عبد العزيز: بوت:صيانة المراجع

2023-01-24T02:32:50Z

بوت:صيانة المراجع

صفحة جديدة

في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''الجُدَاءُ''' {{إنج|Product}} هو نتيجةُ عمليةِ [[ضرب|ضربِ]] [[مقدار (رياضيات)|كميتينِ]].<ref>{{استشهاد بكتاب|الأخير1=Moschovakis|الأول1=Yiannis|عنوان=Notes on set theory|سنة=2006|مسار=https://archive.org/details/notesonsettheory00mosc_837|تاريخ=2006|ناشر=Springer|مكان=New York|isbn=0387316094|صفحة=[https://archive.org/details/notesonsettheory00mosc_837/page/n24 13]|إصدار=2nd}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب|الأخير1=Boothby|الأول1=William M.|عنوان=An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry|مسار=https://archive.org/details/introductiontodi00unkn_226|تاريخ=1986|ناشر=Academic Press|مكان=Orlando|isbn=0080874398|صفحة=[https://archive.org/details/introductiontodi00unkn_226/page/n214 200]|إصدار=2nd}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب|الأخير1=Clarke|الأول1=Francis|عنوان=Functional analysis, calculus of variations and optimal control|سنة=2013|مسار=https://archive.org/details/functionalanalys00clar|تاريخ=2013|ناشر=Springer|مكان=Dordrecht|isbn=1447148207|صفحات=[https://archive.org/details/functionalanalys00clar/page/n21 9]–10}}</ref> الترتيب الذي تأتي فيه [[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]] أو [[عدد مركب|العقدية]] في عملية الضرب ليس له تأثير على قيمة الجداء. هذه الخاصية تعني أن عملية الضرب هي [[عملية تبديلية]].

== جداء عددين ==
=== جداء عددين طبيعيين ===
[[ملف:Three by Four.svg|تصغير|3 في 4 تساوي 12]]

وضع عدد من الكرات على شكل مستطيل عدد أسطره <math>r</math> وعدد أعمدته <math>s</math> يعطي :
:<math> r \cdot s = \sum_{i=1}^s r = \sum_{j=1}^r s </math>
كرة.

=== جداء عددين صحيحين ===
:<math>\begin{array}{|c|c c|}\hline
\cdot & - & + \\ \hline
- & + & - \\
+ & - & + \\ \hline
\end{array}
</math>

وبتعبير آخر:
* جداء عددين سالبين يساوي عددا موجبا.
* جداء عدد سالب وعدد موجب يساوي عددا سالبا.
* جداء عدد موجب وعدد سالب يساوي عدد سالبا.
* جداء عددين موجبين يساوي عددا موجبا.

=== جداء كسرين ===
جداء كسرين هو كسر بسطه يساوي جداء بسط الكسرين ومقامه يساوي جداء مقام الكسرين، كما تبين ذلك الصيغة التالية:
:<math> \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'}</math>

=== جداء عددين حقيقيين ===
=== جداء عددين عقديين ===
يحسب جداء عددين عقديين باستعمال قانون التوزيعية وبعلم كون <math>\mathrm i^2=-1</math> كما تبين ذلك الصيغة التالية:

:<math>\begin{align}
(a + b\,\mathrm i)\cdot (c+d\,\mathrm i)
& = a\cdot c + a \cdot d\,\mathrm i + b\cdot c \,\mathrm i + b\cdot d \cdot \mathrm i^2\\
& = (a \cdot c - b\cdot d) + (a\cdot d + b\cdot c) \,\mathrm i
\end{align}</math>
==== المعنى الهندسي لجداء عددين عقديين ====
[[ملف:Gaussplane kartesianAndPolar.png|تصغير|عدد عقدي في تمثيله القطبي.]]
يمكن أن تكتب الأعداد العقدية في [[نظام إحداثي قطبي|النظام الإحداثي القطبي]] كما يلي:
:<math> a + b\,\mathrm i = r \cdot ( \cos(\varphi) + \mathrm i \sin(\varphi) ) = r \cdot \mathrm e ^{\mathrm i \varphi} </math>
وبالإضافة إلى ذلك،
:<math> c + d\,\mathrm i = s \cdot ( \cos(\psi) + \mathrm i \sin(\psi) ) = s \cdot \mathrm e ^{\mathrm i \psi} </math>, ومن ذلك يحصل على ما يلي:
:<math> (a \cdot c - b\cdot d) + (a\cdot d + b\cdot c) \,\mathrm i = r\cdot s \cdot ( \cos(\varphi+\psi) + \mathrm i \sin(\varphi+\psi) ) = r\cdot s \cdot \mathrm e ^{\mathrm i (\varphi+\psi)} </math>

المعنى الهندسي لجداء عددين عقديين هو جداء معياريهما وجمع [[عمدة عدد مركب|عمدتيهما]].

== الجداءات في الجبر الخطي ==
=== الجداء القياسي ===
{{مفصلة|جداء نقطي}}
[[جداء نقطي|جداء قياسي]] هو تطبيق ثنائي الخطية:

:<math> \cdot : V \times V \rightarrow \R </math>

بالشروط التالية، <math> v\cdot v > 0</math> من أجل كل <math> 0 \not= v \in V </math>.

من الجداء القياسي، يمكننا تحديد [[معيار (رياضيات)|معيار]] بجعل <math>\|v\| := \sqrt{v\cdot v} </math>.

الجداء القياسي يمكن أيضا من تعريف الزاوية المحصورة بين متجهتين كما يلي:

:<math> \cos \angle (v,w) = \frac{v\cdot w}{\|v\| \cdot \|w\|} </math>

في فضاء إقليدي بُعده <math>n</math>، الجداء القياسي الاعتيادي (يسمى ببساطة [[جداء نقطي|جداءا قياسيا]]) يعطى بالصيغة التالية:

:<math> \left(\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i \right) \cdot \left(\sum_{i=1}^n \beta_i e_i \right) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\,\beta_i </math>

=== الجداء الاتجاهي في الفضاء ثلاثي الأبعاد ===
{{مفصلة|ضرب اتجاهي}}

=== جداء مصفوفتين ===
لتكن المصفوفتين

:<math> A = (a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r} \in \R^{s\times r}</math> و <math> B = (b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \R^{r\times t}</math>

جذاؤهما هو:

:<math> B \cdot A = \left( \sum_{j=1}^r a_{i,j} \cdot b_{j,k} \right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t} \;\in\R^{s\times t} </math>

=== تركيب دالتين خطيتين ممثلا بجداء مصفوفتين ===

== جداء متتالية ==
يرمز إلى الجداء الخاص بجداء متتالية بواسطة الحرف اليوناني الكبير [[باي (حرف يوناني)|پي]] <math>\prod</math> (قياسا على استخدام الحرف الكبير [[سيغما]] <math>\sum</math> رمزًا [[مجموع (علم الحساب)|للمجموع]]). جداء متتالية يتكون من رقم واحد هو فقط الرقم نفسه. يُعرف الجداء بدون أي عامل ب{{وإو|تر=Empty product|عر=جداء خالي|نص=الجداء الخالي}}، ويساوي 1.

مثال على جداء المتتالية: <math>\prod_{i=1}^N u_i = u_1 \times u_2 \times \cdots \times u_N</math>

== جداءات أخرى ==
هناك العديد من أنواع الجداءات الأخرى اللائي يدرسن في الرياضيات:
* [[جداء هادامار (مصفوفات)|جداء هادامار]]،
* [[جداء كرونكر]].
* [[جداء الداخل]]
* [[جداء الخارج]]
* [[جداء عقدي]]، نظرية حول المنحنيات الإهليلجية.

== انظر أيضا ==
* [[باي (حرف يوناني)|بي (حرف)]].

== مراجع ==
{{مراجع}}

== وصلات خارجية ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Product.html الجداء] في [[موقع ماثوورلد]]
{{شريط بوابات|رياضيات}}

[[تصنيف:ضرب]]

جداء - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: بوت:صيانة المراجع