عبد العزيز: مهمة: إضافة قالب {{بطاقة عامة}} (التفويض)

2023-05-16T02:30:32Z

مهمة: إضافة قالب {{بطاقة عامة}} (التفويض)

صفحة جديدة

{{بطاقة عامة}}
[[ملف:Oesterle Joseph.jpg|تصغير|200بك|يسار]]
'''حدسية abc''' (والمعروفة أيضا باسم '''حدسية أوسترلي-ماسر''') هي [[حدسية (توضيح)|حدسية]] في [[نظرية الأعداد]].<ref>{{استشهاد ويب| مسار = http://mathworld.wolfram.com/abcConjecture.html | عنوان = معلومات عن حدسية abc على موقع mathworld.wolfram.com | ناشر = mathworld.wolfram.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190703052241/http://mathworld.wolfram.com/abcConjecture.html | تاريخ أرشيف = 3 يوليو 2019 }}</ref> اقترحها في البداية كل من [[جوزيف أوسترلي]] و[[دافيد ماسر]].

يُعبر عن الحدسية باعتبار ثلاثة أعداد a و b و c (لهذا السبب، سُميت هذه الحدسية بهذا الاسم)، وهذه الأعداد [[أولية نسبيا]]<ref group = م>إذا كان ''a'' + ''b'' = ''c'', أعداد أولية نسبية لـ ''a'', ''b'', ''c'' فهذا يعني أنهم أعداد أولية نسبية متزاوجة لـ ''a'', ''b'', ''c''. وفي هذه الحالة, لا يهم أي من المصطلحات استخدمناها هنا</ref> وتحقق المعادلة a + b = c.
إذا كانت d تشير إلى حاصل ضرب [[تحليل إلى عوامل#التفكيك إلى جداء عوامل أولية|العوامل الأولية]] المتفردة لـ a و b و c ، فإن الحدسية تنص بشكل أساسي على أن d عادة ليست أصغر بكثير من c. بعبارة أخرى: إذا كان a و b يتألفان من قوى كبيرة من الأعداد الأولية، فإن c عادة لا تقبل القسمة على قوى كبيرة للأعداد الأولية. سيتبع عدد من الحدسيات والنظريات الشهيرة في نظرية الأعداد مباشرة من حدسية abc أو إصداراتها.وصف غولدفيلد (1996) حدسية abc بأنها «أهم مشكلة لم يتم حلها في تحليل ديوفانتاين».

نشأت حدسية abc كنتيجة لمحاولات قام بها أوسترلي وماسر لفهم حدسية سزبيرو حول المنحنيات الإهليلجية،<ref>{{استشهاد|عنوان=Arithmetic deformation theory via arithmetic fundamental groups and nonarchimedean theta functions, notes on the work of Shinichi Mochizuki|صحيفة= European Journal of Mathematics|الأول=Ivan|الأخير=Fesenko|المجلد=1 |العدد=3| صفحات=405–440 | سنة=2015 |مسار= https://www.maths.nottingham.ac.uk/personal/ibf/notesoniut.pdf |doi=10.1007/s40879-015-0066-0|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20180615214843/https://www.maths.nottingham.ac.uk/personal/ibf/notesoniut.pdf|تاريخ أرشيف=2018-06-15}}.</ref> التي تشمل تركيبات هندسية في بيانها أكثر من حدسية abc. تم إظهار حدسية abc لتكون مكافئة لحدسية سزبيرو المعدلة.

تم إجراء محاولات مختلفة لإثبات حدسية abc ، ولكن لم يتم قبول أي منها حاليًا من قبل المجتمع الرياضي السائد، واعتبارًا من عام 2020، لا تزال الحدسية تعتبر إلى حد كبير غير مثبتة.<ref name="nature-2020">{{استشهاد بدورية محكمة|doi=10.1038/d41586-020-00998-2 |عنوان=Mathematical proof that rocked number theory will be published |صحيفة=[[نيتشر (مجلة)|نيتشر]]|الأول=Davide|الأخير=Castelvecchi |تاريخ=3 April 2020 |doi-access=free }}</ref><ref>[https://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=11709&cpage=1#comment-235940 Further comment by P. Scholze at ''Not Even Wrong'']. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210123104353/https://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=11709&cpage=1#comment-235940 |date=23 يناير 2021}}</ref>

== صياغة الحدسية ==

قبل أن نذكر الحدسية، سوف نعرف مفهوم [[جذر عدد صحيح|الجذر]] لعدد صحيح:
بالنسبة لعدد صحيح موجب n ، فإن جذري n ، المشار إليه بـ rad (n)، هو حاصل ضرب العوامل الأولية المتفردة لـ n. على سبيل المثال
:rad(16) = rad(24) = rad(2) = 2
:rad(17) = 17
:rad(18) = rad(2 ⋅ 32) = 2 · 3 = 6
:rad(1000000) = rad(26 ⋅ 56) = 2 ⋅ 5 = 10

إذا كانت a و b و c أعداداً صحيحة موجبة [[أولية نسبيا|أولية نسبياً]] بحيث أن a + b = c ، يتضح أن c'' < rad(''abc'')''. تتعامل حدسية abc مع الاستثناءات على وجه التحديد، تنص على ما يلي:
إذا كان ''a'' + ''b'' = ''c'' فإنه لكل [[عدد حقيقي]] موجب ''ε'' يوجد عدد محدود فقط من ثلاثيات ''a'' و ''b'' و '' c'' من [[عدد صحيح|الأعداد الصحيحة]] الموجبة الأولية نسبياً بحيث أن:

<math>c > \operatorname{rad}(abc)^{1+\varepsilon}</math>.

وبصيغة مكافئة:
إذا كان ''a'' + ''b'' = ''c'' فإنه لكل عدد حقيقي موجب ''ε'' يوجد ثابت ''Kε'' بحيث أنه لكل ثلاثيات ''a'' و ''b'' و '' c'' من الأعداد الصحيحة الأولية نسبياً:
<math>c < K_{\varepsilon} \cdot \operatorname{rad}(abc)^{1+\varepsilon}</math> .

تتضمن الصيغة المكافئة الثالثة للحدسية الجودة ''q''(''a'', ''b'', ''c'') للثلاثية (''a'', ''b'', ''c'') والتي يتم تعريفها على أنها:
<math> q(a, b, c) = \frac{ \log(c) }{ \log\big(\operatorname{rad}(abc)\big) }.</math>

على سبيل المثال:

...''q''(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820

...''q''(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565

إذا كانت (''a'', ''b'', ''c'') ثلاثية نموذجية من الأعداد الصحيحة الموجبة الأولية نسبياً وكان ''a'' + ''b'' = ''c'' فإنه سيكون ''c'' < rad(''abc'')، أي أن ''q''(''a'', ''b'', ''c'') < 1 عبارة عن ثلاثيات عندما q'' > 1'' كما في المثال الثاني خاصة إلى حد ما، فهي تتكون من أرقام قابلة للقسمة بواسطة قوى عالية لأعداد أولية صغيرة. الصيغة الثالثة هي:
لكل عدد حقيقي موجب ''ε'' ، لا يوجد سوى عدد محدود من ثلاثيات (''a'', ''b'', ''c'') من الأعداد الصحيحة الموجبة الأولية نسبياً بحيث ''a'' + ''b'' = ''c'' بحيث أن ''q''(''a'', ''b'', ''c'') > 1 + ''ε''.

في حين أنه من المعروف أن هناك عددًا لا نهائيًا من الثلاثيات (''a'', ''b'', ''c'') من الأعداد الصحيحة الموجبة الأولية نسبياً بحيث ''a'' + ''b'' = ''c'' بحيث أن q''(''a'', ''b'', ''c'') > 1'' ، تتنبأ الحدسية أن عدداً محدوداً فقط من هذه الثلاثيات لهم

q'' > 1.01'' أو q'' > 1.001'' أو حتى q'' > 1.0001'' الخ. بشكل خاص، إذا كان الحدسية صحيحة فلا بد من وجود ثلاثية (''a'', ''b'', ''c'') تحقق أقصى جودة ممكنة q''(''a'', ''b'', ''c'')'' .

==أمثلة على ثلاثيات جذورها صغيرة==

الشرط بأن ε'' > 0'' ضروري حيث يوجد عدد لانهائي من ثلاثيات ''a'' و ''b'' و ''c'' بحيث أن c'' > rad(''abc'')''. على سبيل المثال لتكن
:<math> a = 1, \quad b = 2^{6n} - 1, \quad c = 2^{6n}, \qquad n > 1 .</math>
العدد الصحيح ''b'' يقبل القسمة على 9 :
:<math> b = 2^{6n} - 1 = 64^n - 1 = (64 - 1) (\cdots) = 9 \cdot 7 \cdot (\cdots).</math>
باستخدام هذه الحقيقة نحسب:
:<math>\begin{align}
\operatorname{rad}(abc) &= \operatorname{rad}(a) \operatorname{rad}(b) \operatorname{rad}(c) \\
&= \operatorname{rad}(1) \operatorname{rad} \left ( 2^{6n} -1 \right ) \operatorname{rad} \left (2^{6n} \right ) \\
&= 2 \operatorname{rad} \left ( 2^{6n} -1 \right ) \\
&= 2 \operatorname{rad} \left ( 9 \cdot \tfrac{b}{9} \right ) \\
&\leqslant 2 \cdot 3 \cdot \tfrac{b}{9} \\
&= 2 \tfrac{b}{3} \\
&< \tfrac{2}{3} c.
\end{align}</math>
من خلال استبدال الأس 6''n'' بأسس أخرى فإن ذلك يجبر ''b'' على الحصول على عوامل مربعة أكبر، يمكن جعل النسبة بين الجذر و ''c'' صغيرة بشكل عشوائي، على وجه التحديد، لتكن p'' > 2'' عدداً أولياً واعتبر أن
:<math>a = 1, \quad b = 2^{p(p-1)n} - 1, \quad c = 2^{p(p-1)n}, \qquad n > 1.</math>
نحن ندعي الآن ان ''b'' تقبل القسمة على ''p''2:
:<math>\begin{align}
b &= 2^{p(p-1)n} - 1 \\
&= \left(2^{p(p-1)}\right)^n - 1 \\
&= \left(2^{p(p-1)} - 1\right) (\cdots) \\
&= p^2 \cdot r (\cdots).
\end{align}</math>
تستخدم الخطوة الأخيرة حقيقة أن ''p''2 تقسم 2''p''(''p''−1) − 1. هذا يتبع من [[مبرهنة فيرما الصغرى|نظرية فيرما الصغرى]]، والتي توضح أنه إذا كان ''p'' > 2 وكان 2''p''−1 = ''pk'' + 1 حيث k عدد صحيح. وبرفع كلا الطرفين للقوة ''p'' بالتالي نحصل على 2''p''(''p''−1) = ''p''2(...) + 1.

والآن بحساب مشابه لما ورد أعلاه فإننا نحصل على
:<math>\operatorname{rad}(abc) < \tfrac{2}{p} c.</math>

== انظر أيضًا ==
* [[قائمة المسائل غير المحلولة في الرياضيات|مسائل غير محلولة في الرياضيات]]

== ملاحظات ==
{{مراجع|group=م}}

== مراجع ==
{{مراجع}}

== وصلات خارجية ==
{{شريط بوابات|رياضيات|نظرية الأعداد}}

[[تصنيف:استحداثات 1985]]
[[تصنيف:حدسيات رياضية]]
[[تصنيف:مسائل غير محلولة في الرياضيات]]
[[تصنيف:نظرية الأعداد]]

حدسية abc - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: مهمة: إضافة قالب {{بطاقة عامة}} (التفويض)