عبد العزيز: بوت: إصلاح التحويلات

2022-12-04T23:22:00Z

بوت: إصلاح التحويلات

صفحة جديدة

{{بطاقة وحدة قياس}}
[[ملف:Radian-common.svg|تصغير|300بك|بعض الزوايا الشهيرة مقاسة بالراديان]]{{زاوية}}[[ملف:Circle radians.gif |تصغير|طول قوس الدائرة مساوي [[نصف القطر|لنصف قطرها]] يعادل زاوية بمقدار واحد راديان (rad) طول كامل قوس الدائرة يعادل زاوية بمقدار 2 [[ط (رياضيات)|'''ط''']] راديان]]

'''الزاوية نصف القطرية'''<ref>قاموس المورد، البعلبكي، بيروت، لبنان.</ref> أو '''الراديان''' أو '''التقدير الدائري''' هي [[وحدات قياس|وحدة قياس]] [[زاوية (توضيح)|للزوايا]] المستوية وهي الوحدة الرسمية المعتمدة ضمن ال[[نظام الوحدات الدولي|نظام الدولي للوحدات]] المستخدمة في [[رياضيات|الرياضيات]] وال[[فيزياء]] وتعرف بأنها [[زاوية مركزية|الزاوية المركزية]] الموضوعة على مركز [[دائرة|الدائرة]] والتي تحدد [[قوس (توضيح)|قوساً]] طوله مساوي ل[[نصف القطر|نصف قطر]] [[دائرة|الدائرة]]. يعادل الراديان الواحد <math>\tfrac{180}{\pi}</math> درجات، أي بالتقريب <math>57.29578^{\circ}</math>.

رسميًا، فإنّ الراديان [[كمية لا بعدية]]، بعكس [[ثانية|الثانية]] أو [[متر|المتر]]، فهو مجرّد عدد. لذا فإنّ تدوين كلمة راديان (أو rad) هو للإيضاح فقط ويجب ألاّ يفهم منه أنّ له مفهومًا فيزيائيًا. عندما تكتب الزاوية بدون أي علامة، يقصد بشكل عام أن القيمة هي بالراديان، بينما تضاف العلامة <math>^{\circ}</math> للإشارة إلى الدرجة.

إنّ وحدة القياس الرسمية المعتمدة ضمن النظام الدولي للوحدات [[زاوية مجسمة|للزاوية الفراغية الصلبة]] هي [[ستراديان|الستراديان]]، وهي، كذلك مثل الراديان، كميّة لابعديّة لأنها خارج مساحة على مساحة.

== تعريف ==

يعرّف الراديان الواحد على أنّه [[زاوية مركزية|الزاوية المركزيّة]] في [[دائرة]] التي تقابل [[قوس (هندسة)|قوسًا]] طوله مساوٍ لطول [[نصف القطر|نصف قطر]] الدائرة.
[[ملف:Circle arc radius.png|تصغير|زاوية مركزيّة مقدارها 1 راديان تكون مقابلة لقوس طوله يساوي طول نصف قطر الدائرة]]
وبشكل عام، فإنّ مقدار أي زاوية مركزيّة يحصرها نصفا قطر ما بالراديان تساوي النسبة بين [[طول قوس|طول القوس]] المقابل للزاوية وبين نصف قطر الدائرة، أي أنّ:
:<math>\theta = \frac{l}{R}</math>
بحيث أنّ:
:<math>\theta</math> هي الزاوية المركزيّة،
:<math>l</math> هو طول القوس،
:و<math>R</math> هو طول نصف قطر الدائرة.
بالمقابل، فبالإمكان حساب طول قوس في دائرة نصف قطرها <math>R</math> يقابل زاوية مركزية مقدارها <math>\theta</math>: <math>l = \theta \cdot R</math>

من هذا القانون بالإمكان الاستدلال على مقدار الراديان الواحد. فإنّ زاوية دائرية كاملة تعادل <math>360^{\circ}</math>، وهي تقابل قوسًا يساوي كل محيط الدائرة، لذا فإنّ مقدارها بالراديان هو: <math>\tfrac{2 \pi R}{R} = 2 \pi</math>. إذا كانت زاوية مقدارها 360 درجة تعادل <math>2 \pi</math> راديان، فيعادل الراديان الواحد <math>\tfrac{180}{\pi}</math> درجة.

== تاريخ ==

أوّل من أتى بفكرة الراديان كان الرياضي البريطاني [[روجر كوتس]]، عام 1714. مع أنّه لم يطلق على الفكرة كلمة ''راديان''، فقد فهم كوتس مدى بديهيّة المفهوم كوحدة للقياس الزاوي.

== تحويل بين الراديان والدرجة ==

للتحويل من راديان إلى [[درجة (زاوية)|درجات]] يجب أن نضرب الراديان بالقيمة <math>\tfrac{180}{\pi}</math>. فعلى سبيل المثال:
:<math>1\ \mbox{rad} = \frac{180}{\pi} \approx 57.29578^{\circ}</math>
:<math>\frac{\pi}{3}\ \mbox{rad} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{180}{\pi} = 60^{\circ}</math>

وبالمقابل، فللتحويل من درجات إلى راديان، يجب أن نضرب بالقيمة <math>\tfrac{\pi}{180}</math>:
:<math>1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \approx 0.01745\ \mbox{rad}</math>
:<math>90^{\circ} = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2}\ \mbox{rad}</math>

إمكانيّة أخرى هي تحويل مقدار الزاوية بالراديان إلى عدد الدورانات بواسطة القسمة على <math>2 \pi</math>. فمثلاً، إنّ <math>6 \pi\ \mbox{rad}</math> تعادل ثلاثة دورات كاملة.

{| border="3"
|+ قائمة بأكثر الزوايا شيوعًا وقيمها بالدرجات وبالراديان
! جزء الدائرة
| <math>0</math>
| <math>\tfrac{1}{12}</math>
| <math>\tfrac{1}{8}</math>
| <math>\tfrac{1}{6}</math>
| <math>\tfrac{1}{4}</math>
| <math>\tfrac{1}{2}</math>
| <math>\tfrac{3}{4}</math>
| <math>1</math>
|-
! الزاوية بالدرجات
| <math>0^{\circ}</math>
| <math>30^{\circ}</math>
| <math>45^{\circ}</math>
| <math>60^{\circ}</math>
| <math>90^{\circ}</math>
| <math>180^{\circ}</math>
| <math>270^{\circ}</math>
| <math>360^{\circ}</math>
|-
! الزاوية بالراديان
| <math>0</math>
| <math>\tfrac{\pi}{6}</math>
| <math>\tfrac{\pi}{4}</math>
| <math>\tfrac{\pi}{3}</math>
| <math>\tfrac{\pi}{2}</math>
| <math>\pi</math>
| <math>\tfrac{3\pi}{2}</math>
| <math>2 \pi</math>
|}

== التحليل البعدي ==

كثيرًا ما يستخدم الراديان كوحدة القياس المفضّلة في العديد من المجالات. ففي حساب [[تفاضل|التفاضل]] و[[تكامل|التكامل]]، مثلاً، يساعد كون الراديان كميّة غير بعديّة في صياغ المعادلات والبراهين، وهذا بسبب عدم وجود حاجة إلى «إلغاء» وحدة القياس.

إنّ استعمال الراديان، خاصّة في [[دوال مثلثية|الدوال المثلثية]] ك[[جيب (توضيح)|الجيب]] و[[جيب التمام]] وغيرها، هو بسيط. فمثلاً بواسطة الراديان بالإمكان برهنة نهاية الدالة الآتية:
:<math>\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}=1,</math>
وهي نتيجة أساسيّة. كذلك، بالإمكان برهنة عدد من المعادلات المثلثية:
:<math>\frac{d}{dx} \sin x = \cos x</math>
:<math>\frac{d^2}{dx^2} \sin x = -\sin x.</math>

بسبب مثل هذه الخواص وغيرها، قد تظهر الدوال المثلثية بالتمثيل الرادياني في سياقات قد لا تمت بصلة مباشرة للمفهوم الهندسي الأصلي لتلك الدوال. فمثلاً، تكون هذه الدوال حلاًّ ل[[معادلة تفاضلية|لمعادلة التفاضلية]] التالية: <math>\frac{d^2y}{dx^2} = -y</math>.

طريقة أخرى لرؤية الفائدة من وراء كون الراديان كميّة لا بعدية تظهر عند التمعن ب[[متسلسلة تايلور]] للدوال المثلثيّة:
:<math>sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots</math>
فإذا لم يكن الراديان كميّة غير بعديّة، لما كان بإمكان متسلسلة تايلور أن تكتب بهذه البساطة، إذ كان يتوجّب إلغاء البعد الفيزيائي للكمية لكي نتمكن من جمع كل الحدود، لأنّ كل منها بقوّة مختلفة. فلا يمكن أن نجمع حدًا بُعده متر وحدًا بُعده متر<math>^{3}</math>.

== الاستعمال في الفيزياء ==

إنّ استعمال وحدة الراديان في الفيزياء أمر شائع لقياس الزوايا. فعلى سبيل المثال، تقاس ال[[سرعة زاوية|سرعة الزاوية]] في غالب الأحيان بوحدات راديان في الثانية (<math>\tfrac{rad}{sec}</math>). وإنّ وحدة الدورة في الثانية تعادل <math>2 \pi\ \mbox{rad}</math> في الثانية. كما ويقاس [[تسارع زاوي|التّسارع الزاويّ]] بشكل عام بوحدة الراديان في الثانية في الثانية (<math>\tfrac{rad}{sec^2}</math>).

يعود سبب الاستعمال الشائع للراديان في الفيزياء إلى نفس أسباب استعماله في الرياضيات - فإنّ استعمال الكمية يبسط الأمور في الكثير من الأحيان.

== انظر أيضًا ==

* [[ستراديان]]
* [[سرعة زاوية]]
* [[تردد زاوي]]

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{تصفح النظام الدولي للوحدات}}
{{تحليل رياضي}}
{{معرفات مركب كيميائي}}
{{مواضيع حسابات التفاضل والتكامل}}
{{شريط بوابات|رياضيات|الفيزياء|هندسة رياضية|تحليل رياضي}}

{{تصنيف كومنز|Radian}}

[[تصنيف:باي]]
[[تصنيف:دوال مثلثية]]
[[تصنيف:نظام دولي للوحدات المشتقة]]
[[تصنيف:وحدات الزاوية المستوية]]
[[تصنيف:وحدات طبيعية]]

راديان - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: بوت: إصلاح التحويلات