عبد العزيز: بوت: إصلاح التحويلات

2023-03-14T21:01:39Z

بوت: إصلاح التحويلات

صفحة جديدة

{{ميز|رفع (رياضيات)}}
{{صندوق معلومات دالة رياضية
| اسم = دالة أسية
| صورة = Exponentials(2).svg
| تعليق = تمثيل الدوال الأسية في جملة الإحداثيات الديكارتيّة، فاللون الأسود ذو الأساس (e)، واللون الأحمر ذو الأساس 10، واللون الأزرق ذو الأساس {{كسر|1|2}}، نلاحظ أن جميع المنحنيات قطعت النقطة (0، 1).
| حجم صورة =
| بدل صورة =
| ترميز = <math>a^x</math> أو <math>\exp_a(x)</math>
| دالة عكسية = <math> \log_a(x)</math>
| مشتق دالة = <math>\ln(a) a^x</math>
| مشتق عكسي = <math>\frac{a^x}{\ln(a)}+C</math>
| التكافؤ =
| مجال = <math>\R</math>
| مجال مقابل = <math>\R_+^*</math>
| دالة دورية =
| plusinf =
<math>+\infty</math> إذا كان <math>a>1</math> <math>0</math> إذا كان <math>a<1</math>
| minusinf =
<math>0</math> إذا كان <math>a>1</math> <math>+\infty</math> إذا كان <math>a<1</math>
| صفر = 1
| حد أعلى =
| حد أدنى =
| vr1 = 1
| f1 = <math>a</math>
| vr2 =
| f2 =
| vr3 =
| f3 =
| vr4 =
| f4 =
| vr5 =
| f5 =
| خط مقارب = <math>y=0</math>
| جذر =
| نقطة حرجة =
| نقطة انقلاب =
| نقطة ثابتة =
| ملاحظات =
}}

'''الدالة الأسية''' {{إنج|Exponential Function}} هي كل دالة تُكتب على الشكل <math>f(x)=a^x</math> حيث <math>x\in \R</math> و <math>a</math> عدد حقيقي موجب لا يساوي 1، إذا كان <math>0<a<1</math> فإن الدالة <math>a^x</math> تكون [[دالة رتيبة|تناقصية]] وتسمى دالة [[تضاؤل أسي]]، أما إذا كان <math>a>1</math> فإن الدالة تكون [[دالة رتيبة|تزايدية]] وتسمى دالة [[نمو أسي]].<ref>{{استشهاد بكتاب |اقتباس=''This natural exponential function is identical with its derivative.'' This is really the source of all the properties of the exponential function, and the basic reason for its importance in applications… |صفحة=448 |الأخير=Courant |مؤلف2-الأخير=Robbins |عنوان=What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods |editor-last=Stewart |إصدار=2nd revised |ناشر=Oxford University Press |سنة=1996 |isbn=0-13-191965-2 |مسار=https://books.google.com/books?id=F82cPAAACAAJ&pg=PA448| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191219020110/https://books.google.com/books?id=F82cPAAACAAJ&pg=PA448 | تاريخ أرشيف = 19 ديسمبر 2019}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب|مسار=https://archive.org/download/1979RudinW/RudinW.PrinciplesOfMathematicalAnalysis3e1976600Dpi.pdf|عنوان=Principles of Mathematical Analysis|الأخير=Rudin|الأول=Walter|ناشر=McGraw-Hill|سنة=1976|isbn=9780070542358|مكان=New York|صفحات=182|اقتباس=|بواسطة=| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200520024506/https://archive.org/download/1979RudinW/RudinW.PrinciplesOfMathematicalAnalysis3e1976600Dpi.pdf | تاريخ أرشيف = 20 مايو 2020 }}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب | عنوان=HP 48G Series – Advanced User's Reference Manual (AUR) | ناشر=[[هوليت-باكارد]] | إصدار=4 | تاريخ=December 1994 | المعرف=HP 00048-90136, 0-88698-01574-2 | سنة النشر الأصلية=1993 | مسار= https://www.hpcalc.org/details/6036 | تاريخ الوصول=2015-09-06|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20160806145723/http://www.hpcalc.org/details.php?id=6036|تاريخ أرشيف=2016-08-06}}</ref>

== دوال أسية أخرى ==

: <math>f(x)=a^x + b^2x</math> أو: <math>f(x)=a^x + 5. M^x-3</math> أو: <math>f(x)=a^x + e^x</math>

'''مثال آخر للدالة الأسية:'''

:y = ل مرفوعة للقوة x ، وتكتب رياضيا كالآتي:

:y = لx

: حيث ل> صفر.

أي أن '''الدالة الأسية''' بصفة عامة:

X = yn

تستخدم في الحاسوب معادلة أسية خاصة اسمها (exp(n. وهي تعادل حالة خاصة للمعادلة الأسية التي هي أصلا <math>e^n </math> حيث e هو الثابت الطبيعي المسمى [[أعداد أويلر|عدد أويلر]]. ذلك لأن الحالة الخاصة <math>e^n </math> لها استخدامات واسعة في [[فيزياء|الفيزياء]] و[[كيمياء|الكيمياء]] و[[هندسة الكهرباء|الهندسة الكهربائية]] و[[هندسة الميكانيك|الهندسة الميكانيكية]] و[[إحصاء|الإحصاء]] وغيرها من العلوم. بعض الدول العربية تستخدم «هـ» بدلا عن e.

== خواص الأسس ==
[[ملف:Exp tangent.svg|تصغير|300x300px| مشتق الدالة الأسية <math>e^n </math> مساو لقيمة الدالة. لكل نقطة من المنحنى (الأزرق)، إذا رسم الخط المماس (الأحمر) والخط العمودي (الأخضر) كما هو مبين، فستكون للمثلث الذي يحددانه مع المحور الأفقي قاعدة طولها 1 (الأخضر). فيكون [[ميل المستقيم|انحدار]] الخط المماس (ال[[مشتق (رياضيات)|مشتق]]) في النقطة مساويا لارتفاع المثلث (قيمة الدالة).]]

التعريف الجبري للدالة الأسية هو أنها تحول المجموع إلى جداء.

من خواص الدالة الأسية:

: a0 = 1

:a1 = a

[[دالة عكسية|الدالة العكسية]] للدالة الأسية هي [[لوغاريتم|اللوغاريتم]] (log) ذو الأساس a حيث تحول <math>a^x</math> إلى x وهي تحول الجداء إلى مجموع:

:<math>\log(a^x)=x\log(a)</math>

حيث x عدد حقيقي. الرمز log في هذه المقالة ينطبق على [[لوغاريتم|اللوغاريتم]] للأساس 10.

يمكن تحويل الدالة الأسية <math> a^x </math> إلى أي أساس آخر <math> b </math> :

: <math>a^x=b^{x\cdot\log_b(a)}</math>

وتنطبق القوانين التالية عليها:

:<math>a^0=1 \,</math>...و... <math>a^1=a \,</math>

:<math>a^{x+y}=a^x \cdot a^y</math>

:<math>a^{x\cdot y}=(a^{x})^{y}</math>

:<math>a^{-x} = \frac{1}{a^x}=\left(\frac{1}{a}\right)^x</math>

:<math>a^x \cdot\ b^x=(a \cdot\ b)^x</math>

وتنطبق تلك القوانين على كل الأساسيات الحقيقية الموجبة <math>a \,</math> و<math>b \,</math> وعلى جميع الأساسيات الحقيقية والمركبة <math>x</math>.

'''من أهم الدوال الأسية''' المستعملة في العلوم مثل [[فيزياء نووية|كالفيزياء النووية]] و[[فيزياء ذرية|الفيزياء الذرية]] و[[كهرباء|الكهرباء]] و[[هندسة الكهرباء|الهندسة الكهربائية]] هي الدالة ذات الأساس e أي <math>e^x</math> واللوغاريتم المنتسب إليها يرمز له بالرمز '' ln'' ، ويسمى «اللوغاريتم الطبيعي».

الدالة الأسية للأساس e هي الدالة الوحيدة التي تحقق الشرطين:

: <math>f'=f</math>
: <math>f(0)=1</math>

أي أنها حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.

== الدالة الأسية للثابت الطبيعي e ==

{{صندوق معلومات دالة رياضية
| اسم = الدالة الأسية الطبيعية
| صورة = Exp e.svg
| تعليق = الدالة الأسية الطبيعية تكاد تكون أفقية عند القيم السلبية للأس عندما يكون الأساس أكبر قطعا من الواحد، ثم تتزايد بسرعة في القيم الإيجابية، وتساوي 1 عندما تساوي قيمة x الصفر.
| حجم صورة =
| بدل صورة =
| التكافؤ =
| ترميز = <math>e^x</math> أو <math>\exp (x)</math>
| دالة عكسية = <math>\ln (x)</math>
| مشتق دالة = <math>e^x</math>
| مشتق عكسي = <math>e^x + C</math>
| مجال = <math>\R</math>
| مجال مقابل = <math>\R_+^*</math>
| دالة دورية =
| plusinf =
<math>+\infty</math>
| minusinf =
<math>0</math>
| صفر = 1
| حد أعلى =
| حد أدنى =
| vr1 = 1
| f1 = [[ه (رياضيات)|e]]
| vr2 =
| f2 =
| vr3 =
| f3 =
| vr4 =
| f4 =
| vr5 =
| f5 =
| خط مقارب = <math>y=0</math>
| جذر =
| نقطة حرجة =
| نقطة انقلاب =
| نقطة ثابتة =
| ملاحظات =
}}

هناك الحالة الخاصة عندما يكون''' الأساس '''هو [[ه (رياضيات)|الثابت الطبيعي e]] (تستخدم بعض البلاد العربية الثابت الطبيعي «هـ» بدلا عن المعترف به عالميا e).

وتكتب باللغة الإنجليزية:

: (x = exp(n

حيث n هو الأُس للأساس '''الثابت الطبيعي''' [[ه (رياضيات)|الثابت «ه»]] والذي يساوي 2.718281828

وتوجد في الآلات الحاسبة لكثرة استعمالها.

أو بالتفصيل:

x = en

من خصائص الدالة الأسية للأساس الطبيعي e الخصائص التالية:

: <math>\exp(x+y)=\exp(x) \cdot \exp(y)</math>

: <math> a^x := \exp(x\cdot\ln a) </math>

: <math> a^x:=e^{x\cdot\ln a}</math>

وذلك لجميع
<math>a> 0</math> وجميع <math>x</math> الحقيقية والمركبة.(ln a هو اللوغاريتم الطبيعي للأساس الطبيعي e وليس اللوغاريتم للأساس 10)

[[ملف:Series RC capacitor voltage.svg|بدون|تصغير|330px|تزايد [[جهد كهربائي|جهد]] [[مكثف (كهرباء)|المكثف]] مع الزمن يتبع دالة أسية للأساس e.]]

للدالة الأسية للأساس الطبيعي e أهمية كبرى في [[فيزياء|الفيزياء]] (مثل: تناقص الضغط الجوي بالارتفاع عن سطح الأرض [أنظر أسفله]) ، وفي ال[[كيمياء]] (مثل: [[معدل التفاعل|اعتماد سرعة التفاعل على درجة الحرارة]])

وفي [[فيزياء|الفيزياء]] بالنسبة إلى [[دارة إلكترونية|الدارة الإلكترونية]] حيث تتزايد مثلا شحنة [[مكثف (كهرباء)|مكثف]] طبقا للدالة الأسية مع الزمن x = en حيث n = t.c حتى تكتمل سعة المكثف. وإذا عملنا على تفريغ المكثف من شحنته يتبع معدل تفريغ الشحنة مع الزمن نفس الدالة الأسية الطبيعية مع جعل الأس بالسالب، أي x = e-t.c.
* ويكون الأس n دائما [[كمية لا بعدية|عددا لا بعديا]] ، لكنه يتكون عادة من جزئين، ففي حالة المكثف الكهربائي على سبيل المثال يكون n = t.c حيث t الزمن [[ثانية]] و c خاصية للمكثف وحدتها [1/ثانية] ، وينتج عن حاصل ضربهما عددا لا بعديا.
* يعطينا الشكل المجاور الشكل المميز للدالة الأسية للأساس e. وطبقا لها تتغير الشحنة الكهربائية الواردة على المكثف مع الزمن حتى يمتلئ تماما.

== تعريفات أساسية للدالة الأسية للأساس e ==
يمكن تعريف الدالة الأسية للأساس e بعدة طرق متكافئة، على وجه التخصيص يمكن تعريفها بإستعمال [http://متسلسلة_قوى متسلسلة قوى]:

: <math>\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^n}{n!}=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots</math>

أقل شيوعا يمكن تعريف ex كحل للمعادلة التالية:

: <math>\displaystyle x=\int_1^y\dfrac{\mathrm dt}{t}.</math>

هي أيضا تساوي النهاية التالية:

: <math>\displaystyle e^x=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n.</math>

== مشتقة الدالة الأسية للأساس e ==
تتميز الدالة الأسية للأساس e بكونها مساوية لمشتقتها التفاضلية:

: <math> \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} x} \exp(x) = \exp(x)</math>

وعندما نختار لها الشرط:

: <math> \exp(0) = 1 \;</math>

تصبح الدالة الأسية للثابت الطبيعي e هي الوحيدة التي تفي بذلك الشرطين. بذلك يمكن تعريف الدالة الأسية الطبيعية بأنها حل تلك المعادلة التفاضلية. عندما تكون
<math>a>0</math> ينتج:

: <math> a^x = \exp(x\cdot\ln a) </math>

حيث ln a هو اللوغاريتم للأساس الطبيعي e وتنطبق المعادلة:

:<math> \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} x} a^{b\cdot x} = b\ln a \cdot a^{b\cdot x}</math>

وفي هذه المعادلة لا يلزم استبدال اللوغاريتم الطبيعي بأي لوغاريتم لأساس آخر، حيث يأتي العدد ''e'' في حساب التفاضل بطريقة «طبيعية» من نفسه.

=== المعادلة التفاضلية من النوع <math>\frac{dy}{dx}=ay+b</math> حيث a و b عددان حقيقيان ===
[[ملف:Exponential Decay of Nuclei Depending on Decay Constant-de.svg|تصغير|يسار| 300px|دالة أسية للأساس e: ثلاثة منحنيات للتحلل الإشعاعي لثلاثة مواد لها عمر النصف مختلف.]]

إن حل هذه المعادلة التفاضلية عبارة عن دالة أسية بحيث <math>y(x)=\lambda e^{ax}-\frac{b}{a}</math> حيث <math>\lambda</math> ثابتة حقيقية تحدد بالاعتماد على الشروط البدئية

'''مثال:'''

قانون [[اضمحلال نشاط إشعاعي|التحلل الإشعاعي]] [[نواة الذرة|لنواة الذرة]]:

:<math>N(t) = N_0\,e^{-{\lambda}t} \,\!</math>

وتعطينا تلك المعادلة الأسية عدد الأنوية (N(t التي لم تتحلل بعد مرور الزمن t من مجموع أنوية الذرات N_0 الكلي عند البداية (عند t = 0).

وتعتمد:<math>{\lambda}\!</math> على نوع [[ذرة|الذرات]] الموجودة في العينة، وهي خاصية من خصائص [[اضمحلال نشاط إشعاعي|العنصر المشع]]، وتختلف [[يورانيوم|لليورانيوم]] عن [[بلوتونيوم|البلوتونيوم]] وعن [[بوتاسيوم|البوتاسيوم]]-40 مثلا. ووحدتها 1/[[ثانية]].

== المجاميع أسية ==
ليكن <math>a</math> عنصرا من [[عدد حقيقي|مجموعة الأعداد الحقيقية]] حيث <math>a>1</math>

'''المجموع الأول '''

:<math>\sum^{n-1}_{i=0}{a^i}=a^0+a^1+a^2+\dots+a^{n-1} = \frac{a^n-1}{a-1}</math>

نهاية هذا المجموع:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}{\sum_{i=1}^{n}}{a^i}=+\infty</math>

'''المجموع الثاني '''

:<math>\sum_{i=0}^{n}{\frac{1}{a^i}}=\frac{1-a^{n+1}}{a^n-a^{n+1}}=\frac{a^{-n}-a}{1-a}</math>

نهاية هذا المجموع:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}{\sum_{i=0}^{n}}{\frac{1}{a^i}}=\sum_{i=0}^{\infty}{a^{-i}}=\frac{a}{a-1}</math>

== أمثلة ==
=== مثال للدالة الأسية بصفة عامة ===
تزايد الميكروبات: ينقسم [[ميكروب|الميكروب]] إلى نصفين مكونا ميكروبين، وينقسم كل منهما إلى نصفين فيصبحوا أربعة ميكروبات. ثم تنقسم الأربعة ميكروبات وتصبح ثمانية ميكروبات.

أي يبلغ عدد الميكروبات بعد 3 انقسامات:

N = 23

N = 8

فإذا أردنا معرفة عدد الميكروبات بعد 6 انقسامات، صغنا المعادلة كالآتي:

N = 26

N = 64

أي أن عدد الميكروبات الناتجة عن ميكروب واحد بعد ستة انقسامات يبلغ 64 ميكروبا.

=== امثلة للدالة الأسية للأساس الطبيعي e ===

'''التزايد السكاني:'''

يبلغ عدد سكان إحدى المدن 4 ملايين نسمة، فما عدد سكان المدينة بعد ستة سنوات إذا كان معدل تزايد السكان السنوي 2,5 %؟

نكتب المعادلة الآتي:

N = 4. e0,025.6

أو:

:(N = 4. Exp(0,025.6

والنتيجة:

: مليون نسمة N = 4,647 بعد 6 سنوات.

'''مثال 3 :'''

'''تكوّن النجوم:''' تتزايد [[كتلة]] أحد النجوم عن طريق اجتذابه للمادة حوله بمعدل 2 و0 % سنويا، فما تكون كتلته بعد 170 سنة؟.

N = 1. e0,002.170

N = 1. e0,34

باستخدام [[حاسوب|الحاسوب]] نحصل على زيادة كتلته بنسبة 4 و1 خلال 170 سنة.

'''مثال 4:'''

تغير [[كثافة]] الهواء بالارتفاع عن سطح الأرض. المعادلة هي:

:<math>{\rho}=\rho_b \cdot \exp\left[\frac{-g_0 \cdot M \cdot (h-h_b)}{R^* \cdot T_b}\right]</math>

حيث الارتفاع h والارتفاع عند سطح الأرض <math>\ (h_b) </math>.
(أنظر [[تغير الضغط بالارتفاع]])

== اقرأ أيضاً ==
* [[دالة ابتدائية|الدوال الإبتدائية]]
* [[تغير الضغط بالارتفاع]]
* [[توزيع بولتزمان]]
* [[إحصاء ماكسويل-بولتزمان|احصاء ماكسويل-بولتزمان]]
* [[تجانس وتغاير|تجانس]]
* [[اختبار الوحدات]]
== مراجع ==
{{مراجع}}

{{تحليل رياضي}}
{{مواضيع حسابات التفاضل والتكامل}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|رياضيات|تحليل رياضي}}
{{روابط شقيقة}}
{{شريط سفلي دوال رياضية شائعة}}

[[تصنيف:دوال أسية]]
[[تصنيف:دوال ابتدائية خاصة]]
[[تصنيف:دوال تحليلية]]
[[تصنيف:ه (رياضيات)]]

دالة أسية - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: بوت: إصلاح التحويلات