عبد العزيز: استرجاع تعديلات 109.107.229.240 (نقاش) حتى آخر نسخة بواسطة Mr.Ibrahembot

2023-11-22T04:47:36Z

استرجاع تعديلات 109.107.229.240 (نقاش) حتى آخر نسخة بواسطة Mr.Ibrahembot

صفحة جديدة

{{بطاقة عامة}}
[[ملف:Bessel Functions (1st Kind, n=0,1,2).svg|تصغير|يسار|دوال بيسل من النوع الأول، <math>J_0 (x)</math> بالأحمر، <math>J_1 (x)</math> بالأخضر ، <math>J_2 (x)</math> بالأزرق]]

في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''دوال بسل''' {{إنج|Bessel functions}} هن الحلول القانونية (''y''(''x'' [[معادلة تفاضلية|لمعادلة بسل التفاضلية]]
: <math>x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0</math>
من أجل [[عدد مركب]] α (''رتبة'' دالة بسل).

الحالة الخاصة والأكثر انتشارا وأهمية هي عندما تكون α [[عدد صحيح|عددا صحيحا]] أو [[عدد نصف صحيح|عددا نصف صحيح]].

كان [[رياضيات|الرياضياتي]] [[دانييل برنولي]] أول من عرفها ثم عممت من قبل [[فريدريش بيسل|فريدريش بيسيل]].

مع أن α و−α تعطي نفس المعادلة التفاضلية، من المألوف تعريف دوال بسل مختلفة للترتبتين هاتين. تعرف دوال بسل أيضا ب '''دوال الاسطوانة''' أو '''التوافقيات الاسطوانية''' لأنها تمثل الحل ل[[معادلة لابلاس]] في [[نظام إحداثي أسطواني|الإحداثيات الاسطوانية]].<ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://id.ndl.go.jp/auth/ndlsh/00560629 | عنوان = معلومات عن دالة بيسل على موقع id.ndl.go.jp | ناشر = id.ndl.go.jp|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200412144741/https://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00560629|تاريخ أرشيف=2020-04-12}}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://mathscinet.ams.org/mathscinet/msc/msc2010.html?t=33C10 | عنوان = معلومات عن دالة بيسل على موقع ams.org | ناشر = ams.org|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191219012853/http://www.ams.org/mathscinet/msc/msc2010.html?t=33C10|تاريخ أرشيف=2019-12-19}}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = http://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html | عنوان = معلومات عن دالة بيسل على موقع mathworld.wolfram.com | ناشر = mathworld.wolfram.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170829231410/http://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html | تاريخ أرشيف = 29 أغسطس 2017 }}</ref>

== تطبيقات دالة بيسل ==
تظهر معادلة بسل عند الحاجة لحلول [[معادلة لابلاس]] [[معادلة هلمهولتز|ومعادلة هيلمتز]] في [[نظام إحداثي أسطواني|الإحداثيات الإسطوانية]] أو [[نظام إحداثي كروي|الإحداثيات الكروية]]. لذا فإن دوال بسل ذات أهمية كبرى في مسائل [[انتشار الموجة]] و[[جهد ساكن|الساكنة]].

عند حل مسائل في أنظمة الاحداثيات الاسطوانية، يحصل المرء على دوال بسل ذات رتبة صحيحة (α == ''n''); في الاحداثيات الكروية يحصل على رتب أنصاف أعداد صحيحة (α == ''n'' + ½). على سبيل المثال:

* [[موجة كهرومغناطيسية|موجات كهرومغنطيسية]] في [[دليل موجة|دليل الموجة]] الاسطواني.
* [[توصيل حراري|قانون توصيل الحرارة]] في جسم اسطواني.
* أنماط التذبذب في جسم دائري (حلقي) [[غشاء صناعي]] (مثلا [[طبلة]] أو أي [[ممبرانوفون]]).
* مسائل الانتشار على شكل شبكي.
* حلول [[معادلة شرودنغر]] (في [[نظام إحداثي كروي|الاحداثيات الكروية]]) لجسيم طليق.

هناك تطبيقات أخرى لدوال بسل وخواص كما في معالجة الإشارة (مثل [[اصطناع الإف إم]]، [[نافذة كايسر]]، [[مرشح بسل]]).

== تعاريف ==
بما أن دالة بسل معادلة تفاضلية، ينبغي أن يكون لها حلين [[استقلال خطي|مستقلين خطيا]]. اعتمادا على الحالات، بالرغم من ذلك، فإن صيغا مختلفة من هذه الحلول تكون مناسبة. فيما يلي وصفا لهذه الأنواع المختلفة.

=== دوال بسل من النوع الأول: Jα ===
دوال بسل من النوع الأول التي يرمز لها <math>J_\alpha(x)\,</math>, هي حلول معادلة بسل التفاضلية التي تكون محدودة عند نقطة الأصل <math>(x = 0)\,</math> لعدد صحيح غير سالب <math>\alpha\,</math>, وتتباعد عندما تقترب <math>x\,</math> من الصفر لعدد صحيح غير سالب <math>\alpha\,</math>. يعرف نوع الحل (عدد صحيح أم غير صحيح مثلا) وانتظام <math>J_\alpha(x)\,</math> بدلالة خواصه (انظر '''خواص دالة بسل'''). من الممكن تعريف الدالة من منشورها في [[متسلسلة تايلور]] حول <math>x = 0\,</math>:

:<math> J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha} </math>

حيث <math>\Gamma(z)\,</math> هي [[دالة غاما]]، تعميم دالة [[عاملي|المضروب]] للقيم الغير صحيحة. يبدو رسم دوال بسل شبيها بدوال الجيب وجيب التمام المتضائلة طرديا مع <math>1/\sqrt(x)</math> مع أن جذورها ليست دورية عموما، سوى لقيم ''x'' التي يمكن مقاربتها. تشير متسلسلة تايلور إلى أن <math>-J_1(x)\,</math> تمثل مشتقة <math>J_0(x)\,</math>, تماما مثل <math>-\sin(x)\,</math> التي هي مشتقة <math>\cos(x)\,</math>; وبشكل عام يمكن التعبير عن المشتقة <math>J_n(x)\,</math> بدلالة <math>J_{n\pm 1}(x)\,</math> من مطابقات دوال بسل كما هو مبين في الأسفل.
[[ملف:Bessel Functions (1st Kind, n=0,1,2).svg|تصغير|300px|مخطط دالة بسل من النوع الأول, Jα(x), لرتب صحيحة α=0,1,2.]]

للقيم الغير صحيحة α, تكون الدوال <math>J_\alpha (x)\,</math> و<math>J_{-\alpha} (x)\,</math> مستقلة خطيا، وتكون بالتالي الحلين العامين للمعادلة التفاضلية. من جهة أخرى، للأعداد الصحيحة <math>\alpha\,</math>, تكون العلاقة التالية صحيحة (لاحظ أن دالة غاما تصبح لانهائية لحجج الأعداد الصحيحة السالبة):

:<math>J_{-n}(x) = (-1)^n J_{n}(x).\,</math>

هذا يعني أن الحلين لم يعودا مستقلين خطيا. في هذه الحالة يكون الحل الآخر المستقل خطيا يكون دوال بسل من النوع الثاني كما هو مناقش في الأسفل.

==== تكاملات بسل ====
يمكن الحصول على تعريف اخر لدالة بسل، للقيم الصحيحة ''n''، باستعمال الصورة التكاملية:

:<math>J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos (n \tau - x \sin \tau) \,\mathrm{d}\tau.</math>

لقد كانت هذه هي الطريقة التي استعملها بسل، ومن هذا التعريف اشتق بعض الخصائص. يمكن تعميم التعريف إلى الرتب الغير صحيحة بإضافة حد اخر

:<math>J_\alpha(x) =
\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos(\alpha\tau- x \sin\tau)d\tau

- \frac{\sin(\alpha\pi)}{\pi} \int_{0}^{\infty}
e^{-x \sinh(t) - \alpha t} dt. </math>

هنا صورة تكاملية أخرى:

:<math>J_n (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{-\mathrm{i}\,(n \tau - x \sin \tau)} \,\mathrm{d}\tau.</math>

==== صلتها بالدوال الزائدية الهندسية ====
==== صلتها بمتعددات حدود لاغيري ====
=== دوال بسل من النوع الثاني: Yα ===
=== دوال هانكل: Hα ===
=== دوال بسل المعدلة: Iα, Kα ===

=== دوال بسل الكروية: j n, y n ===
==== علاقات تفاضلية ====
<math>f_n</math> التالية هي أي من <math>j_n, y_n, h_n^{(1)}, h_n^{(2)}</math> حيث <math>n=0,\pm 1,\pm 2,\dots</math>
:<math>\left(\frac{1}{z}\frac{d}{dz}\right)^m\left(z^{n+1}f_n(z)\right)=z^{(n-m)+1}f_{(n-m)}(z).</math>

=== دوال هانكل الكروية: h n ===
=== دوال بسل-ريكاتي: <math>S_n, C_n, \zeta_n</math> ===

== أشكال مقاربة ==
== خواص دوال بسل ==

== صلتها بتحويل فورييه ==
== مبرهنة الضرب ==
== فرضية بورغيت ==
== مطابقات مختارة ==
* <math>I_{-\frac{1}{2}} \left(\frac{z}{2}\right)+ I_{\frac{1}{2}} \left(\frac{z}{2} \right)= \frac{2 e^{\frac{z}{2}}}{\sqrt{\pi z}} ;</math>
* <math>I_\nu(z)=\sum_{k=0} \frac{z^k}{k!} J_{\nu+k}(z);</math>
* <math>J_\nu(z)=\sum_{k=0} (-1)^k \frac{z^k}{k!} I_{\nu+k}(z);</math>
* <math>I_\nu (\lambda z)= \lambda^\nu \sum_{k=0} \frac{\left((\lambda^2-1) \frac z 2 \right)^k}{k!} I_{\nu+k}(z);</math>
* <math>I_\nu (z_1+z_2)= \sum_{k=-\infty}^\infty I_{\nu-k}(z_1)I_k(z_2);</math>
* <math>J_\nu(z)=\frac z {2 \nu} (J_{\nu-1}(z)+J_{\nu+1}(z)), \quad I_\nu(z)=\frac z {2 \nu} (I_{\nu-1}(z)-I_{\nu+1}(z));</math>
* <math>J_\nu'(z)=\frac 1 2 (J_{\nu-1}(z)-J_{\nu+1}(z)), \quad I_\nu'(z)=\frac 1 2 (I_{\nu-1}(z)+I_{\nu+1}(z));</math>
* <math>\left(\frac x 2\right)^\nu= \sum_{k=0} (-1)^k \frac {\Gamma(k+\nu)}{k!} (2k+\nu) I_{2k+\nu}(x).</math>

== الملاحظات ==

{{مراجع}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات}}

{{ضبط استنادي}}
{{تصنيف كومنز}}

[[تصنيف:تحليل فورييه]]
[[تصنيف:دوال خاصة]]

دالة بيسل - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: استرجاع تعديلات 109.107.229.240 (نقاش) حتى آخر نسخة بواسطة Mr.Ibrahembot