== المبرهة الأولى: وحدانية نهاية متتالية ===
'''إذا كانت المتتالية العددية <math>\{x_n\}</math> متقاربة من العدد <math>a</math> ومن العدد <math>b</math> فإن <math>a=b</math>.'''

'''الاثبات:''' ليكن <math>\epsilon \in R^*_+</math>عندئذ <math>\frac{\epsilon}{2}\in R^*_+ </math>ويوجد عددان طبعيان يختلفان عن الصفر <math>n_1</math>و <math>n_2</math> بحيث يكون:

<math>\forall n \in N^* \ : n\geq n_1 \Rightarrow |x_n-a|<\frac{\epsilon}{2} </math>

<math>\forall n \in N^* \ : n\geq n_2 \Rightarrow |x_n-b|<\frac{\epsilon}{2} </math>

ومنه يوجد عدد الطبيعي <math>n_3 = \max(n_1;n_2) </math> بحيث يكون:

<math>\forall n \in N^* \ : n\geq n_3 \Rightarrow |x_n-a|<\frac{\epsilon}{2} \ \land \ |x_n-b|<\frac{\epsilon}{2}</math>

<math>\Rightarrow |a-b|=|a-x_n+x_n-b|\leq |a-x_n|+|x_n-b|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon </math>

وبهذا قد برهن على القضية الصحيحة الاتية:

<math>\forall \epsilon \in R^*_+ \exist n_3 \in N^* \ : n\geq n_3 \Rightarrow |a-b|<\epsilon</math>

ومنه يمكن استنتاج أن <math>a=b</math>كما يلي:

لو كان <math>a \neq b </math> لكان <math>|a-b|>0</math>وبالتالي لكان يوجد عدد <math>n_3 \in N^* </math> بحيث يكون <math>|a-b|\leq|a-b|</math>عندما <math>n\geq n_3 </math> وهذا غير ممكن اذن <math>a = b </math> وهو المطلوب.

=== المبرهة الثانية: كل متتالية متقاربة محدودةٌ ===
'''كل متتالية عددية متقاربة تكون محدودة.'''

'''الاثبات:''' لتكن المتتالية <math>\{x_n\}</math> متقاربة ولنفرض انها متقاربة نحو <math>a</math> عندئذ يوجد من اجل كل العدد الحقيقي الموجب 1 عدد طبيعي يختلف عن الصفر <math>n_1</math> بحيث يكون:

<math>n > n_1 \Rightarrow |x_n-a|<1 </math>

ومنه يوجد العدد الحقيقي الموجب: <math>K=\max(1;|x_1-a|;...;|x_n-a|)+1
</math>بحيث يكون من أجل كل <math>n \in N^*</math> :

<math>|x_n-a|<K</math>ومنه: <math>a-K<x_n<a+K</math> وهذا يعني ان مجموعة قيم المتتالية <math>\{x_n\}</math>محدودة وبالتالي فالمتتالية <math>\{x_n\}</math>محدودة.

ليس من الضروري ان كل متتالية عددية محدودة تكون متقاربة.

=== المبرهنة الثالثة: إزاحة حدود متتالية ===
'''لتكن المتتالية العددية <math>\{x_n\}</math> ليكن <math>n_\epsilon \in N^* </math> و <math>a \in \R </math> لنفرض أنه من اجل كل <math>n \in N^* </math> يكون <math>y_n = x_{n_0+n-1} </math> ولنأخذ المتتالية العددية <math>\{y_n\} </math> عنذئذ:'''

# '''المتتالية <math>\{x_n\} </math>متقاربة من <math>a </math> <math>\Leftrightarrow </math>المتتالية <math>\{y_n\} </math>متقاربة من <math>a </math>.'''
# '''المتتالية <math>\{x_n\} </math>متباعدة <math>\Leftrightarrow </math> لمتتالية <math>\{y_n\} </math>متباعدة.'''

'''الاثبات '''

'''1)''' لتكن <math>\{x_n \}</math>متتالية متقاربة من <math>a</math>وليكن <math>\epsilon \in R^{+}</math>عندئذ يوجد <math>N_1 \in N^*</math>بحيث أن:

<math>n \geqslant N_1 \Rightarrow \mid x_n - a \mid < \epsilon</math>

ثم نفرض أن <math>N_2= \max(N_1 , N_0)</math>عندئذ يكون:

<math>n \geqslant N_2 \Rightarrow \mid x_n - a \mid < \epsilon</math>

وحسب تعريف <math>y_n </math>يمكن القول أنه يوجد عدد طبيعي <math>N'</math> بحيث يكون:

<math>n \geqslant N' \Rightarrow \mid y_n - a \mid < \epsilon</math>

اذن <math>\lim_{n \to \infty}y_n=a </math> وهذا يعني أن <math>\{y_n\} </math>متقاربة من <math>a</math>.

وبالعكس نفرض أن <math>\{y_n\} </math>متتالية متقاربة من <math>a</math> وليكن <math>\epsilon' \in R^{+}</math>عندئذ يوجد <math>N_3 \in N^*</math>بحيث يكون:

<math>n \geqslant N_3 \Rightarrow \mid y_n - a \mid < \epsilon'</math>

وحسب تعريف <math>y_n </math>يمكن ايجاد عدد طبيعي <math>N''</math>بحيث يكون:

<math>n \geqslant N'' \Rightarrow \mid x_n - a \mid < \epsilon'</math>

اذن <math>\lim_{n \to \infty}x_n=a </math>وهذا يعني أن <math>\{x_n\} </math>متقاربة من <math>a</math>.

'''2)''' لتكن <math>\{x_n \}</math> متباعدة ولنفرض أن <math>\{y_n\} </math> متقاربة وعندئذ وحسب '''(1)''' تكون <math>\{x_n \}</math> وهذا مستحيل ومنه <math>\{y_n\} </math> متباعدة.

وبالعكس لتكن <math>\{y_n\} </math> متباعدة ولنفرض أن <math>\{x_n \}</math> أنها متقاربة وحسب '''(1)''' تكون <math>\{y_n\} </math> وهذا مستحيل اذن <math>\{x_n \}</math> متباعدة.

=== المبرهنة الرابعة: تقارب المتتاليات الجزئية ===
'''تكون المتتالية العددية <math>\{x_n\}</math>متقاربة من <math>a</math> إذا وفقط إذا كانت كل متتالية جزئية منها متقاربة من <math>a</math>.<ref name=":1" />'''

الاثبات: اولا نفرض أن كل متتالية جزئية من المتتالية <math>\{x_n\}</math>متقاربة من <math>a</math>عندئذ تكون المتتالية <math>\{x_n\}</math>متقاربة من <math>a</math>لانها متتالية جزئية من نفسها.

ثانيا لنفرض أن المتتالية <math>\{x_n\}</math>متقاربة من <math>a</math> ولنأخذ منها متتالية جزئية اختيارية ولتكن <math>\{x_{n_k}\}</math>ثم نأخذ <math>\epsilon \in R^*_+</math>عندئذ يوجد <math>n_1 \in N^*</math>بحيث يكون: <math>n \geq n_1 \Rightarrow |x_n-a|< \epsilon</math> لما كان <math>n_k \geq k</math> من أجل كل <math>k \in N^*</math> فإن الحد <math>x_{n_k}</math>إما أن يساوي <math>x_k</math>أو يكون يكون واقعا على يمين الحد <math>x_k</math>في المتتالية <math>x_1;x_2;...;x_n;...</math> ومنه يكون: <math>k \geq n_1 \Rightarrow |x_{n_k}-a|< \epsilon</math>إذن المتتالية الجزئية <math>\{x_{n_k}\}</math>متقاربة من <math>a</math>. وبهذا قد أثبتنا المطلوب.

== المتسلسلات ==
{{مفصلة|متسلسلة (رياضيات)}}
[[مجموع (علم الحساب)|مجموع]] حدود متتالية هو [[متسلسلة (رياضيات)|متسلسلة]]. وبتعبير أدق، إذا كانت (''x''3, ''x''2, ''x''1, ...) متتالية، فإنه قد يُنظر إلى متتالية المجاميع الجزئية (''S''3, ''S''2, ''S''1, ...) حيث:

:<math>S_n=x_1+x_2+\cdots + x_n=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i.</math>

:<math>\sum\limits_{i=1}^\infty x_i.</math>

== المتتاليات في مجالات أخرى من الرياضيات ==
=== الطوبولوجيا ===
مفهوم الكثافة: كثافة [[مجموعة جزئية]] من فضاء طبولوجي في نفس الفضاء أو فضاء آخر. فأنت إذا أردت مثلا إثبات مساواة أو متباينة في مجموعة الأعداد الحقيقية يكفيك في أغلب الأحيان أن تثبتها في مجموعة الأعداد الناطقة، وهذا بفضل كثافة هذه المجموعة الأخيرة في مجموعة العداد الحقيقية. انظر إلى [[فضاء متري]].

=== التحليل الرياضي ===
* دراسة المعادلات التفاضلية: نحصل على حلول هذه المعادلات في الكثير من الأحيان نهايات متتاليات تقربنا شيئا فشيئا من الحل الدقيق.
* الحساب (أو التحليل) العددي: التقريبات وتقديرات الأخطاء تتم عموما عبر المتتاليات.
* تعريف مفاهيم رياضية أخرى: الانتقال مثلا من تعريف مفهوم المكاملة للدالة معرفة على مجال حقيقي وتأخذ قيمها في فضاء مجرد.
* فضاء باناخي (Banach (1945-1892 مثل <math>R^n </math>- يمر عبر المتتاليات.
* ومن التطبيقات التي نجدها في المتتاليات أنها تمكن من تعريف العديد من الدوال المألوفة مثل:
** [[دالة أسية|الدالة الأسية]].
** [[جيب (رياضيات)|الدالة المثلثية جب]].
** [[جيب التمام|الدالة المثلثية تجب]].
** [[لوغاريتم|الدالة اللوغاريتمية]] (بوصفها [[دالة عكسية|الدالة العكسية]] للدالة الأسية).
** [[ظل (حساب المثلثات)|الدالة المثلثية ظل]] (بوصفها نسبة للدالتين المثلثيتين جب وتجب).

=== في علم الحاسوب ===
في [[علم الحاسوب]]، متتالية منتهية من الحروف تسمى [[سلسلة (علم الحاسوب)|سلسلة]].

== انظر أيضا ==
* [[المتتالية 1±]]
* [[متتالية حسابية]]
* [[متتالية هندسية]]
* [[متتالية كوشي]]
* [[تبديل (رياضيات)|تبديل]]
* [[علاقة متعدية]]

== مصادر ==

* بابا حامد، بن حبيب (الطبعة الرابعة 2006) التحليل 1 تذكير بالدروس وتمارين محلولة عدد 300. (ترجمة عبد الحفيظ مقران) الجزائر ديوان المطبوعات الجامعية (ISBN 9961-0-0997-5)
* عمران، قوبا (2017).التحليل الجزء الأول . الطبعة الثانية .الجمهورية العربية السورية .المعهد العالي للعلوم التطبيقية والتكنولوجيا.
* مراد، محمد فاتح ; تاوريريت، جمال; قورين، مجمد ; فلاح، عبد الحفيظ ; موس، عبد المؤمن ; بلجيلالي، غريسي (2007) الرياضيات الجزء الثاني لسنة الثالثة من التعليم الثانوي العام . الجزائر . الديوان الوطني للمطبوعات المدرسية .
* أبو حمدة، عبد الواحد (1988).التحليل 1.الجمهورية العربية السورية . جامعة دمشق - مديرية الكتب الجامعية .

== مراجع ==
{{مراجع}}

{{ضبط استنادي}}
{{متسلسلات (رياضيات)}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}
{{روابط شقيقة}}

[[تصنيف:رياضيات ابتدائية]]
[[تصنيف:متتاليات ومتسلسلات]]

متتالية - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: استرجاع تعديلات 105.74.2.228 (نقاش) حتى آخر نسخة بواسطة Elsayed Taha