عبد العزيز: تعديل طفيف

2023-12-03T08:00:55Z

تعديل طفيف

صفحة جديدة

في [[جبر خطي|الجبر الخطي]]، '''الحذف الغاوسي''' {{إنج|Gaussian elimination}} هو خوارزمية مفيدة لحل [[نظام معادلات خطية|منظومات من المعادلات الخطية]] وإيجاد [[رتبة (جبر خطي)|رتبة]] [[مصفوفة (توضيح)|مصفوفة]] وحساب معكوس [[مصفوفة قابلة للعكس|مصفوفة مربعة انعكاسية]].<ref>{{استشهاد بمنشورات مؤتمر
| الأول1 = Xin Gui
| الأخير1 = Fang
| الأول2 = George
| الأخير2 = Havas
| عنوان = On the worst-case complexity of integer Gaussian elimination
| عنوان الكتاب = Proceedings of the 1997 international symposium on Symbolic and algebraic computation
| عنوان المؤتمر = ISSAC '97
| صفحات = 28–31
| ناشر = ACM
| سنة = 1997
| مكان = Kihei, Maui, Hawaii, United States
| مسار = https://staff.itee.uq.edu.au/havas/fh97.pdf
| doi = 10.1145/258726.258740
| isbn = 0-89791-875-4| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200223073541/http://staff.itee.uq.edu.au/havas/fh97.pdf | تاريخ أرشيف = 23 فبراير 2020 }}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف1=Timothy Gowers|مؤلف2=June Barrow-Green|مؤلف3=Imre Leader|عنوان=[[رفيق برينستون للرياضيات|The Princeton Companion to Mathematics]]|تاريخ=8 September 2008|ناشر=Princeton University Press|isbn=978-0-691-11880-2|صفحة=607}}</ref> تم إعطاء هذا الاسم تقديرا للرياضياتي الألماني [[كارل فريدريش غاوس|كارل فريدريك غاوس]].
يتم تطبيق عمليات الصف الأساسية لتخفيض المصفوفة على صورة [[مصفوفة مثلثية]]. يمكن تعميم هذه الخوارزمية باستخدام حذف غاوس جوردان، لتخفيض المصفوفة إلى صورة [[مصفوفة مثلثية|مصفوفة مثلثية مخفضة]] ومع ذلك فإن استعمال الحذف الغاوسي بمفرده كاف لأي تطبيق.

:<math>\left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 3 & 1 & 9 \\
1 & 1 & -1 & 1 \\
3 & 11 & 5 & 35
\end{array}\right]\to
\left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 3 & 1 & 9 \\
0 & -2 & -2 & -8 \\
0 & 2 & 2 & 8
\end{array}\right]\to
\left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 3 & 1 & 9 \\
0 & -2 & -2 & -8 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]\to
\left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 0 & -2 & -3 \\
0 & 1 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right] </math>

== مثال ==
لنفرض أن الغرض هو إيجاد ووصف الحل أو الحلول الممكنة إذا كان أي من [[نظام معادلات خطية|نظام المعادلات الخطية]] التالية:

:<math>
\begin{align}
2x + y - z & {} = 8 \quad & (L_1) \\
-3x - y + 2z & {} = -11 \quad & (L_2) \\
-2x + y + 2z & {} = -3 \quad & (L_3)
\end{align}
</math>

تكون الخوارزمية كما يلي: إعزل <math>x</math> عن جميع المعادلات تحت <math>L_1</math>, ومن ثم إعزل <math>y</math> عن جميع المعادلات تحت <math>L_2</math>. هذا سيجعل النظام على [[مصفوفة مثلثية|صورة مثلثية]]. حينئذ، باستعمال التعويض الخلفي، يمكن حل كل واحدة غير معلومة.

في هذا المثال سوف يتم عزل <math>x</math> عن<math>L_2</math> بإضافة <math>\begin{matrix}\frac{3}{2}\end{matrix} L_1</math> إلى <math>L_2</math>, كما يتم عزل <math>x</math> عن <math>L_3</math> بإضافة <math>L_1</math> إلى <math>L_3</math>. بشكل رسمي:

:<math>L_2 + \frac{3}{2}L_1 \rightarrow L_2</math>
:<math>L_3 + L_1 \rightarrow L_3</math>

والنتيجة تكون:
:<math>2x + y - z = 8 \, </math>
:<math>\frac{1}{2}y + \frac{1}{2}z = 1 \, </math>
:<math>2y + z = 5 \, </math>

والآن بعزل <math>y</math> عن <math>L_3</math> بإضافة <math>-4L_2</math> إلى<math>L_3</math>:

:<math>L_3 + -4L_2 \rightarrow L_3</math>

تصبح النتيجة:

:<math>2x + y - z = 8 \, </math>
:<math>\frac{1}{2}y + \frac{1}{2}z = 1 \, </math>
:<math>-z = 1 \, </math>

هذه النتيجة هي نظام معادلات خطية بالصورة المثلثية، وبالتالي يكون الجزء الأول من الخوارزمية قد اكتمل.

القسم الثاني وهو التعويض الخلفي. يتكون من حل المجاهيل في ترتيب عكسي. وعليه يمكن بسهولة ملاحظة أن

: <math>z = -1 \quad (L_3)</math>

وعليه, <math>z</math> يمكن تعويضها في <math>L_2</math>, والتي يمكن حلها بسهولة لإيجاد

: <math>y = 3 \quad (L_2)</math>

ثانيا, <math>z</math> و<math>y</math> يمكن تعويضها <math>L_1</math>, والتي يمكن حلها لإيجاد

: <math>x = 2 \quad (L_1)</math>

وبالتالي تم حل النظام.

== تطبيقات ==
انظر إلى [[نظام معادلات خطية]].

== انظر أيضاً ==
* [[معادلة خطية]]
* [[حذف غاوس-يوردان|حذف غاوس-جوردان]]

== المراجع ==
{{مراجع}}

{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|جبر|خوارزميات|رياضيات|علم الحاسوب}}

[[تصنيف:جبر خطي عددي]]

حذف غاوسي - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: تعديل طفيف