عبد العزيز: الرجوع عن تعديل معلق واحد من 5.0.32.218 إلى نسخة 63642434 من Elsayed Taha.

2023-12-01T03:38:44Z

الرجوع عن تعديل معلق واحد من 5.0.32.218 إلى نسخة 63642434 من Elsayed Taha.

صفحة جديدة

{{بطاقة عامة}}
[[ملف:Latex integers.svg|رمز الأعداد الصحيحة (اشتق هذا الرمز من كلمة ''Zahlen'' والتي تعني ''العدد'' في ([[اللغة الألمانية]]). |تصغير]]
'''العدد الصحيح''' هو الذي يُمكن كتابته بدون استخدام [[كسر (رياضيات)|الكسور]] أو [[حسابات الفاصلة المتحركة|الفواصل العشرية]]، وتتكون '''مجموعة الأعداد الصحيحة''' والتي تعتبر [[مجموعة جزئية]] من مجموعة [[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]]- من [[عدد طبيعي|الأعداد الطبيعية]] (1، 2، 3.<ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://www.britannica.com/science/integer | عنوان = معلومات عن عدد صحيح على موقع britannica.com | ناشر = britannica.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20180131092843/https://www.britannica.com/topic/integer | تاريخ أرشيف = 31 يناير 2018 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://psh.techlib.cz/skos/PSH7210 | عنوان = معلومات عن عدد صحيح على موقع psh.techlib.cz | ناشر = psh.techlib.cz|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191210094257/http://psh.techlib.cz/skos/PSH7210|تاريخ أرشيف=2019-12-10}}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://babelnet.org/synset?word=bn:00047009n | عنوان = معلومات عن عدد صحيح على موقع babelnet.org | ناشر = babelnet.org|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191210094259/https://babelnet.org/synset?word=bn:00047009n|تاريخ أرشيف=2019-12-10}}</ref>) و[[صفر (توضيح)|الصفر]] و[[عدد سالب|الأعداد السالبة]] المقابلة للأعداد الطبيعية (-1، -2، -3..)، وعليه فمجموعة الأعداد الصحيحة تكون [[مجموعة غير منتهية]] شأنها في ذلك شأن مجموعة الأعداد الطبيعية، وعادة ما يرمز لها بالحرف اللاتيني '''Z'''.

[[ملف:Number-line.svg|يسار|تصغير|300px|يبتعد كل عدد صحيح عن العدد الصحيح الذي يليه مسافة ثابتة على [[مستقيم الأعداد]] (الأعداد الصحيحة غير السالبة تظهر باللون الازرق، بينما تظهر الأعداد الصحيحة السالبة باللون الأحمر).]]

== الخصائص الجبرية ==
كما هو الحال بالنسبة إلى مجموعة الأعداد الطبيعية، فإن مجموعة الأعداد الصحيحة [[انغلاق (رياضيات)|منغلقة]] تحت [[عملية ثنائية|عمليتي]] [[جمع|الجمع]] و[[ضرب|الضرب]]. هذا يعني أن مجموع و[[جداء]] عددين صحيحين هما أيضا عددان صحيحان. وبما أن مجموعة الأعداد الصحيحة تضم الأعداد الطبيعية السالبة وتضم [[0 (عدد)|الصفر]]، فإنها تبقى منغلقة أيضا تحت عملية [[طرح|الطرح]]، على عكس مجموعة الأعداد الطبيعية. Z غير منغلقة تحت عملية [[قسمة (رياضيات)|القسمة]]، بما أن قسمة عدد صحيح ما على عدد صحيح آخر (على سبيل المثال، واحد مقسوم على اثنين)، لا تعطي دائما عددا صحيحا. رغم أن مجموعة الأعداد الطبيعية مغلقة تحت عملية [[رفع (رياضيات)|الرفع]]، فإن مجموعة الأعداد الصحيحة ليست كذلك، بما أن رفع عدد صحيح إلى أس مساو لعدد صحيح سالب يعطي عددا كسريا.

فيما يلي بعض من الخصائص لعمليتي الجمع والضرب بالنسبة لثلاثة أعداد صحيحة a و b و c:

{| class="wikitable"
|+ خصائص عمليتي الجمع والضرب مطبقتين على الأعداد الصحيحة
|
!scope="col" | الجمع
!scope="col" | الضرب
|-
!scope="row" |[[انغلاق (رياضيات)|الانغلاق]]:
| ''a'' + ''b''   عدد صحيح
| ''a'' × ''b''   عدد صحيح
|-
!scope="row"|[[عملية تجميعية|التجميعية]]:
| ''a'' + (''b'' + ''c'')  =  (''a'' + ''b'') + ''c''
عند جمع ثلاثة أعداد، جمع العددين الأولين a و b ثم جمع النتيجة مع c يعطي نفس النتيجة إذا جمعت a مع ناتج جمع العددين الثاني والثالث b و c.

| ''a'' × (''b'' × ''c'')  =  (''a'' × ''b'') × ''c''
عند ضرب ثلاثة أعداد، ضرب العددين الأولين a و b ثم ضرب النتيجة في c يعطي نفس النتيجة إذا ضربت a مع ناتج جداء العددين الثاني والثالث b و c.
|-
!scope="row"| [[عملية تبديلية|التبديلية]]:
| ''a'' + ''b''  =  ''b'' + ''a''
| ''a'' × ''b''  =  ''b'' × ''a''
|-
!scope="row"| وجود [[عنصر محايد|العنصر المحايد]]:
| ''a'' + 0  =  ''a''
هو الصفر حيث جمع الصفر مع أي عدد صحيح يعطي العدد نسفه.
| ''a'' × 1  =  ''a''
هو الواحد حيث ضرب الواحد في أي عدد صحيح يعطي العدد نسفه.
|-
!scope="row"| وجود [[عنصر معاكس|العنصر المعاكس]]:
| ''a'' + (−''a'')  =  0
مثلا، العنصر المعاكس ل 3 هو 3-. مجموع العدد ومعكوسه الجمعى يساوى صفرا.

| العنصر المعاكس عادة ما يكون غير موجود على الإطلاق.
|-
!scope="row"| [[توزيعية|توزيعية الضرب على الجمع]]:
| colspan=2 align=center | {{بدون لف|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} ''a'' × ''b'' + ''a'' × ''c''}}   و   {{بدون لف|(''a'' + ''b'') × ''c'' {{=}} (''a'' × ''c'') + (''b'' × ''c'')}}
|-
!scope="row"| لا وجود [[قاسم الصفر|لقواسم للصفر]]:
| || | إذا كان ''a'' × ''b'' = 0, فإن ''a'' = 0 أو ''b'' = 0 (أو كلاهما معا يساوي الصفر)
|}

== خصائص نظرية أخرى ==
Z هي مجموعة [[ترتيب كلي|مرتبة كليا]]. ليس لها حد أقصى أو حد ادنى.

يكون عددا ما ''موجبا'' إذا كان أكبر قطعا من الصفر ويكون ''سالبا'' إذا كان أصغر قطعا من الصفر. وبذلك، فإن كل عدد صحيح موجب أكبر من كل عدد صحيح سالب لأنه من قواعد خط الأعداد أن الأعداد التي على اليمين أكبر من التي على اليسار. الصفر ليس عددا صحيحا موجبا وليس عددا صحيحا سالبا. أصغر عدد صحيح موجب هو 1 وأكبر صحيح موجب غير معروف هويته لأنه في أقصى اليمين في خط الأعداد. أصغر عدد صحيح سالب غير معروف لأنه في أقصى اليسار في خط الأعداد وأكبر عدد صحيح سالب هو -1.

=== مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة Z+ ===
والمقصود بها أيضا مجموعة [[أعداد العد]] حيث تبدأ من العدد 1 إلى [[لانهاية|مالانهاية]] أي: {Z+ ={...10,9,8,7,6,5,4,3,2,1،
وهي الأعداد التي تستخدم في عد الإشياء وللدلالة عليها نضع بعض المعادلات مثل:

{Z+ = N - {0 : الفرق بين [[عدد طبيعي|مجموعة الأعداد الطبيعية]] N ومجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة هو الصفر.

=== مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة Z- ===
والمقصود بها هي مجموعة الأعداد [[معكوس جمعي|المقابلة]] لمجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة فمثلا 4 مقابلها 4- وتبدأ من ناقص ما لا نهاية له إلى -1.

=== الصفر ===
على [[مستقيم الأعداد|خط الأعداد]]، تُوزع الأعداد الصحيحة كما يلي:
# مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة على اليمين،
# مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة على اليسار،
# يوجد [[صفر (توضيح)|الصفر]] بين مجموعتي الأعداد السالبة والموجبة أي باختصار الصفر محايد بين المجموعتين لا هو سالب ولا هو موجب. يوضع بالمنتصف بين المجموعتين. {{بحاجة لمصدر|يرمز له بالرمز (و) وصل لأنه يوصل بين مجموعة الأعداد الصحيحية الموجبة والسالبة|تاريخ=يوليو 2019}}.

== الإشارة ==
تتميز الأعداد الصحيحة بوجود إشارات توضع على يسارها. فالأعداد الموجبة توضع لها إشارة + والسالبة توضع لها إشارة - والصفر ليس له إشارة إلا في حالات خاصة مثل تعريف النهايات حيث وضعُ إشارة الموجب أو السالب بجانب الصفر يؤدى إلى معنى معين وكذلك فإنه من الاختصار عدم وضع إشارة + على الأعداد الموجبة لأنها في نفس الوقت أعداد عد وأعداد العد لا توضع فيها إشارة موجب ولكن يجب وضع إشارة - على الأعداد السالبة للتفريق بينها وبين الأعداد الموجبة.

== العمليات الحسابية على Z ==
=== الجمع ===
مجموع عددين صحيحين موجبين هو عدد صحيح موجب. فمثلا 3 + 6 = 9 تنتمي لمجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة. ومجموع عددين صحيحن سالبين هو عدد صحيح سالب. فمثلا 6- + 4- = -10 تنتمي لمجموعة الأعداد الصحيحة السالبة.

عند جمع عددين صحيحين أحدهما سالب والآخر موجب فإن إشارة الناتج تكون إشارة العدد الكبير من حيث [[قيمة مطلقة|القيمة المطلقة]] ويكون العدد الفرق بينهما. مثال: 3 + -7. العدد الكبير بين العددين من حيث القيمة المطلقة هو -7 وإشارته - معنى ذلك أن الناتج عدد سالب والناتج يكون الفرق بين العددين (يُطرح العددان حيث يكون الاثنان موجبين لأن إشارة -7 أخذها الناتج وصار عددا موجبا) هو 4 إذا الناتج = -4.

=== الطرح ===
[[طرح|الطرح]] في مجموعة الأعداد الصحيحة هو جمع المعكوس الجمعى فمثلا: 4 - (-3) = 4 + 3 = 7. فعندما يكون هناك عملية طرح فإنه يتم تغيير علامة الطرح وجعلها جمعا ويتم تغيير إشارة العدد من أجل القيام بعملية الجمع. ومن خصائص الطرح في Z ما يلي:
# الانغلاق: طرح أي عددين صحيحين يساوي عددا صحيحا.
# الإبدال: إذا طرحنا 4 - (- 7) = 4 + 7 = 11 فإذا عكسنا المسألة فستكون (-7) - 4 = (-7) + (-4) = -11 أي أن الناتجين اختلفا إذا عملية الطرح غير إبدالية في Z.
# التجميعية: إذا طرحنا 4 - (- 8) - 9 فإننا لو دمجناها فسوف يكون:
(4 - (-8)) - 9
= 4 + 8 - 9
= 12 - 9
= 3

أو: 4 - (-8 - 9)
= 4 - (-8 + (-9)
= 4 - (- 17)
= 4 + 17
= 21
إذا الناتجان اختلفا معنى ذلك أن عملية الجمع دامجة في Z.

=== الضرب والقسمة ===
* جداء عددين صحيحين موجبين عدد موجب. مثل 7 × 5 = 35، 35 عدد موجب.
* جداء عددين صحيحين سالبين عدد موجب. -3 × -6 = 18، 18 عدد موجب.
* جداء عددين صحيحين أحدهما سالب والآخر موجب عدد سالب. فمثلا 3 × -4 = - 12، -12 عدد سالب.

قواعد إشارات عملية القسمة تشبه عملية الضرب تماما.

== في علم الحاسوب ==
{{مفصلة|عدد صحيح (علم الحاسوب)}}
عادة ما تمثل الأعداد الصحيحة [[نوع بيانات]] أولي (أي أن المُبرمج لا يحتاج في لغة البرمجة المستعملة إلى تعريف الأعداد الصحيحة أو تعريف خصائصها. لغة البرمجة ذاتها تضمن له ذلك) في [[لغة حاسوبية|اللغات الحاسوبية]].

يُرمز إلى الأعداد الصحيحة في العديد من لغات البرمجة ب ''int''. اللغات [[سي (لغة برمجة)|سي]] و[[جافا (لغة برمجة)|جافا]] و[[أوبجكت باسكال|ديلفي]] أمثلة على ذلك.

== انظر أيضا ==
* [[0.999...]]
* [[دالتا الجزء الصحيح والمتمم الصحيح الأعلى|الجزء الصحيح]].
* [[متتالية أعداد صحيحة]]

== مراجع ==
{{مراجع}}

{{تصنيف كومنز}}
{{أنظمة عدد}}
{{عدد صحيح}}
{{أعداد كسرية}}
{{شريط بوابات|رياضيات|نظرية الأعداد}}
{{ضبط استنادي}}

[[تصنيف:أعداد صحيحة]]
[[تصنيف:رياضيات ابتدائية]]
[[تصنيف:مجموعات أعداد حقيقية]]
[[تصنيف:نظرية الأعداد الابتدائية]]
[[تصنيف:نظرية الحلقات]]
[[تصنيف:نظرية الزمر الأبيلية]]
[[تصنيف:نظرية جبرية للأعداد]]

عدد صحيح - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: الرجوع عن تعديل معلق واحد من 5.0.32.218 إلى نسخة 63642434 من Elsayed Taha.