عبد العزيز: بوت: إصلاح أخطاء فحص أرابيكا من 1 إلى 104

2023-06-12T01:12:20Z

بوت: إصلاح أخطاء فحص أرابيكا من 1 إلى 104

صفحة جديدة

في [[هندسة رياضية|الهندسة الرياضية]]، تستخدم '''صيغة هيرو''' التي سميت على أسم مكتشفها [[هيرو السكندري]] لحساب [[مساحة]] [[مثلث (توضيح)|المثلث]] عندما يعرف أطوال أضلاعه الثلاث ''a'' و ''b'' و ''c''. على عكس صيغ مساحة المثلث الأخرى، ليس هناك حاجة لحساب [[زاوية (توضيح)|الزوايا]] أو مسافات أخرى في المثلث أولاً.

==صيغة القانون==
[[ملف:Triangle with notations 2.svg|تصغير|مثلث له أضلاع ''b''، ''a'' و''c'']]تنص صيغة هيرو على أن مساحة المثلث الذي أطوال أضلاعه الثلاثة a, b, c معروفة هي:
:<math>A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}</math>

حيث ''s'' هو [[نصف محيط]] المثلث:

:<math>s=\frac{a+b+c}{2}.</math>

ومن الممكن كتابة صيغة هيرو على الأشكال التالية:

:<math>A={\ \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}\ \over 4}</math>
:<math>A={\ \sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\,}\ \over 4}</math>
:<math>A={\ \sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)\,}\ \over 4}</math>
:<math>
A=\frac\sqrt{4(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^2+b^2+c^2)^2}{4}
</math>
:<math>
A=\frac\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{4}
</math>

== برهان صيغة هيرو ==

=== البرهان بستعمال الحساب المثلثي===
فيما يلي برهان لصيغة هيرو باستخدام الجبر، وهو يختلف عن البرهان الذي قدمه هيرو في كتابه «متريكا»: لتكن ''a''، ''b''، ''c'' هي أضلاع المثلث، ولتكن ''A''، ''B''، ''C'' [[زاوية (توضيح)|زواياه]] المقابلة لأضلاعه. يصبح لدينا:
<math>\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>
من [[قانون جيب التمام|قانون جيوب التمام]]. نحصل على:

:<math>\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}.</math>
:[[ارتفاع (مثلث)|ارتفاع]] المثلث على القاعدة ''a'' طوله (''b'' sin(''C'', وبالتالي:

:<math>
\begin{align}
A & = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altitude}) \\
& = \frac{1}{2} ab\sin(C) \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2} \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{(2a b -(a^2 +b^2 -c^2))(2a b +(a^2 +b^2 -c^2))} \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{(c^2 -(a -b)^2)((a +b)^2 -c^2)} \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{(c -(a -b))((c +(a -b))((a +b) -c))((a +b) +c)} \\
& = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}.
\end{align}
</math>

تم تحليل [[فرق مربعي عددين|الفرق بين المربعين]] في مرحلتين مختلفتين.

=== البرهان بستعمال التحليل البعدي===

انظر إلى [[تحليل بعدي]].

بما أن مساحة متعدد أضلاع ما بما في ذلك مثلث، هي كمية من البعد الثاني، فإن مربعها كمية من البعد الرابع. أضف إلى ذلك أن مساحة المثلث تنعدم كلما استقامت رؤوس هذا المثلث. ينتج عن هذا أن مربع مساحة مثلث تكتب كما يلي:

:<math>S^2(a,b,c)=k\times(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)</math>.

وبما أن مربع مساحة مثلث هو كمية من البعد الرابع، فإن k لا يمكن له إلا أن يكون كمية من البعد الأول. هذا المربع هو [[متعددة حدود متناظرة|متعددة حدود تماثلية]].

:<math>k=C(a+b+c)</math> حيث C قيمة ثابتة ينبغي تحديده

:<math>S^2(a,b,c)=C(a+b+c)\times(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)</math>.

لايجاد قيمة C، اعتبر مثلثا قائم الزاوية وفي نفس الوقت متساوي الساقين

== تعميم الصيغة للشكل الرباعي ==
===شكل رباعي عامتا===
[[ملف:Quadrilateral ABCDE.png|تصغير|شكل رباعي غير منتظم]]
يمكن تعميم صيغة هيرو لحساب مساحة الشكل الرباعي بدلالة أطوال أضلاعه الأربعة وطول أحد قطريه وذلك بجمع مساحة مثلثين.
:إذا افترضنا أن أضلاع الشكل الرباعي هي A،B،C،D وأن أحد قطريه هو E فإن مساحته تعطى بالعلاقة:
:<math>A=\frac{\sqrt{(A^2 + D^2 + E^2)^2 - 2(A^4 + D^4 + E^4)} + \sqrt{(B^2 + C^2 + E^2)^2 - 2(B^4 +C^4 + E^4)}}{4}</math>
===شكل رباعي دائري(صيغة براهماغوبتا)===
تعد صيغة هيرو حالة خاصة ل[[صيغة براهماغوبتا]] لقياس مساحة الشكل [[رباعي دائري|الرباعي الدائري]].

إذا افترضنا أن أضلاع الرباعي الدائري هي a, b, c, d فسنجد أن مساحة الرباعي الدائري(A):
:<math>A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}</math>

حيث ''s'' هو [[نصف محيط]] الرباعي الدائري:
:<math>s=\frac{a+b+c+d}{2}</math>

يمكن الحصول على صيغة هيرو عن طريق جعل أحد أضلاع الشكل الرباعي الدائري طوله صفر.

== صيغة جيوشاو ==
تعزى الصيغة السابقة إلى [[هيرو السكندري]]، ويمكن الحصول على برهانها في كتابه (ميتريكا) الذي كتبه حوالى 60 بعد الميلاد.<ref>{{ماثوورلد |urlname=HeronsFormula |title=Heron's Formula}}</ref>

توجد صيغة أخرى مكافئة لصيغة هيرو:

:<math>A=\frac1{2}\sqrt{a^2c^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)^2}</math>

اكتشفت هذه الصيغة من قبل [[صينيون|الصينيين]] بشكل مستقل عن [[يونانيون|الأغريق]] ونشرها [[قين جيوشاو]] في 1247 ميلادية.

== برهان صيغة جيوشاو ==
إذا كان لدينا: ''a''، ''b''، ''c'' هي أضلاع المثلث، ولتكن ''A''، ''B''، ''C'' [[زاوية (توضيح)|زواياه]] المقابلة لأضلاعه. يصبح لدينا:
: <math>
\begin{align}
A & = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altitude}) \\
& = \frac{1}{2} ab\sin(C) \\
& = \frac{1}{2} ab\sqrt{1-cos^2(C)} \\
& = \frac{1}{2} ab\sqrt{1-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2} \\
& = \frac1{2}\sqrt{a^2b^2-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)^2} \\
\end{align}
</math>
== انظر أيضًا ==

* [[صيغة براهماغوبتا]]
* [[مبرهنة بريتشنايدر]]

== المصادر ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|رياضيات|هندسة رياضية}}

{{تصنيف كومنز}}

[[تصنيف:علم المثلثات]]
[[تصنيف:مبرهنات في الهندسة المستوية]]
[[تصنيف:مساحة]]
[[تصنيف:مقالات تحوي براهين]]
[[تصنيف:هندسة المثلث]]
[[تصنيف:مبرهنات حول المثلثات]]

صيغة هيرو - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: بوت: إصلاح أخطاء فحص أرابيكا من 1 إلى 104