عبد العزيز: نقل من تصنيف:دالة تحليلية جزئية التشكل إلى تصنيف:دوال تحليلية جزئية التشكل باستخدام معدل التصنيفات

2023-10-13T22:26:35Z

نقل من تصنيف:دالة تحليلية جزئية التشكل إلى تصنيف:دوال تحليلية جزئية التشكل باستخدام معدل التصنيفات

صفحة جديدة

{{صندوق معلومات دالة رياضية
| اسم = دالة غاما
| صورة = Gamma plot.svg
| تعليق = تمثيل لدالة غاما على الإحداثيات الديكارتية
| حجم صورة =
| بدل صورة =
| ترميز = <math>\Gamma(z)</math>
| تعريف الدالة = <math> \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,dt\;</math>
| دالة عكسية =
| مشتق دالة = <math>\Gamma(z) \psi(z)</math>، حيث <math>\psi(z)</math> هي {{وإو|تر=Polygamma function|عر=دالة بوليغاما}}.
| مشتق عكسي =
| زوجية أم فردية =
| مجال = <math>\Complex / \{n, n \in \Z ^-\}</math>
| مجال مقابل =
| plusinf = {{يسار إلى يمين|+∞}}
| minusinf =
| صفر = * على اليمين: {{يسار إلى يمين|+∞}}
* على اليسار: {{يسار إلى يمين|-∞}}
| حد أعلى =
| حد أدنى =
| vr1 = 1
| f1 = 1
| vr2 =
{{كسر|1|2}}
| f2 =
<math>\sqrt{\pi}</math>
| vr3 =
{{كسر|3|2}}
| f3 =
<math>\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}</math>
| vr4 =
{{كسر|5|2}}
| f4 =
<math>\tfrac{3}{4}\sqrt{\pi}</math>
| vr5 = 4
| f5 = 6
| خط مقارب = <math>x= n</math> مع <math>n \in \Z ^-</math>
| جذر =
| نقطة حرجة =
| نقطة انقلاب =
| نقطة ثابتة = 1، و {{يسار إلى يمين|3.562...}}، ... وغيرها
| ملاحظات =
}}
[[ملف:Gamma abs 3D.png|thumb|left|280px| ''' منحنى لدالة غاما في معلم مركب ''']]

في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''دالة غاما''' {{إنج|Gamma function}} (والممثلة عموما بالحرف Γ، الحرف [[ألفبائية يونانية|اليوناني]] الكبير [[غاما]]) هي امتداد ل[[عاملي|دالة المضروب]] في [[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]] والمركبة.<ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://id.ndl.go.jp/auth/ndlsh/00562231 | عنوان = معلومات عن دالة غاما على موقع id.ndl.go.jp | ناشر = id.ndl.go.jp| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200809065621/https://id.ndl.go.jp/auth/ndlsh/00562231 | تاريخ أرشيف = 9 أغسطس 2020 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://psh.techlib.cz/skos/PSH7533 | عنوان = معلومات عن دالة غاما على موقع psh.techlib.cz | ناشر = psh.techlib.cz| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20201122092337/https://psh.techlib.cz/skos/PSH7533 | تاريخ أرشيف = 22 نوفمبر 2020 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/gammaFunction.html | عنوان = معلومات عن دالة غاما على موقع xlinux.nist.gov | ناشر = xlinux.nist.gov| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20181013023224/https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/gammaFunction.html | تاريخ أرشيف = 13 أكتوبر 2018 }}</ref> إذن، دالة غاما هي دالة تحقق ما يلي بالنسبة [[عدد صحيح]] موجب ''n'':
<math>\forall\,n \in \mathbb N, \; \Gamma(n+1)=n!</math>

دالة غاما هي دالة معرفة عند جميع الأعداد المركبة باستثناء الأعداد الصحيحة السالبة. فللعدد z الذي يتكون من [[جزء حقيقي]] موجب تعرف دالة غاما كما يلي:
<math> \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,dt\;</math> حيث <math> \Re(z) > 0\ </math>.

[[دانييل برنولي]] هو من اكتشف هذه الصيغة.

ويمكن أن يمتد هذا التعريف ب[[امتداد تحليلي|الامتداد التحليلي]] إلى [[دالة جزئية الشكل]] تصير [[دالة تامة الشكل]] على المستوى العقدي كله باستثناء الصفر والأعداد الصحيحة السلبية حيث للدالة [[قطب (تحليل عقدي)|أقطاب]] بسيطة.

انظر إلى [[تحويل ميلين]].

:<math> \Gamma(t) = \{ \mathcal M e^{-x} \} (t).</math>

هناك دوال أخرى تمدد دالة العاملي، ولكن دالة غاما هي الأكثر شيوعا ونفعا. تظهر في العديد من دوال التوزيعات الاحتمالية، مما يجعلها مهمة في مجالات [[احتمال|الاحتمال]] و[[إحصاء|الإحصاء]] كما في مجال [[تركيبات|التوافقيات]].

== أهداف تعريف دالة غاما ==

[[ملف:Factorial interpolation.png|thumb|250px|من حيث التبيان، من السهل تمديد دالة [[عاملي]] إلى أعداد غير طبيعية، ولكن هل من صيغة تمثل المنحنى الناتج عن هذا التمديد؟]]

يمكن أن يُنظر إلى دالة غاما حلحلةً لمعضلة [[استيفاء|الاستيفاء]] التالية:
:من هو المنحنى القابل للاشتقاق الذي يربط جميع النقط {{تعبير رياضي|(''x'', ''y'')}} حيث {{تعبير رياضي|1=''y'' = (''x'' − 1)!}} كلما كان x عددا صحيحا طبيعيا موجبا قطعا؟

== تعريف ==
=== التعريف الأساسي ===

[[ملف:Complex gamma.jpg|thumb|left|الصيغة المعممة لدالة غاما على [[مستوى عقدي|المستوى العقدي]]]]

عالم الرياضيات الفرنسي [[أدريان ماري ليجاندر|ليجاندر]] هو أول من استعمل الرمز (Γ(z. باستعمال [[تكامل بالتجزئة|التكامل بالتجزيء]]، يمكن أن نجد أن دالة غاما تحقق المعادلة التالية :
:<math>\Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z).</math>

علما أن 1 = (Γ(z، نحصل على ما يلي:
:<math>\Gamma(n) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots (n-1) = (n-1)!\,</math>

===تعريفات أخرى===
:<math>\begin{align}
\Gamma(t) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^t}{t \; (t+1)\cdots(t+n)}
= \frac{1}{t} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^t}{1+\frac{t}{n}} \\
\Gamma(t) &= \frac{e^{-\gamma t}}{t} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{t}{n}\right)^{-1} e^{\frac{t}{n}}
\end{align}</math>
حيث ...γ ≈ 0.577216 هي [[ثابتة أويلر-ماسكيروني]].

===دالة غاما في المستوى العقدي===
==خصائص==
===خصائص عامة===
:<math>\Gamma(1-z) \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}}, 0<z<1</math>

انظر إلى [[تكامل غاوسي]].

===الامتداد باستعمال متسلسلة فورييه===
:<math>
\ln\Gamma(x) = \left(\frac{1}{2}-x\right)(\gamma+\ln2)+(1-x)\ln\pi
- \frac{1}{2}\ln\sin\pi x + \frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin 2\pi n x \cdot\ln{n}}{n}\,, \qquad 0<x<1,
</math>

===صيغة راب===
في عام 1840، برهن عالم الرياضيات السويسري [[جوزيف لودفيش راب]] على الصيغة التالية:

:<math>\int_a^{a+1}\ln\Gamma(z)\, dz = \tfrac12\ln2\pi + a\ln a - a,\quad a>0.</math>

:<math>\int_0^1\ln\Gamma(z)\, dz = \tfrac12\ln2\pi.</math>

===دالة Pi===
=== التكامل عبر لوغارتم دالة غاما===
===العلاقة بدوال أخرى===
===قيم خاصة===

فيما يلي بعض من القيم الخاصة لدالة غاما
:<math>\begin{alignat}{3}
\Gamma(-1) & = (-2)! && = \infty \\
\Gamma(0) & = (-1)! && = \infty \\
\Gamma(1) & = 0! && = 1 \\
\Gamma(2) & = 1! &&= 1 \\
\Gamma(3) & = 2! &&= 2 \\
\Gamma(4) & = 3! &&= 6 \\
\Gamma(-\tfrac{3}{2}) & = \tfrac{4}{3} \sqrt{\pi} &&\approx 2.363271801207 \\
\Gamma(-\tfrac{1}{2}) & = -2\sqrt{\pi} &&\approx -3.544907701811 \\
\Gamma(\tfrac{1}{2}) & = \sqrt{\pi} &&\approx 1.772453850905 \\
\Gamma(\tfrac{3}{2}) & = \tfrac{1}{2}\sqrt{\pi} &&\approx 0.88622692545 \\
\Gamma(\tfrac{5}{2}) & = \tfrac{3}{4}\sqrt{\pi} &&\approx 1.32934038818 \\
\Gamma(\tfrac{7}{2}) & = \tfrac{15}{8}\sqrt{\pi} &&\approx 3.32335097045
\end{alignat}</math>

== التاريخ==
===القرن الثامن عشر : أويلر وستيرلينغ ===
معضلة تمديد دالة العاملي إلى الأعداد غير الصحيحة درست لأول مرة من طرف كل من [[دانييل برنولي]] و[[كريستيان غولدباخ]] في عشرينات القرن الثامن عشر. إلا أنها حلحلت من طرف عالم الرياضيات [[ليونهارت أويلر]]. كان ذلك في نهاية ذلك العقد ذاته. أعطى أويلر تعريفين اثنين لدالة عاملي. الأول لم يكن تكامله ولكنه كان [[جداء غير منته|جداءا غير منته]].

:<math>n! = \prod_{k=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{k}\right)^n}{1+\frac{n}{k}}\,,</math>
والذي أخبر به غولدباخ في رسالة أرسلها إليه في الثالث عشر من أكتوبر عام 1729. كتب أويلر مجددا إلى غولدباخ في الثامن من يناير عام 1730 من إجل إخباره أن توصل إلى صيغة أخرى عل شكل تكامل تساوي دالة العاملي.

:<math>n!=\int_{0}^{1}(-\ln s)^{n}\, ds\,,</math>

انظر إلى [[جيمس ستيرلنغ (رياضياتي)|جيمس ستيرلينغ]] وإلى صيغته [[تقريب ستيرلينغ|صيغة ستيرلينغ]] وإلى [[جداء غير منته]].

===القرن التاسع عشر : غاوس وفايرشتراس وليجاندر ===
[[ملف:Euler factorial paper.png|thumb|250px|alt=De progressionibus transcendentibus, seu quarum termini generales algebraicae dari nequeunt|أول صفحة من مقال أويلر]]

أعاد [[كارل فريدريش غاوس]] كتابة صيغة [[ليونهارت أويلر|أويلر]] كما يلي:

:<math>\Gamma(z) = \lim_{m\to\infty}\frac{m^z m!}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+m)}</math>

انظر إلى [[كارل فايرشتراس]] وإلى [[أدريان ماري ليجاندر]].

===القرن العشرون ===

== انظر أيضا ==
* دالة [[عاملي]]
* [[توزيع غاما]]
* [[مجموع غاوس]]

==مراجع==
{{مراجع}}

{{روابط شقيقة}}
{{شريط بوابات|رياضيات|تحليل رياضي}}
{{ضبط استنادي}}

[[تصنيف:دوال تحليلية جزئية التشكل]]
[[تصنيف:غاما والدوال المتعلقة بها]]

دالة غاما - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: نقل من تصنيف:دالة تحليلية جزئية التشكل إلى تصنيف:دوال تحليلية جزئية التشكل باستخدام معدل التصنيفات