عبد العزيز: بوت:إضافة بوابة (بوابة:رياضيات)

2023-06-03T22:19:36Z

بوت:إضافة بوابة (بوابة:رياضيات)

صفحة جديدة

[[ملف:Beta function contour plot.png|تصغير|[[خط منسوب|الخط المنسوب]] لدالة بيتا]]
[[ملف:Beta function on real plane.png|تصغير|الرسم البياني لدالة بيتا لقيم موجبة لكل من x و y]]

في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''دالة بيتا''' {{إنج|Beta function}}، والمعروفة أيضا باسم [[تكامل أويلر]] من النوع الأول، هي [[دوال خاصة|دالة خاصة]] تعطي بالعلاقة التالية:
:<math>
\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt
\!</math>
لكل <math>\textrm{Re}(x), \textrm{Re}(y) > 0.\,</math>


تعاقب علي دراسة هذه الدالة كل من [[ليونهارت أويلر|أويلر]] و[[أدريان ماري ليجاندر|ليجاندر]] والذي أعطاها هذا الاسم هو [[جاك فيليب ماري بينيه|جاك بينيه]].<ref>{{استشهاد ويب| مسار = http://mathworld.wolfram.com/BetaFunction.html | عنوان = معلومات عن دالة بيتا على موقع mathworld.wolfram.com | ناشر = mathworld.wolfram.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200725012811/https://mathworld.wolfram.com/BetaFunction.html | تاريخ أرشيف = 25 يوليو 2020 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://id.ndl.go.jp/auth/ndlsh/00560632 | عنوان = معلومات عن دالة بيتا على موقع id.ndl.go.jp | ناشر = id.ndl.go.jp| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190902014231/https://id.ndl.go.jp/auth/ndlsh/00560632 | تاريخ أرشيف = 2 سبتمبر 2019 }}</ref> يعد الرمز [[بيتا (حرف)|B]] هوأحد الحروف الكبيرة في [[ألفبائية يونانية|الكتابة اليونانية]] أما الحرف الصغير له فهو β.

== الخصائص ==
تعتبر دالة بيتا دالة [[دالة متناظرة|دالة متماثلة]] ، وهذا يعني:

:<math>
\Beta(x,y) = \Beta(y,x).
\!</math>

يمكن تعريف دالة بيتا بدلالة [[دالة غاما]] وذلك عن طريق الصيغة التالية :

:<math>
\Beta(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
\!</math>

عندما يكون كل من x و y عددا صحيحا موجبا تكون صيغة دالة بيتا كالتالي :

:<math>
\Beta(x,y)=\dfrac{(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}
\!</math>

حيث (Gamma (x تساوي (x-1)! عندما يكون x عددا صحيحا موجبا.

وتوجد العديد من الصيغ لدالة بيتا منها :

:<math>
\Beta(x,y) =
2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta,
\qquad \mathrm{Re}(x)>0,\ \mathrm{Re}(y)>0
\!</math>

:<math>
\Beta(x,y) =
\int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt,
\qquad \mathrm{Re}(x)>0,\ \mathrm{Re}(y)>0
\!</math>

:<math>
\Beta(x,y) =
\sum_{n=0}^\infty \dfrac{{n-y \choose n}} {x+n},
\!</math>

:<math>
\Beta(x,y) = \frac{x+y}{x y} \prod_{n=1}^\infty \left(1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1},
\!</math>

:<math>
\Beta(x,y)\cdot(t \mapsto t_+^{x+y-1}) = (t \to t_+^{x-1}) * (t \to t_+^{y-1}) \qquad x\ge 1, y\ge 1,
\!</math>

:<math>
\Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) =
\dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)},
\!</math>



== العلاقة بين دالة بيتا ودالة غاما ==
لايجاد التكامل الذي يمثل دالة بيتا، نبدأ بحاصل ضرب دالتين غاما :

:<math>
\Gamma(x)\Gamma(y) =
\int_0^\infty\ e^{-u} u^{x-1}\,du \int_0^\infty\ e^{-v} v^{y-1}\,dv
=\int_0^\infty\int_0^\infty\ e^{-u-v} u^{x-1}v^{y-1}\,du \,dv.
\!</math>

بتبديل المتغيرين بوضع ''u''=''zt'' و (''v''=''z''(1-''t'' يتضح ما يلي:

:<math>
\int_{z=0}^\infty\int_{t=0}^1\ e^{-z} (zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,dt \,dz
=\int_{z=0}^\infty \ e^{-z}z^{x+y-1} \,dz\int_{t=0}^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt.
\!</math>

من أجل حساب هذا التكامل المزدوج والقيام بهذا التغيير للمتغير، انظر إلى [[مصفوفة ياكوبية|مصفوفة جاكوبية ومحددة جاكوبية]].
ومن ثم،

:<math>
\Gamma(x)\,\Gamma(y)=\Gamma(x+y)\Beta(x,y).
</math>

== المشتقات ==
تكون مشتقة دالة بيتا علي الصورة :
:<math>{\partial \over \partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left({\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y)),</math>

حيث <math>\ \psi(x)</math> هي [[دالة ثنائي غاما]]

== التكاملات ==
يشمل [[تكامل نورلايد-ريز]] تكامل دالة بيتا.

== التقريب ==
يمكن تقريب دالة بيتا عن طريق [[تقريب ستيرلينغ]] ويعطي الصيغة التالية :

:<math>\Beta(x,y) \sim \sqrt {2\pi } \frac{{x^{x - \frac{1}{2}} y^{y - \frac{1}{2}} }}{{\left({x + y} \right)^{x + y - \frac{1}{2}} }}</math>

وذلك لكل من x و y كبيرين، أما ان كان x كبير و y محدود فتكون الصيغة كالتالي:

:<math>\Beta(x,y) \sim \Gamma(y)\,x^{-y}.</math>

== دالة بيتا غير الكاملة ==
تعتبر '''دالة بيتا''' غير الكاملة تعميما لدالة بيتا وتعطي بالصيغة:

:<math> \Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. \!</math>

عندما x=1 توؤل دالة بيتا غير الكاملة الي دالة بيتا الكاملة والعلاقة بين الدالتين كالعلاقة بين [[دالة غاما]] وتعميماها [[دالة غاما غير الكاملة]].

'''دالة بيتا غير الكاملة المنظمة''' أو المعرفة اختصارا ب '''دالة بيتا المنظمة''' تعرف عن طريق دالة بيتا غير الكاملة والكاملة كالتالي:

:<math> I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}. \!</math>

بحل هذا التكامل (يمكن حله ب[[تكامل بالتجزئة|التكامل بالتجزئة]]) سوف نجد:

:<math> I_x(a,b) = \sum_{j=a}^{a+b-1} {(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!} x^j (1-x)^{a+b-1-j}. </math>

=== خصائصها ===


:<math> \sqrt{\sqrt[\surd]{2}} </math>
:<math> I_1(a,b) = 1 \, </math>
:<math> I_x(a,b) = 1 - I_{1-x}(b,a) \, </math>
:<math> I_x(a+1,b) = I_x(a,b)-\frac{x^a(1-x)^b}{a B(a,b)} \, </math>

== حساب دالة بيتا ==

== انظر أيضا ==
* [[توزيع بيتا]]
* [[دالة غاما]]
* [[توزيع ثنائي الحدين|توزيع احتمالي ثنائي]]
== المراجع ==
{{مراجع}}

* {{dlmf|authorlink=Richard Askey|first=R. A.|last= Askey|first2= R.|last2= Roy |id=5.12 }}
* M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. ''[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions]] with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.'' New York: Dover, 1972. ''[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_258.htm (See §6.2, 6.6, and 26.5)]''
* {{dlmf|first=R. B. |last=Paris|id=8.17|title=Incomplete beta functions}}
* {{استشهاد | الأخير1=Press | الأول1=WH | الأخير2=Teukolsky | الأول2=SA | الأخير3=Vetterling | الأول3=WT | الأخير4=Flannery | الأول4=BP | سنة=2007 | عنوان=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing | إصدار=3rd | ناشر=Cambridge University Press | مكان النشر=New York | isbn=978-0-521-88068-8 | الفصل=Section 6.1 Gamma Function, Beta Function, Factorials | مسار الفصل=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=256}}

== وصلات خارجية ==

* {{planetmath reference|id=6206|title=Evaluation of beta function using Laplace transform}}
* Arbitrarily accurate values can be obtained from:
** [http://functions.wolfram.com The Wolfram Functions Site]: [http://functions.wolfram.com/webMathematica/FunctionEvaluation.jsp?name=BetaRegularized Evaluate Beta Regularized Incomplete beta]
** danielsoper.com: [https://web.archive.org/web/20110709034543/http://www.danielsoper.com/statcalc/calc36.aspx Incomplete Beta Function Calculator], [https://web.archive.org/web/20110709034554/http://www.danielsoper.com/statcalc/calc37.aspx Regularized Incomplete Beta Function Calculator]
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات}}

{{ضبط استنادي}}
{{روابط شقيقة|commons=Euler beta function}}

[[تصنيف:غاما والدوال المتعلقة بها]]

دالة بيتا - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: بوت:إضافة بوابة (بوابة:رياضيات)