عبد العزيز: استبدال وسائط مستغى عنها في الاستشهاد

2023-09-11T19:27:24Z

استبدال وسائط مستغى عنها في الاستشهاد

صفحة جديدة

في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''جداء ثلاثي''' {{إنج|Triple product}} هو حاصل ضرب ثلاثة [[متجه]]ات. وتكون نتيجته إما «جداء ثلاثيا غير متجه» أو «جداء ثلاثيا متجها» وهذا الأخير يحدث نادرا في الفيزياء.

== جداء ثلاثي غير متجه ==
[[ملف:Parallelepiped volume.svg|يسار|تصغير|240px|ثلاثة متجهات تحدد متوازي السطوح .]]

يعرّف الجداء الثلاثي غير المتجه بأنه حاصل ضرب [[جداء نقطي|جداء قياسي]] لأحد المتجهات في [[ضرب اتجاهي|جداء اتجاهي]].

=== التفسير الهندسي ===

التفسير الهندسي للجداء الثلاثي غير متجه

:<math> \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) </math>

هو حجم [[متوازي السطوح]] الممثل بثلاثة [[متجه]]ات.

=== خواصه ===

* لا يتأثر الجداء الثلاثي غير المتجة بالإزاحة الدورانية ويتكون من ثلاثة متجهات ('''a''', '''b''', '''c'''):
::<math>
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=
\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})
</math>

* استبدال المتجهين في [[ضرب اتجاهي|الجداء الاتجاهي]] يعكس إشارة ناتج الجداء الثلاثي:
::<math>
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) =
-\mathbf{a}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{b})
</math>

=== ترميزات مستخدمة أخرى ===
تستخدم بعض الرميزات الأخرى للتعبير عن الضرب الثلاثي غير المتجه مثل:
<math>(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}</math>.

وكذلك: <math>[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} ]</math> و <math>\langle \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \rangle</math>.

=== شرح الخواص ===

عملية الضرب الثلاثي غير المتجه ليست [[عملية تبديلية]]. ولكن قيمته لا تتغير إذا بادلنا المعاملات تبديلا دورانيا:

::<math>
(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a} = (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} </math>.

* ويمكن حساب الجداء الثلاثي بواسطة [[محدد|المحددات]]، فمثلا ينطبق علي المعادلة:

::<math>\vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix},\ \vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix},\ \vec c = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}
</math>

ينطبق عليها أن يكون:

:<math>(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = \det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_ 2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{pmatrix} =
\det\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_ 3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}</math>

ويمكن إثبات ذلك بإجراء الحساب:

* حيث أن [[جداء نقطي|الضرب القياسي]] يكون عملية تبديلية، فنحصل على:

::<math>(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})</math>.

أي باختيار أقواسا مناسبة يمكن تبديل العلامات الحسابية.

* وبعكس التبادل الدوراني ينتج عند إجراء تبادل دوراني مضاد تغيير للإشارة:

::<math>\left( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right) = - \left( \vec{b}, \vec{a}, \vec{c} \right)</math>

* كما أنه نظرا إلى أن <math>\vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}</math> يكون:

::<math>\left( \vec{a}, \vec{a}, \vec{b} \right) = 0</math>

* والضرب في كمية غير متجهة <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> تنتج:

::<math>\left( \alpha \cdot \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right) = \alpha \cdot \left( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right)</math>

وهي عملية تسمى [[عملية تجميعية]].

== جداء ثلاثي متجه ==

يعرف '''الجداء الثلاثي المتجه ''' بإنه [[ضرب اتجاهي]] لمتجه مضروبا في [[ضرب اتجاهي]] آخر. وتنطبق عليه القاعدة التالية:

:<math>\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}</math>
:<math>(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c} = -\mathbf{c}\times(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = -(\mathbf{c}\cdot\mathbf{b})\mathbf{a} + (\mathbf{c}\cdot\mathbf{a})\mathbf{b}</math> .

تعرف المعادلة الأولى بأنها «معادلة لاجرانج» أو «الضرب الثلاثي الممتد»
<ref>[[جوزيف لوي لاغرانج]] did not develop the cross product as an algebraic product on vectors, but did use an equivalent form of it in components: see {{استشهاد بكتاب|مؤلف=Lagrange, J-L|عنوان=Oeuvres|المجلد=vol 3|الفصل=Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires|سنة=1773}} He may have written a formula similar to the triple product expansion in component form. See also [[Lagrange's identity]] and {{استشهاد بكتاب|مؤلف=[[كيوشي إيتو]]|عنوان=Encyclopedic Dictionary of Mathematics|سنة=1987|ردمك=0-262-59020-4|ناشر=MIT Press|صفحة=1679}}</ref><ref name=Itô>
{{استشهاد بكتاب |عنوان=Encyclopedic dictionary of mathematics |مؤلف=[[كيوشي إيتو]] |صفحة=1679 |الفصل=§C: Vector product |مسار=http://books.google.com/books?id=azS2ktxrz3EC&pg=PA1679 |ردمك=0-262-59020-4 |إصدار=2nd |ناشر=MIT Press |سنة=1993| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20141031202917/http://books.google.com/books?id=azS2ktxrz3EC | تاريخ أرشيف = 31 أكتوبر 2014 }}</ref>

ويمكن تذكر الجزء الأيمن من المعادلة بالترميز "BAC - CAB" مع تذكر أي متجهات تكون فيها عملية [[جداء نقطي|الضرب قياسية]] (علامة الضرب «النقطية»).

ولإثبات ذلك نبدأ بالمعادلات التي تسهل حسابات المتجهات في [[فيزياء|الفيزياء]]. ومن ضمنها معادلات [[تدرج|التدرج]] - مثل تدرج مجال مغناطيسي أو تدرج درجات الحرارة وهي تدرجات تنتسب إلى تغير المكان - وتسهل حسابات المتجهات:
<ref name= Lin>
{{استشهاد بكتاب |عنوان=Numerical Modelling of Water Waves: An Introduction to Engineers and Scientists |مؤلف=Pengzhi Lin |صفحة=13 |مسار=http://books.google.com/books?id=x6ALwaliu5YC&pg=PA13 |ردمك=0-415-41578-0 |سنة=2008 |ناشر=Routledge| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20161202085337/https://books.google.com/books?id=x6ALwaliu5YC&pg=PA13&hl=en | تاريخ أرشيف = 2 ديسمبر 2016 }}</ref>

:<math> \begin{align}
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{f})
& {}= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{f})
- (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f} \\
& {}= \mbox{grad }(\mbox{div } \mathbf{f} )
- \nabla^2 \mathbf{f}.
\end{align} </math>

حيث <math>\Delta </math> هي [[مؤثر لابلاس]].

== انظر أيضا ==
* [[ضرب اتجاهي]]
* [[جداء نقطي|ضرب قياسي]]
* [[ضرب المصفوفات]]
* [[جداء ديكارتي|ضرب ديكارتي]]
* [[جداء مباشر]]

== مراجع ==
{{مراجع}}

== وصلات خارجية ==
{{شريط بوابات|رياضيات|جبر}}

[[تصنيف:جبر خطي]]
[[تصنيف:جبر متعدد الخطية]]
[[تصنيف:حجم]]
[[تصنيف:حساب المتجهات]]
[[تصنيف:عمليات ثنائية]]
[[تصنيف:متجهات]]
[[تصنيف:محددات]]
[[تصنيف:هندسة تحليلية]]

جداء ثلاثي - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: استبدال وسائط مستغى عنها في الاستشهاد