عبد العزيز: (GR) File renamed: File:Constructible polygoon set.svg → File:Constructible polygon set.svg Criterion 3 (obvious error)

2023-01-10T21:42:02Z

(GR) File renamed: File:Constructible polygoon set.svg → File:Constructible polygon set.svg Criterion 3 (obvious error)

صفحة جديدة

في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''عدد فيرما''' {{إنج|Fermat number}} هو [[عدد طبيعي|عدد صحيح موجب]] يكتب على شكل:

:<math>F_{n} = 2^{2^{ \overset{n} {}}} + 1</math>

حيث ''n'' هو عدد صحيح غير سالب.<ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://oeis.org/A000215 | عنوان = معلومات عن عدد فيرما على موقع oeis.org | ناشر = oeis.org| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200812210809/http://oeis.org/A000215 | تاريخ أرشيف = 12 أغسطس 2020 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://d-nb.info/gnd/4672709-7 | عنوان = معلومات عن عدد فيرما على موقع d-nb.info | ناشر = d-nb.info| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20201031012251/https://portal.dnb.de/opac.htm?method=simpleSearch&cqlMode=true&query=nid=4672709-7 | تاريخ أرشيف = 31 أكتوبر 2020 }}</ref> سمي كذلك نسبة إلى [[بيير دي فيرما]] لأنه هو أول من درس هذه الأعداد.

إذا كان العدد 2''n'' + 1 [[عدد أولي|عددا أوليا]] وكان ''n'' > 0 من الممكن برهان أن ''n'' هو من مضاعفات العدد 2.

لائحة أعداد فيرما الأولية المعروفة لا تحتوي على غير F0 وF1 وF2 وF3 وF4.

== الخصائص الأساسية ==
تحقق أعداد فيرما [[علاقة استدعاء ذاتي|العلاقات ذاتية الاستدعاء]] التالية:

:<math>
F_{n} = (F_{n-1}-1)^{2}+1</math>

:<math>
F_{n} = F_{0} \cdots F_{n-1} + 2</math>

كلما توفر ''n'' ≥ 1.

:<math>
F_{n} = F_{n-1} + 2^{2^{n-1}}F_{0} \cdots F_{n-2}</math>

:<math>
F_{n} = F_{n-1}^2 - 2(F_{n-2}-1)^2</math>

كلما توفر ''n'' ≥ 2. يُبرهن على هذه العلاقات باستعمال [[استقراء رياضي|البرهان بالترجع]].

== هل أعداد فيرما أولية ؟ ==
درست أعداد فيرما وأعداد فيرما الأولية من طرف عالم الرياضيات بيير دي فيرما، الذي [[حدسية (توضيح)|حدس]] (ولكنه أعلن عدم إمكانه البرهان على ذلك) أن جميع أعداد فيرما هي أعداد أولية. بالفعل، فالأعداد F4,...,F0 هي أعداد أولية. ولكن هاته الحدسية دحضت من طرف [[ليونهارت أويلر|ليونهارد أويلر]] عندما أثبت عام 1732 أن :

:<math> F_{5} = 2^{2^5} + 1 = 2^{32} + 1 = 4294967297 = 641 \cdot 6700417. \; </math>

أثبت أويلر أن جميع العوامل القاسمة لأعداد فيرما تكتبن على الشكل ''k''{{space|hair}}2''n''+1 + 1 ليثبت بعده [[إدوارد لوكا]]س أنهن تكتبن على الشكل ''k''{{space|hair}}2''n''+2 + 1. (أي أنه أثبت بأن k الذي جاء في صيغة أويلر زوجي).

== تعميل أعداد فيرما ==
أعداد فيرما التسعة الأولى هن :

{|
|-
|''F''0 ||=|| 21||+||1 ||=||[[3]]||
|-
|''F''1 ||=|| 22||+||1 ||=||[[5 (عام)|5]]||
|-
|''F''2 ||=|| 24||+||1 ||=||[[17]]||
|-
|''F''3 ||=|| 28||+||1 ||=||[[257]]||
|-
|''F''4 ||=|| 216||+||1 ||=||[[65537]]||
|-
|''F''5 ||=|| 232||+||1 ||=||4,294,967,297||
|-style="background:white; color:gray"
| || || || || ||=||641 × 6,700,417
|-
|''F''6 ||=|| 264||+||1 ||=||18,446,744,073,709,551,617||
|-style="background:white; color:gray"
| || || || || ||=||274,177 × 67,280,421,310,721
|-
|''F''7 ||=|| 2128||+||1 ||=||340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457||
|-style="background:white; color:gray"
| || || || || ||=||59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721
|-
|''F''8 ||=|| 2256||+||1 ||=||115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,937||
|-style="background:white; color:gray"
| || || || || ||=||1,238,926,361,552,897 × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321
|-
|}

{| class="wikitable" border="1"
|-
! العام
! المخترع
! عدد فيرما
! العامل
|-
| 1732
| [[ليونهارت أويلر|أويلر]]
| <math>F_5</math>
| <math>5 \cdot 2^7 + 1</math>
|-
| 1732
| أويلر
| <math>F_5</math> (معملة بشكل كامل)
| <math>52347 \cdot 2^7 + 1</math>
|-
| 1855
| [[توماس كلوسين]]
| <math>F_6</math>
| <math>1071 \cdot 2^8 + 1</math>
|-
| 1855
| كلوسين
| <math>F_6</math> (معملة بشكل كامل)
| <math>262814145745 \cdot 2^8 + 1</math>
|-
| 1877
| [[إيفان ميخيفيتش بيرفوشين|بيرفوشين]]
| <math>F_{12}</math>
| <math>7 \cdot 2^{14} + 1</math>
|-
| 1878
| بيرفوشين
| <math>F_{23}</math>
| <math>5 \cdot 2^{25} + 1</math>
|-
| 1886
| [[Paul Peter Heinrich Seelhoff|Seelhoff]]
| <math>F_{36}</math>
| <math>5 \cdot 2^{39} + 1</math>
|-
| 1899
| [[Allan Joseph Champneys Cunningham|Cunningham]]
| <math>F_{11}</math>
| <math>39 \cdot 2^{13} + 1</math>
|-
| 1899
| Cunningham
| <math>F_{11}</math>
| <math>119 \cdot 2^{13} + 1</math>
|-
| 1903
| [[Alfred Western|Western]]
| <math>F_9</math>
| <math>37 \cdot 2^{16} + 1</math>
|-
| 1903
| Western
| <math>F_{12}</math>
| <math>397 \cdot 2^{16} + 1</math>
|-
| 1903
| Western
| <math>F_{12}</math>
| <math>973 \cdot 2^{16} + 1</math>
|-
| 1903
| Western
| <math>F_{18}</math>
| <math>13 \cdot 2^{20} + 1</math>
|-
| 1903
| [[جيمس كولين|Cullen]]
| <math>F_{38}</math>
| <math>3 \cdot 2^{41} + 1</math>
|-
| 1906
| [[James C. Morehead|Morehead]]
| <math>F_{73}</math>
| <math>5 \cdot 2^{75} + 1</math>
|-
| 1925
| [[Maurice Kraitchik|Kraitchik]]
| <math>F_{15}</math>
| <math>579 \cdot 2^{21} + 1</math>
|-
|}

== الأعداد شبه الأولية وأعداد فيرما ==

== مبرهنات أخرى حول أعداد فيرما ==
لأي عدديين صحيحين موجبين m < n العلاقة التالية تتحقق
:<math>F_n=(F_m-1)^{2^{(n-m)}}+1</math>

== علاقة أعداد فيرما بمتعددات الأضلع القابلة للإنشاء ==
[[ملف:Constructible polygon set.svg|تصغير|300px|عدد أضلع متعددات القابلة للإنشاء عدد أضلاعها يذهب إلى حدود الألف (الغليظ) أو بعدد فردي من الأضلاع (الأحمر)]]

{{مفصلة|مضلع قابل للإنشاء}}
طور [[كارل فريدريش غاوس]] نظرية [[دورة غاوسية|الدورات الغاوسية]] في كتابه ''[[استفسارات حسابية (كتاب)|استفسارات حسابية]]''، فأعطى [[شرط ضروري وشرط كاف#شرط كاف وغير ضروري|شرطا كافيا]] لقابلية متعددٍ للأضلاع للإنشاء بالمسطرة والبركار. ادعى غاوس أن شرطه ليس كافيا فحسب، وإنما هو [[شرط ضروري وشرط كاف#شرط كاف وضروري|ضروري]] أيضا، ولكنه لم ينشر برهانه على ذلك. جاء بالبرهان الكامل عام 1837 عالم الرياضيات الفرنسي [[بيير فانتزل]]، مما جعل هذه النتيجة تعرف باسم مبرهنة '''غاوس-فانتزل'''.

:متعددٌ للأضلاع عدد أضلاعه يساوي n قابل للإنشاء بالمسطرة والبركار وحدهما إذا وفقط إذا كان n جداءا لقوةٍ لاثنين من جهة، ولائحة من أعداد أولية لفيرما يختلف الواحد منهن عن الآخر، من جهة أخرى. بتعير آخر، إذا وفقط إذا كان n يكتب على شكل ''n'' = 2''k''''p''1''p''2…''p''''s'' حيث k عدد طبيعي موجب وحيث ''p''''i'' هن أعداد أولية لفيرما يختلف الواحد منهن عن الآخر.

انظر إلى [[مؤشر أويلر]].

== تطبيقات أعداد فيرما ==
=== توليد الأعداد شبه العشوائية ===
== حقائق مهمة أخرى ==
== أعداد فيرما المعممة ==
=== أعداد فيرما الأولية المعممة ===

== انظر أيضًا ==
* [[مضلع قابل للإنشاء]]
* [[مبرهنة لوكاس]]
* [[عدد ميرسين الأولي]],
* [[عدد شبه أولي]],
== مراجع ==
{{مراجع}}

* ''17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry'', Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer, Springer, CMS Books 9, ISBN 0-387-95332-9 (This book contains an extensive list of references.)
* S. W. Golomb, On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities, Canad. J. Math. 15(1963), 475—478.
* [[Richard K. Guy]], ''[[Unsolved Problems in Number Theory]]'' (3rd ed), [[شبرينغر|سبرنجر]], 2004 ISBN 0-387-20860-7; sections A3,A12,B21.
* Florian Luca, The anti-social Fermat number, Amer. Math. Monthly 107(2000), 171—173.
* Michal Krizek, Florian Luca and Lawrence Somer(2002), On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat numbers, J. Number Theory 97(2002), 95—112.
* A. Grytczuk, F. Luca and M. Wojtowicz(2001), Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers, ''Southeast Asian Bull. Math.'' 25(2001), 111—115.

== وصلات خارجية ==
{{طبقات الأعداد الأولية|state=collapsed}}
{{شريط بوابات|رياضيات|نظرية الأعداد}}

{{ضبط استنادي}}

[[تصنيف:أصناف الأعداد الأولية]]
[[تصنيف:أعداد صحيحة كبيرة]]
[[تصنيف:حسابيات نمطية]]
[[تصنيف:سلاسل عددية]]
[[تصنيف:مسائل غير محلولة في الرياضيات]]
[[تصنيف:مقالات تحوي براهين]]
[[تصنيف:نظرية الأعداد]]
[[تصنيف:هندسة إقليدية مستوية]]

عدد فيرما - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: (GR) File renamed: File:Constructible polygoon set.svg → File:Constructible polygon set.svg Criterion 3 (obvious error)