عبد العزيز: بوت: إصلاح أخطاء فحص أرابيكا من 1 إلى 104

2023-07-04T16:15:38Z

بوت: إصلاح أخطاء فحص أرابيكا من 1 إلى 104

صفحة جديدة

'''الجداء النقطي''' أو '''الضرب النقطي''' أو '''الجداء القياسي''' {{إنج|Dot product}} ويسمى أحيانا '''الضرب القياسي''' أو '''الجداء السُلمي'''، هو عمليةٌ [[جبر]]ية بين [[متجه]]ين ونتيجتها [[كمية قياسية (توضيح)|كمية قياسية]].

== تعريف ==

=== تعريف جبري عام ===
ليكن <math>E </math> [[فضاء متجهي]] حقيقي (معرف على [[حقل (رياضيات)|حقل]] [[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]] <math>\mathbb{R}</math>)

نعرف '''الجداء السُلمي''' على أنه كل دالة <math> \langle\cdot|\cdot\rangle </math>:

<math display="block"> \begin{alignat}{2} {\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }: \quad & E\times E \longrightarrow \mathbb{R} \\ &(x,y) \longmapsto \displaystyle \langle x |y \rangle \\ \end{alignat}
</math><math>\forall x,y,z \in E\quad\mathcal \forall a ,b \in {\displaystyle \mathbb {R} } </math>

* <math> \langle x|y\rangle=\langle y|x\rangle </math>
* <math> \langle a x+ b y|z\rangle=a \langle x|z\rangle+b \langle y|z\rangle </math>
* <math> \langle x|x\rangle\geq0 </math>
* <math> \langle x|x\rangle=0 \quad\Longleftrightarrow \quad x=0_E </math>

=== تعريف على <math>\mathbb{R}^n</math> ===
الضرب القياسي '''''الاعتيادي''''' لمتجهتين <math> x=(x_1,x_2,...,x_n) </math> و <math> y=(y_1,y_2,...,y_n) </math> من <math>\mathbb{R}^n</math> يعرف ويرمز له بـ <ref>{{استشهاد بكتاب|مسار= https://www.worldcat.org/oclc/192082884|عنوان=Linear algebra|تاريخ=2009|ناشر=McGraw-Hill|ISBN=9780071543521|إصدار=4th ed|مكان=New York|OCLC=192082884|الأخير=Seymour.|الأول=Lipschutz,|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20100112172829/http://www.worldcat.org:80/oclc/192082884|تاريخ أرشيف=2010-01-12}}</ref>

:<math>\langle x|y\rangle=\mathbf{x}\cdot \mathbf{y} := \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n</math>
:على سبيل المثال، في الفضاء ثلاثي الأبعاد <math>\mathbb{R}^3</math>، الضرب القياسي لمتجهين <math>(1,-3,5)</math> و <math>(-1,-2,4)</math> هو :
:<math>(-1,-2,4)\cdot (1,-3,5)=(-1)\times1+(-2)\times(-3)+4\times5=-1+6+20=25</math>

=== تعريف هندسي ===
[[ملف:Scalarproduct.gif|تصغير|230px| الجداء القياسي بين متجهتين تكونان زاوية حادة <math>\theta</math>]]
في [[فضاء إقليدي|الفضاء الإقليدي]]، صيغة أخرى لحاصل الضرب القياسي
:<math>\mathbf{A}\cdot \mathbf{B} = AB \cos \theta</math>
حيث ''A'' هو طول المتجه '''A''' و''B'' هو طول المتجه '''B''' وθ هي [[زاوية (هندسة)|الزاوية]] المحصورة بينهما.

== خصائص ==
# [[عملية تبديلية|تبديلي]] : <math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}.</math>
#: تنبثق هذه الخاصية من تعريف الجداء القياسي (θ هي الزاوية المحصورة بين a وb)
#: <math>\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta = \|\mathbf{b}\|\|\mathbf{a}\|\cos\theta = \mathbf{b}\cdot\mathbf{a} </math>
# [[توزيعية|توزيعي]] على جمع المتجهات : (a.b + a.c = a.(b+c
# [[تعامد (جبر خطي)|تعامدي]] : متجهتان a وb مختلفتان عن الصفر يكونان متعامدتين [[إذا وفقط إذا]] توفر a.b = 0.
# لا [[خاصية الإلغاء|إلغاء]] :

=== تطبيق لقانون الجيب التمام ===
[[ملف:Dot product cosine rule.svg|100px|تصغير|مثلث ضلعاه a وb تفصلهما زاوية θ.]]

{{مفصلة|قانون جيب التمام}}

:<math>
\begin{align}
\mathbf{c}\cdot\mathbf{c} & = (\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}-\mathbf{b}) \\
& =\mathbf{a}\cdot\mathbf{a} - \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} - \mathbf{b}\cdot\mathbf{a} + \mathbf{b}\cdot\mathbf{b}\\
& = a^2 - \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} - \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + b^2\\
& = a^2 - 2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + b^2\\
c^2 & = a^2 + b^2 - 2ab\cos \theta\\
\end{align}
</math>

وهذا هو [[قانون جيب التمام|قانون الجيب التمام]]. وتعبر أيضا عن خاصية الكاشي

== في الفيزياء ==
الجداء القياسي يعبر عن كميات عددية لا علاقة لها برسم شعاع مثل (الجهد، العزم ....)

== تعميمات ==
=== الجداء الداخلي ===
{{مفصلة|فضاء الجداء الداخلي}}

انظر إلى [[فضاء متجهي معياري]].

== انظر أيضا ==
* [[ضرب اتجاهي|ضرب متجهي]]
* [[ضرب المصفوفات]]
* [[جداء ثلاثي]]
* [[متباينة كوشي-شفارز|متراجحة كوشي-شفارز]]
* [[ضرب خارجي (رياضيات)]]
* [[هيرمان غراسمان|هيرمان كراسمان]]

== مراجع ==

{{مراجع}}

== وصلات خارجية ==

{{جبر خطي}}

{{تصنيف كومنز|Scalar product}}

{{مواضيع مهمة في علم الجبر}}
{{شريط بوابات|هندسة رياضية|جبر}}

[[تصنيف:جبر خطي]]
[[تصنيف:زوايا]]
[[تصنيف:عمليات ثنائية]]
[[تصنيف:متجهات]]
[[تصنيف:مقالات تحوي براهين]]
[[تصنيف:موترات]]
[[تصنيف:هندسة تحليلية]]

جداء نقطي - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: بوت: إصلاح أخطاء فحص أرابيكا من 1 إلى 104