عبد العزيز: lمصدر

2023-11-14T18:56:39Z

lمصدر

صفحة جديدة

[[ملف:Convfunc1.PNG|تصغير|الدالة بالأزرق هي دالة محدّبة على طول محور الأعداد الحقيقية: كل مستقيم يصل بين أي نقطتين على الرسم البياني للدالة يقع فوق الرسم البياني للدالة.]]

تدعى [[دالة|دالة رياضية]] ([[متغير (رياضيات)|بمتغير]] واحد) '''دالة محدّبة'''<ref>{{استشهاد بويكي بيانات|Q111421033|صفحة=54}}</ref> {{إنج|Convex function}} في مقطع ما إذا كان [[مستقيم (رياضيات)|الخط المستقيم]] الذي يصل بين أي نقطتين على [[رسم بياني|الرسم البياني]] للدالة في هذا المقطع يقع فوق الرسم البياني للدالة نفسها.<ref>{{استشهاد بكتاب|صفحة=[https://archive.org/details/convexanalysismo00hhba/page/n161 144]|عنوان=Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces|مسار=https://archive.org/details/convexanalysismo00hhba|مؤلف=H. Bauschke and P. L. Combettes |ناشر=Springer |سنة=2011 |isbn=978-1-4419-9467-7}}</ref><ref>{{استشهاد ويب | مسار= https://math.stackexchange.com/questions/337090/if-f-is-strictly-convex-in-a-convex-set-show-it-has-no-more-than-1-minimum | عنوان=If f is strictly convex in a convex set, show it has no more than 1 minimum | ناشر=Math StackExchange | تاريخ=21 Mar 2013 | تاريخ الوصول=14 May 2016|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191219013341/http://math.stackexchange.com/q/337090/29780|تاريخ أرشيف=2019-12-19}}</ref><ref>{{استشهاد بدورية محكمة | الأخير1 = Kingman | الأول1 = J. F. C. | doi = 10.1093/qmath/12.1.283 | عنوان = A Convexity Property of Positive Matrices | صحيفة = The Quarterly Journal of Mathematics | المجلد = 12 | صفحات = 283–284 | سنة = 1961 | pmid = | pmc = }}</ref> على سبيل المثال فإنّ الدالّة <math>f\left(x\right) = x^2</math> هي دالة محدّبة على طول محور الأعداد [[عدد حقيقي|الحقيقية]]، كما يظهر في الرسم. وتجدر الإشارة إلى أنّ مفهوم التحدب والتقعر قد يكون عكس المفهوم اللغوي أو التصويري (فقد يظن البعض أن شكل الرسم البياني هو مقعر وليس محدبا).
* [[دالة مقعرة|الدالة المقعرة]] هي دالة محدبة معكوسة، بمعني أن قمتها تكون إلى أعلى في اتجاه المحور الرأسي ومفتوحة من أسفل، في شكل الجرس.

بالإمكان تطوير تعريف '''الدالة المحدبة''' ليشمل دوالا بأكثر من متغير واحد، بل وأي دالة ذات قيم حقيقية معرّفة في نطاق يشكل [[مجموعة محدبة]] في [[فضاء متجهي|فضاء اتجاهي]] ما.

للدوال المحدّبة استعمالات عديدة وهامّة، خاصة في مجالات [[تحليل دالي|التحليل الدالي]] و[[الاستمثال المحدب]]، وتظهر في عدة متراجحات مهمّة، منها [[متباينة ينسن|متراجحة ينسن]].

== تعريف ==
تدعى [[دالة حقيقية المستقر|الدالة ذات القيم الحقيقية]] <math>f\left(x\right)</math> [[دالة]] محدبة إذا تحقّق لكل نقطتين <math>x</math> و<math>y</math> في نطاق الدالة ''C'' ولكل <math>\lambda</math> في المجال [0,1] ما يلي:

:<math>f\left(\lambda x + \left(1-\lambda \right)y\right) \le \lambda f\left(x\right) + \left(1-\lambda \right)f\left(y\right)</math>

هذا وتدعى الدالة <math>f</math> '''محدبة تمامًا''' إذا تحقّق:

:<math>f\left(\lambda x + \left(1-\lambda \right)y\right) <\lambda f\left(x\right) + \left(1-\lambda \right)f\left(y\right)</math>

لكل <math>\lambda</math> في المجال (0,1) ولكل <math>x \le y</math>.

أمّا إذا كانت الدالة <math>-f\left(x\right)</math> هي دالة محدبّة فتدعى الدالة <math>\ f</math> [[دالة مقعرة]].

ويظهر تفسير كون الدالة أحادية المتغير محدّبة إذا كان الخط المستقيم الذي يصل بين أي نقطتين على رسمها البياني يقع فوق الرسم البياني، يظهر من المتراجحة أعلاه، إذ أنّه إذا كانت <math>z = \lambda x + \left(1-\lambda \right) y</math> هي نقطة تقع بين ''x'' و''y'' (تذكير: <math>\lambda \in \left[0,1\right]</math>)، فإنّ:
:<math>g \left(z \right) = \lambda f \left(x \right) + (1- \lambda) f \left(y \right)</math>،
حيث أنّ <math>g</math> هي معادلة الخط المستقيم (أي <math>g\left(x\right) = f\left(x\right)</math> و<math>g\left(y\right) = f\left(y\right)</math>).

== خواص تحليلية ==
* إذا كانت ''f'' و''g'' دالتين محدّبتين، فإنّ الدالتين: <math>m(x) = \operatorname{max} \{f(x),g(x)\} </math> و<math>h\left(x\right) = f\left(x\right) + g\left(x\right)</math> هما محدبتان كذلك؛
* إذا كانت ''f'' و''g'' دالتين محدّبتين، وكانت <math>g</math> دالة غير تنازلية، فإنّ <math>h\left(x\right) = g \left(f\left(x\right)\right)</math>؛
* تحدّب الدالة لا يتغير إثر [[تحويل تآلفي|تحويلات أفينيّة]] على المتغيّر، أي أنّه إذا كانت ''f'' هي دالة محدبة وكان <math>x \in \mathbb{R}^n</math>، فإنّ <math>g\left(y\right) = f\left(Ay + b\right)</math> هي دالة محدبة، حيث <math>b \in \mathbb{R}^n</math>، <math>y \in \mathbb{R}^m</math>، <math>A \in \mathbb{R}^{n \times m}</math>؛

== أمثلة ==
* الدالة <math>f\left(x\right) = x^2</math> هي دالة محدبة تمامًا إذ أنّ المشتق الثاني للدالة موجب لكل ''x'': <math>f\,''\left(x\right) = 2> 0</math>.
* إنّ المشتق الثاني للدالة <math>f\left(x\right) = x^3</math> هو <math>6x</math> أي أنّه غير سالب في المجموعة <math>\{x \ge 0 \}</math>، ولذا فإنّ ''f'' محدّبة هناك، وغير موجب في المجموعة <math>\{x \le 0 \}</math>، أي أنّ الدالة [[دالة مقعرة|مقعرة]] هناك.

== انظر أيضًا ==
* [[دالة مقعرة]]
* [[مجموعة محدبة]]
* [[متباينة ينسن|متراجحة ينسن]]
* [[وسيط أعظمي]]

== المراجع ==
{{مراجع}}

{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|رياضيات|تحليل رياضي}}

[[تصنيف:أنواع الدوال]]
[[تصنيف:تحليل حقيقي]]
[[تصنيف:تحليل محدب]]
[[تصنيف:دوال ابتدائية خاصة]]

دالة محدبة - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: lمصدر