https://3rabica.org/index.php?action=history&feed=atom&title=%D8%B2%D9%88%D8%AC_%D9%84%D8%A7%D9%83%D8%B3زوج لاكس - تاريخ المراجعة2026-06-08T18:44:10Zتاريخ التعديل لهذه الصفحة في الويكيMediaWiki 1.43.7https://3rabica.org/index.php?title=%D8%B2%D9%88%D8%AC_%D9%84%D8%A7%D9%83%D8%B3&diff=1397391&oldid=prevعبد العزيز: بوت:إضافة بوابة (بوابة:الفيزياء)2023-03-07T03:05:21Z<p>بوت:إضافة بوابة (بوابة:الفيزياء)</p>
<p><b>صفحة جديدة</b></p><div>{{يتيمة|تاريخ=أبريل 2016}}<br />
<br />
في [[رياضيات|الرياضيات]]، وبالتحديد في نظرية [[معادلة تفاضلية|المعادلات التفاضلية]]، '''زوج لاكس''' {{إنج|Lax pair}} هو زوج من المصفوفات المعتمدة على الزمن التي تقوم بوصف بعض حلول [[معادلة تفاضلية|المعادلات التفاضلية]].<ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://www.britannica.com/topic/Lax-pairs | عنوان = معلومات عن زوج لاكس على موقع britannica.com | ناشر = britannica.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20150921201453/http://www.britannica.com/topic/Lax-pairs | تاريخ أرشيف = 21 سبتمبر 2015 }}</ref><br />
أُنشأ هذا الزوج عالم الرياضيات [[بيتر لاكس]] لمناقشة [[حل (توضيح)|الحلول]] في [[ميكانيكا الأوساط المتصلة|الأوساط المستمرة]]. إن [[تحويل التبعثر المعكوس]] inverse scattering transform تستخدم معادلات لاكس لحل مجموعة منوعة من ما يسمى [[نموذج قابل للحل بشكل تام|بالنماذج القابلة للحل بشكل تام]] للفيزياء.<br />
<br />
== التعريف ==<br />
زوج لاكس هو زوج من المصفوفات أو المؤشرات <math>L(t), A(t)</math> تعتمد على الزمن وتقوم على فضاء هلبرت الثابت، عندما تكون<br />
<br />
:<math>\frac{dL}{dt}=[L,A]</math><br />
<br />
حيث أن <math>[L,A]=LA-AL.</math><br />
غالباً, كما في المثال أدناه، تعتمد <math>A</math> على <math>L</math> بالطريقة الموصوفة مسبقاً, إذاً هذه المعادلة الغير-خطية للمتغير <math>L</math> تعتبر كدالة للمتغير <math>t</math>.<br />
عندئذ يمكن أن تكون كلاً من [[قيم ذاتية ومتجهات ذاتية|القيم الذاتية]] eigenvalue و الطيف المستمر continuous spectrum<br />
للقيمة ''L'' مستقلة عن ''t''. المصفوفات/المؤثرات ''L'' تُدعى ''[[الطيفية المتساوية]] isospectral'' كمتغير <math>t</math>.<br />
<br />
الملاحظة الأساسية هي أن المعادلة الموجودة أعلاه هي على شكل اللامتناهي في الصغر infinitesimal form من عائلة المصفوفات <math>L(t)</math> التي لدى جميعها نفس الطيف، وذلك باستعمال المعطيات<br />
<br />
:<math>L(t)=g^{-1}(t) L(0) g(t)\,</math><br />
<br />
هنا، يمكن أن تكون الحركة ''g'' معقد بشكل تعسفي.<br />
لنفترض العكس <math>L(t)=g^{-1}(t) L(0) g(t)</math> لعائلة قابلة للاختلاف لمرة واحدة بشكل تعسفي من المؤثرات القابلة للعكس <math>g(t)</math>.<br />
ثم نرى التغاير<br />
:<math>\frac{dL}{dt}= -g^{-1} \frac{dg}{dt} g^{-1} L(0) g + g^{-1} L(0) \frac{dg}{dt} = LA-AL</math><br />
with <math> A= g^{-1} \frac{dg}{dt}</math>.<br />
<br />
<!---Conversely suppose <math>L(t)=A(t) L(0) A(t)^{-1}</math> for an arbitrary once differentiable invertible operator <math>A</math>.<br />
Then differentiating we see <br />
:<math>\frac{dL}{dt}= \frac{dA}{dt} L(0) A^{-1} - A L(0) A^{-1} \frac{dA}{dt} A^{-1} L(0) A = LM-ML</math> <br />
with <math> M= A^{-1} \frac{dA}{dt}</math>--><br />
<br />
== مثال ==<br />
تكون [[معادلة كورتوغ-ديفارس]] (معادلة كي دي في) KdV equation<br />
:<math>u_t=6uu_x-u_{xxx}\,</math><br />
يمكن الآن إعادة صياغتها كمعادلة لاكس<br />
:<math>L_t=[L,A]\,</math><br />
مع<br />
:<math>L=-\partial^2+u\,</math> ([[مؤثر ستورم–ليوفيل]] Sturm-Liouville operator)<br />
:<math>A=4\partial^3-3(u\partial+\partial u)\,</math><br />
و هذا يفسر لعدد لانهائي من التكاملات الأولى لمعادلة كي دي في.<br />
<br />
== معادلات مع زوج لاكس ==<br />
هنالك أمثلة أخرى لأنظمة من المعادلات التي يمكن أن تُصاغ كزوج لاكس ومنها:<br />
<br />
* [[معادلة بنيامين-أونو]] Benjamin–Ono equation<br />
* [[معادلة شرودينغر اللاخطية]] المكعبة أحادية البعد<br />
* [[نظام دافي-ستيوارتسون]] Davey-Stewartson system<br />
* [[معادلة كادومتسيف-بيتفياشفيلي]] Kadomtsev–Petviashvili equation<br />
* [[معادلة كورتوغ-ديفارس]] Korteweg–de Vries equation<br />
* [[هرم كي دي في]] KdV hierarchy<br />
* [[معادلة كورتوغ-ديفارس المعدلة]] Modified Korteweg-de Vries equation<br />
* [[معادلة ساين-غوردون]] Sine-Gordon equation<br />
<br />
== المراجع ==<br />
{{مراجع}}<br />
<br />
* {{استشهاد|الأول=P.|الأخير= Lax|عنوان=Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves|صحيفة=Comm. Pure Applied Math.|المجلد=21|سنة=1968|صفحات= 467-490|doi=10.1002/cpa.3160210503 }}<br />
* P. Lax and R.S. Phillips, ''Scattering Theory for Automorphic Functions'', (1976) Princeton University Press.<br />
{{شريط بوابات|الفيزياء|رياضيات}}<br />
<br />
{{بذرة رياضيات تطبيقية}}<br />
<br />
[[تصنيف:النظرية الطيفية]]<br />
[[تصنيف:معادلات تفاضلية]]</div>عبد العزيز