عبد العزيز: تعريب V2.1

2023-03-26T17:43:43Z

صفحة جديدة

{{صندوق معلومات دالة رياضية
| اسم = دالة قوس الظل
| صورة = Arctangent.svg
| تعليق = التمثيل البياني للدالة
| حجم صورة =
| بدل صورة =
| ترميز = <math>\arctan x</math>
| دالة عكسية = <math>\tan x</math> على المجال <math>\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[</math>
| مشتق دالة = <math>\frac {1}{1+x^2}</math>
| مشتق عكسي = <math>x\, \arctan x-\frac12\ln\left(1+x^2\right) + C</math>
| زوجية أم فردية = فردية
| مجال = <math>\R</math>
| مجال مقابل = <math>\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[</math>
| plusinf =
<math>\frac\pi2</math>
| minusinf =
<math>-\frac\pi2</math>
| صفر = 0
| حد أعلى =
| حد أدنى =
| vr1 =
| f1 =
| vr2 =
| f2 =
| vr3 =
| f3 =
| vr4 =
| f4 =
| vr5 =
| f5 =
| جذر = 0
| نقطة انقلاب = 0
| نقطة ثابتة = 0
| ملاحظات =
| خط مقارب = <math>y=\frac\pi2</math> عند <math>+\infty</math>
<br /><math>y=-\frac\pi2</math> عند <math>-\infty</math>
}}

في [[رياضيات|الرياضيات]]، دالة '''قوس الظل''' <ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=قاموس المصطلحات العلمية - انكليزي/فرنسي/عربي|مؤلف1=|بواسطة=|الأول=|مكان=|محرر1=|مؤلف2=|تاريخ أرشيف=2020-03-19|مسار=https://books.google.dz/books?id=mE9uDwAAQBAJ&pg=PA1&dq=Termes+scientifiques&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwj1l4CcoIvnAhUJ1BoKHUilD9wQ6AEIJzAA#v=onepage&q&f|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20200319185732/https://books.google.dz/books?id=mE9uDwAAQBAJ&pg=PA1&dq=Termes+scientifiques&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwj1l4CcoIvnAhUJ1BoKHUilD9wQ6AEIJzAA#v=onepage&q&f|مؤلف1=ميشال إبراهيم ورامي أبو سليمان وفادي|لغة=ar|ISBN=978-2-7451-5445-3|تاريخ=2007-01-01|ناشر=دار الكتب العلمية|عمل=}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=مجموعة المصطلحات العلمية والفنية التي أقرها المجمع|مسار=https://books.google.dz/books?id=R2dJAAAAYAAJ&q=%22%D9%82%D9%88%D8%B3+%D8%AC%D9%8A%D8%A8+%D8%A7%D9%84%D8%AA%D9%85%D8%A7%D9%85%22&dq=%22%D9%82%D9%88%D8%B3+%D8%AC%D9%8A%D8%A8+%D8%A7%D9%84%D8%AA%D9%85%D8%A7%D9%85%22&hl=fr&sa=X&ved=2ahUKEwj_nMu7yrzrAhURxYUKHd-8AbkQ6AEwBHoECAAQAQ|تاريخ=1957|لغة=ar|مؤلف1=مجمع اللغة العربية بالقاهرة|ناشر=|مؤلف2=|محرر1=|مكان=|الأول=|بواسطة=|عمل=| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200828000419/https://books.google.dz/books?id=R2dJAAAAYAAJ&q=%22%D9%82%D9%88%D8%B3+%D8%AC%D9%8A%D8%A8+%D8%A7%D9%84%D8%AA%D9%85%D8%A7%D9%85%22&dq=%22%D9%82%D9%88%D8%B3+%D8%AC%D9%8A%D8%A8+%D8%A7%D9%84%D8%AA%D9%85%D8%A7%D9%85%22&hl=fr&sa=X&ved=2ahUKEwj_nMu7yrzrAhURxYUKHd-8AbkQ6AEwBHoECAAQAQ | تاريخ أرشيف = 28 أغسطس 2020 }}</ref> {{إنج|Arctangent}} [[عدد حقيقي|لعدد حقيقي]] المعرفة على <math>\R</math> هي [[دالة عكسية|الدالة العكسية]] ل[[ظل (حساب المثلثات)|دالة الظل]]، [[مستقر دالة|مستقرها]] هو <math>\left] -\frac\pi2 , \frac\pi2 \right[</math>، وحدتها هي ال[[راديان]].

[[دالة|الدالة]] التي ترفق بكل عدد حقيقي، قيمة قوس الظل الخاص به يرمز لها بـ '''arctan''' أو {{تعبير رياضي|'''tan <sup>-1</sup>'''}}. ومن ثم تكون [[دالة عكسية|الدالة العكسية]] لدالة الظل المثلثية [[اقتصار (رياضيات)|المقتصرة]] إلى [[مجال فاصل (رياضيات)|المجال]] <math>\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[</math> .

في المَعْلم الديكارتي [[تعامد ممنظم|المتعامد والمتجانس]] (متعامد ممنظم) للمستوي، يتم الحصول على التمثيل البياني لدالة قوس ظل الزاوية انطلاقا من التمثيل البياني لدالة الظل المقتصرة إلى المجال <math>\left] -\frac\pi2 , \frac\pi2 \right[</math> ب[[تناظر انعكاسي|انعكاس]] حول المحور ذو المعادلة {{تعبير رياضي|1=''y = x''}}.

== مشتق ==
دالة الظل العكسية تقبل [[مشتق (رياضيات)|الإشتقاق]] على <math>\R</math> ودالتها المشتقة هي:

<math>\arctan'x=\frac1{1+x^2}</math>

=== إثبات ===
يمكننا كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة:<math>(\arctan x)' ={d \over dx} \arctan x</math>

نضع <math>\theta = \arctan x</math>:

:<math>\frac {d\theta}{d \tan \theta}
= \frac {d\theta}{d\theta (1+\tan ^2 \theta)}
= \frac {1}{1+\tan ^2 \theta}
= \frac {1}{1+x^2}</math>
'''إثبات آخر'''

يمكن استنتاج مشتقة '''قوس الظل''' كالتالي:

'''1.''' معلوم أن '''tan(arctan(x))=x''' بتفاضل الطرفين:

<math>(\tan(\arctan(x))'=x'</math>

نحصل على :

<math>{(\tan(\arctan(x))^2 + 1)}{ d \over dx }{\arctan(x)}= 1</math>

بتبسيط '''tan(arctan(x))''' نحصل على:

<math>{(x^2 +1)}{ d \over dx}{\arctan(x)}=1</math>

و بترتيب التعبير نحصل على مشتقة دالة '''قوس الظل''' :

<math>{d \over dx}{\arctan(x)}=\frac{1}{1 + x^2}</math>

== تمثيل بواسطة متسلسلة ==
يمكننا تمثيل الدالة بواسطة [[متسلسلة تايلور]]:

:<math>\forall x\in [-1,1]\quad
\arctan x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= x - \frac13 x^3 + \frac15 x^5 - \frac17 x^7+ \cdots
</math>.

== المشتق العكسي ==
يتم الحصول على [[مشتق عكسي|المشتق العكسي]] لدالة قوس الظل عن طريق [[تكامل بالتجزئة|التكامل بالتجزئة]] :

<math>x\, \arctan x-\frac12\ln\left(1+x^2\right) + C</math>

== على المستوي العقدي ==

=== الشكل اللوغاريتمي ===
يمكننا التعبير عن دالة قوس الظل باستخدام [[لوغاريتم عقدي|اللوغاريتم العقدي]]:

:<math>\forall x\in\Complex\setminus\left(i\left(]-\infty,-1]\cup[1,+\infty[\right)\right)\quad\arctan x=\frac1{i}\operatorname{artanh}( ix)=\frac1{2i}\ln\left(\frac{1+ix}{1-ix}\right)=\frac{\ln(1+ix)-\ln(1-ix)}{2i}</math>

حيث <math>\operatorname{artanh} x</math> هي [[دوال زائدية عكسية|دالة الظل الزائدية العكسية]].

=== تمثيل الدالة العقدية ===
[[ملف:Complex_arctan.jpg|بديل=|تصغير|141x141بك|[[تلوين المجال|التمثيل البياني اللوني]] للدالة <math>\arctan z</math>]]

== طالع أيضًا ==

* [[دوال مثلثية عكسية]]
* [[قوس الجيب]]
* [[قوس جيب التمام]]
* [[قوس الظل ثنائي العمدة]]

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات|هندسة رياضية}}
{{روابط شقيقة}}

{{شريط سفلي حساب المثلثات}}

[[تصنيف:تحليل حقيقي]]
[[تصنيف:دوال مثلثية]]

قوس الظل - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: تعريب V2.1