عبد العزيز: /* تطبيقات */ تعديل طفيف

2023-10-07T02:56:05Z

تطبيقات: تعديل طفيف

صفحة جديدة

{{بطاقة عامة}}
[[ملف:Linear subspaces with shading.svg|تصغير|250px|يسار|[[فضاء إقليدي|الفضاء الإقليدي]] الثلاثي الأبعاد '''R'''3 هو فضاء متجهي، والمستقيمات والمستويات المارة من [[أصل (رياضيات)|نقطة المركز]] هي في حد ذاتها فضاءات متجهية جزئية في '''R'''3.]]

''' الجبر الخطي''' {{إنج|Linear algebra}} هو فرع من [[رياضيات|الرياضيات]] يهتم بدراسة [[فضاء متجهي|الفضاءات المتجهية]] (أَو الفضاءات الخطية) و[[تحويل خطي|التحويلات الخطية]] و[[نظام معادلات خطية|النظم الخطية]].<ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=الجبر|مسار= https://books.google.com.ly/books?id=aK9TDwAAQBAJ&lpg=PA6&dq=%D8%A7%D9%84%D8%AC%D8%A8%D8%B1%20%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%A8%D8%AA%D8%AF%D8%A7%D8%A6%D9%8A&hl=ar&pg=PA6#v=onepage&q&f=false|ناشر=Al Manhal|تاريخ=2009-01-01|ISBN=9796500139340|لغة=ar|الأول=عادل نسيم|الأخير=أديب|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200126050445/https://books.google.com.ly/books?id=aK9TDwAAQBAJ&lpg=PA6&dq=%D8%A7%D9%84%D8%AC%D8%A8%D8%B1%20%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%A8%D8%AA%D8%AF%D8%A7%D8%A6%D9%8A&hl=ar&pg=PA6#v=onepage&q&f=false|تاريخ أرشيف=2020-01-26}}</ref>

تُشكل الفضاءات المتجهية موضوعاً مركزياً في [[رياضيات|الرياضيات]] الحديثة؛ لذا يُستعمل [[جبر|الجبر]] الخطي كثيراً في كلا من [[جبر مجرد|الجبر المجرد]] و[[تحليل دالي|التحليل الدالي]]. للجبر الخطي أيضاً أهمية في [[هندسة تحليلية|الهندسة التحليلية]]. كما أن له تطبيقات شاملة في [[علوم طبيعية|العلوم الطبيعية]] و[[علوم اجتماعية|العلوم الاجتماعية]].

== التاريخ ==
يعتبر [[محمد بن موسى الخوارزمي|أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي]] مؤسس علم [[جبر|الجبر]] حيث عرض في كتابه '''''حساب الجبر والمقابلة''''' أو '''''الجبر''''' أول حل منهجي للمعادلات الخطية والتربيعية.

'''''المختصر في حساب الجبر والمقابلة''''' هو كتاب رياضي كتب حوالي عام 830 م. ومصطلح الجبر مشتق من اسم إحدى العمليات الأساسية مع المعادلات التي وصفت في هذا الكتاب. ترجم الكتابَ إلى اللاتينية تحت عنوان ''Liber algebrae et almucabala''، [[روبرت أوف تشستر|روبرت تشستر]] (سيغوفيا، 1145)، وأيضا ترجمه [[جيراردو الكريموني]]. وتوجد نسخة عربية فريدة محفوظة في أوكسفورد ترجمها عام 1831 [[فريدريك أوقست روزين|إف روزين]]. وتوجد ترجمة لاتينية محفوظة في كامبريج.

انبثقت دراسة الجبر الخطي لأول مرة من دراسة [[محدد|المحددات]]، التي كانت تُستعمل في حلحلة نظم [[معادلة خطية|المعادلات الخطية]]. استعملت المحددات من طرف [[غوتفريد لايبنتس|لايبنز]] في عام 1693، وفيما بعد، استخلص [[غابرييل كرامر]] [[قاعدة كرامر]] التي تمكن من حل الأنظمة الخطية. كان ذلك عام 1750. بعد ذلك، عمل [[كارل فريدريش غاوس|غاوس]] في نظرية حلحلة الأنظمة الخطية باستعمال طريقة [[حذف غاوسي|الحذف الغاوسي]]، التي نُظر إليها في البداية تطورا في [[علم تقسيم الأرض|الجيوديسيا]].

ظهرت دراسة المصفوفات لأول مرة في إنجلترا، وكان ذلك في بدايات القرن التاسع عشر. في عام 1848، أبدع [[جيمس جوزيف سيلفستر]] مصطلح ''Matrix'' (''ماتريكس'' والتي تترجم إلى [[اللغة العربية]] بمصفوفة). مصطلح ''Matrix'' يعني [[اللغة اللاتينية|باللغة اللاتينية]] الرّحِم. عندما كان عالم الرياضيات [[آرثر كيلي|أرثور كايلي]] يدرس تركيبات التحويلات الخطية، أدى به ذلك إلى تعريف [[ضرب المصفوفات]] وإلى تعريف [[مصفوفة قابلة للعكس|معكوس مصفوفة]] ما. كما وجد أيضا العلاقة التي تربط المصفوفات ب[[محدد|المحددات]]. وفي سنة 1882، ألف عالم الرياضيات العثماني [[حسين توفيق باشا]] كتابًا سماه «الجبر الخطي».<ref name="Tevfik">Archive.org: [https://archive.org/details/linearalgebra00tevfgoog Linear Algebra, by Hussein Tevfik] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171103120826/https://archive.org/details/linearalgebra00tevfgoog |date=03 نوفمبر 2017}}</ref>

مؤخرا، وجد [[علم الصينيات|عالم الصينيات]] الأمريكي [[روجر هارت]] أن علماء الرياضيات الصينيين وجدوا طريقة مكافئة بشكل أساسي، لحل الأنظمة المكونة من n معادلة والمحتوية على n مجهول في الجبر العصري، ألف سنة قبل الغرب.

== مجال الدراسة ==
=== الفضاءات المتجهية ===
تعتبر [[فضاء متجهي|الفضاءات المتجهية]] من بين أهم البنى اللائي يدرسهن الجبر الخطي. فضاء متجهي على [[حقل (رياضيات)|حقل]] ما يرمز إليه ب F هو [[مجموعة (رياضيات)|مجموعة]] V أُضيفت إليها [[عملية ثنائية|عمليتان ثنائيتان]] اثنتان. تسمى [[عنصر (رياضيات)|عناصر]] V متجهات وقد تسمى عناصر F قياسات. العملية الأولى هي [[متجه#جمع المتجهات وطرحها|جمع المتجهات]]. تأخذ هاته العملية مدخلين لها متجهين v و w وتعطي متجه ثالث يُرمز إليه ب '''v + w'''. أما العملية الثانية، فتأخذ مدخلين لها عددا قياسياً ما a (أي عنصرا من F) و متجه ما v وتعطي متجهة جديد يُرمز إليه ب '''av'''. قد تسمى العملية الثانية ''[[جداء عددي]]ا'' أو ''ضرباً عدديا'' للمتجهة v بالعدد a. (مَيز عن [[جداء نقطي|الجداء القياسي]] الذي يأخذ مدخلين له متجهتين اثنتين ويعطي عددا).

تحقق عمليتا الجمع والضرب في فضاء متجهي ما [[مسلمة (فلسفة)|الموضوعات]] التالية. فيما يلي، u و v و w ثلاث متجهات من V و a و b عنصران من F.

{| border="0" style="width:100%;"
|-
| '''الموضوعة''' ||'''المعنى'''
|-
| [[عملية تجميعية|تجميعية]] الجمع || ''u'' + (''v'' + ''w'') = (''u'' + ''v'') + ''w''
|- style="background:#F8F4FF;"
| [[عملية تبديلية|تبادلية]] الجمع || ''u'' + ''v'' = ''v'' + ''u''
|-
| وجود [[عنصر محايد|العنصر المحايد]] في الجمع || يوجد عنصر 0 ∈ ''V'', يسمى ''[[متجهة منعدمة|المتجهة المنعدمة]]'', حيث ''v'' + 0 = ''v'' مهما كان ''v'' ∈ ''V''.
|- style="background:#F8F4FF;"
| وجود [[عنصر معاكس|العنصر المعاكس]] في الجمع || مهما كان ''v'' ∈ V, يوجد عنصر −''v'' ∈ ''V'', يسمى ''[[معكوس جمعي|معاكس جمعي]]'' ''v'', حيث ''v'' + (−''v'') = 0
|-
| [[توزيعية]] ضرب عدد حقيقي في مجموع متجهات || ''a''(''u'' + ''v'') = ''au'' + ''av''
|- style="background:#F8F4FF;"
| توزيعية ضرب مجموع عددين في متجهة ما || (''a'' + ''b'')''v'' = ''av'' + ''bv''
|-
| التناسق بين الجداء القياسي والجداء المعرف داخل الحقلF . || ''a''(''bv'') = (''ab'')''v'' <ref group=nb>هاته الموضوعة لا تنص على تجميعية عملية ما, بما أن هناك عمليتان in question, في الجداء القياسي: ''bv''; and field multiplication: ''ab''.</ref>
|- style="background:#F8F4FF;"
| العنصر المحايد في الجداء القياسي || 1''v'' = ''v'', حيث 1 يشير إلى [[1 (عدد)|المطابق الجدائي]] في '''F'''.
|}

قد تكون عناصر فضاء متجهي عام V كائنات بطبيعات مختلفة. على سبيل المثال، قد تكون [[دالة|دوالا]] أو [[متعددة الحدود|متعددات حدود]] أو متجهات أو مصفوفات. يدرس الجبر الخطي الخصائص المشتركة بين جميع الفضاءات المتجهية.

=== القيم الذاتية والمتجهات الذاتية ===
إذا كان ''v'' متجه غير منعدم وكان ''Tv'' يساوي ''v'' مضروبة في عدد ما، فإن المستقيم المار من الصفر ومن ''v'' هو [[مجموعة ثابتة]] تحت التطبيق T (أي أن صورتها بالتطبيق T تبقى ضمنها). في هذه الحالة، يسمى ''v'' [[قيم ذاتية ومتجهات ذاتية|متجه ذاتي]] ل T. العدد λ حيث ''Tv = λv'' يسمى [[قيم ذاتية ومتجهات ذاتية|قيمة ذاتية]] ل T.

من أجل ايجاد المتجهات الذاتية والقيم الذاتية، يُبتدأ بما يلي:
:<math>Tv-\lambda v=(T-\lambda \text{Id})v=0,</math>
حيث Id هي [[مصفوفة الوحدة]]. من أجل حل هاته المعادلة، ينبغي حل المعادلة <math>\det(T-\lambda Id)=0</math>. [[محدد|دالة المحدد]] هي [[متعددة الحدود|متعددة حدود]]. إذن، فإنه من الممكن عدم إيجاد حلول للمعادلة السابقة الذكر إذا كان العدد ''λ'' ينتمي إلى المجموعة <math> \mathbb R </math>. ولهذا السبب، تدرس الفضاءات المتجهية عادة في [[حقل مغلق جبريا|حقول مغلقة جبريا]]، [[عدد مركب|مجموعة الأعداد العقدية]] مثالا.

=== التحويلات الخطية ===
يقال عن تحويل <math> T:V \to W </math> أنه تحويل خطي إذا كان يستوفي الشرطين الآتيين :
: <math> T(u+v)=T(u)+T(v), \quad T(av)=aT(v) </math>
لكل متجهين v و u في <math> V </math>

=== نظرية المصفوفات ===
{{مفصلة|مصفوفة}}

=== الفضاءات المعرف عليها جداء داخلي ===
بشكل رسمي، ''جداء داخلي'' هو تطبيق
:<math> \langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbf{F} </math>
يحقق [[مسلمة (فلسفة)|الموضوعات]] الثلاثة الآتية بالنسبة إلى كل ثلاث متجهات u و v و w في V وبالنسبة إلى كل عدد a من F:
* التماثل [[مرافق عدد مركب|المرافق]]:
::<math>\langle u,v\rangle =\overline{\langle v,u\rangle}.</math>
لاحظ أن هاته النقطة صحيحة عندما يكون F هو مجموعة [[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]] R.
* [[خطية|الخطية]] لدى المدخل الأول:
::<math>\langle au,v\rangle= a \langle u,v\rangle.</math>
::<math>\langle u+v,w\rangle= \langle u,w\rangle+ \langle v,w\rangle.</math>
* كونها موجبة عند تساوي المدخلين:
::<math>\langle v,v\rangle \geq 0</math> مع تحقق التساوي فقط حين يساوي ''v'' صفرا.

== تطبيقات ==
=== حل المعادلات الخطية ===
{{مفصلة|نظام معادلات خطية}}

مجموعة المعادلات الخطية ذات العدد المحدود من المتغيرات مثل {{تعبير رياضي|''x''1, ''x''2, ..., ''xn''}} ، أو {{تعبير رياضي|''x'', ''y'', ..., ''z''}} تسمى '''نظام المعادلات الخطية''' أو '''النظام الخطي'''.<ref>{{Harvard citation text|Anton|1987}}</ref><ref>{{Harvard citation text|Beauregard|Fraleigh|1973}}</ref><ref>{{Harvard citation text|Burden|Faires|1993}}</ref><ref>{{Harvard citation text|Golub|Van Loan|1996}}</ref><ref>{{Harvard citation text|Harper|1976}}</ref>

وتشكل أنظمة المعادلات الخطية جزءًا أساسيًا من الجبر الخطي. تاريخيًا ساهم البحث عن حل لهذه المعادلات في تطوير الجبر الخطي و<nowiki/>[[مصفوفة (رياضيات)|المصفوفات]]. في الترميز الحديث للجبر الخطي الذي يستخدم [[فضاء متجهي|فضاءات المتجهات]] والمصفوفات، يمكن التعامل مع العديد من المسائل على أنها أنظمة خطية.

كمثال: إذا كانت المعادلات التالية{{NumBlk|:|<math>\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 8 \\
-3x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& -11 \\
-2x &&\; + \;&& y &&\; +\;&& 2z &&\; = \;&& -3
\end{alignat}</math>|{{EquationRef|S}}}}نظام خطي.

لهذا النظام، يمكن للمرء أن يمثل معاملاته بالمصفوفة التالية

: <math>M = \left[\begin{array}{rrr}
2 & 1 & -1\\
-3 & -1 & 2 \\
-2 & 1 & 2
\end{array}\right].
</math>

وناتِجه بالمتجه التالي

: <math>\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 8\\-11\\-3 \end{bmatrix}. </math>

بفرض أن {{Mvar|T}} هو التحويل الخطي المرتبط بالمصفوفة {{Mvar|M}} فإن حل النظام ( S ) هو المتجه

: <math>\mathbf{X}=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}</math>

بحيث أن

: <math>T(\mathbf{X}) = \mathbf{v},</math>

وقيم {{Mvar|X}} هي المطلوبة وهي عبارة عن [[صورة (رياضيات)|الصورة العكسية]] لـ {{Mvar|v}} في التحويل الخطي {{Mvar|T}}

بفرض أن ('''S′''') هو [[نظام معادلات خطية|نظام متجانس]] مرتبط بالنظام أعلاه، بحيث أن قيم الجانب الأيمن من معادلاته هي الصفر:{{NumBlk|:|<math>\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 0 \\
-3x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
-2x &&\; + \;&& y &&\; +\;&& 2z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}</math>|{{EquationRef|S′}}}}حلول (S′) هي بالضبط عناصر [[نواة (جبر خطي)|نواة]] التحويل الخطي {{Mvar|T}} أو بالمساواة عناصر نواة المصفوفة {{Mvar|M}}

[[حذف غاوسي|الحذف الغاوسي]] يتضمن إجراء [[مصفوفة أولية|عمليات صف أولية]] على [[مصفوفة ممتدة|المصفوفة الممتدة]]

: <math>\left[\!\begin{array}{c|c}M&\mathbf{v}\end{array}\!\right] = \left[\begin{array}{rrr|r}
2 & 1 & -1&8\\
-3 & -1 & 2&-11 \\
-2 & 1 & 2&-3
\end{array}\right]
</math>

لتحويلها لشكل دَرَجِي صفي مخفض (Reduced row echelon form). عمليات الصف هذه لا تغير مجموعة حلول نظام المعادلات. في المثال، شكل الدَرَجْ المختزل هو

: <math>\left[\!\begin{array}{c|c}M&\mathbf{v}\end{array}\!\right] = \left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 0 & 0&2\\
0 & 1 & 0&3 \\
0 & 0 & 1&-1
\end{array}\right],
</math>

ومنه نرى أن النظام ('''S''') له الحل الفريد التالي

: <math>\begin{align}x&=2\\y&=3\\z&=-1.\end{align}</math>

وبسبب استخدامنا لهذا الشكل المصفوفي لوصف الأنظمة الخطية فبالتبعية يمكننا تطبيق نفس الأساليب لحل الأنظمة الخطية ولعمليات أخرى عديدة على المصفوفات والتحويلات الخطية، مثل حساب [[رتبة (جبر خطي)|رتبة]] المصفوفة وحساب [[نواة (جبر خطي)|النواة]] [[مصفوفة قابلة للعكس|وعكس المصفوفة]].

طالع [[مصفوفة مثلثية]].

== مقدمة ==
بدأ [[جبر|الجبر]] الخطي بدراسة المتجهات في [[نظام إحداثي ديكارتي|الفضاءات الديكارتية]] ثنائية وثلاثية الأبعاد. ويمثل المتجه هنا [[قطعة مستقيمة]] موجهة تتميز بكلا من طولها (شدتها) واتجاهها. يمكن أن تستعمل المتجهات لتمثيل [[كمية فيزيائية|كميات فيزيائية]] مثل القوى، كما يمكن أن تطبق عليها عمليات [[جمع|الجمع]] [[طرح|والطرح]] و[[ضرب|الضرب]] (بأنواعه : الداخلي والخارجي) وبهذا شكلت أول مثال عن [[فضاء متجهي|الفضاء الشعاعي]] الحقيقي.

تمدد الجبر الخطي الحديث ليأخذ في الاعتبار فضاءات ذات أبعاد لا نهائية. يمكن دراسة [[فضاء متجهي|فضاء شعاعي]] به نون (n) من الأبعاد ويدعى الفضاء النوني. يمكن التوسع في استخدام معظم النتائج التي نتجت عن دراسة الفضاءات [[فضاء ثنائي الأبعاد|ثنائية]] و[[فضاء ثلاثي الأبعاد|ثلاثية الأبعاد]] بالنسبة للفضاءات الأكثر أبعادًا.

يصعب غالبا تخيل أشعة نونية البعد لكن مثل هذه الأشعة يمكن اعتبارها مجموعات [[مرتبة نونية]] مفيدة في تمثيل البيانات التي يُراد معالجتها في الكثير من العلوم. فالأشعة قائمة عناصر (مكونات) مرتبة، من الممكن تلخيص ومعالجة البيانات بشكل فعال ضمن هذا الأسلوب [[تجريد|التجريدي]] من المعالجات.
مثلا في علم [[اقتصاد|الاقتصاد]]، يمكن للمرء أن يستعمل فضاءات شعاعية ثمانية الأبعاد أي مجموعات مرتبة ثمانية (8-tuples) ليمثل [[ناتج قومي إجمالي|الناتج القومي]] الأعلى لثمانية بلدان مختلفة. فيمثل الناتج القومي الأعظم لبلدان ثمانية بشكل مجموعة مرتبة مثلا : (v1، v2، v3، v4، v5، v6، v7، v8).

وبالنسبة للفضاء الشعاعي أو الفضاء الخطي مصطلحًا تجريديًا فيمكن صياغة [[مبرهنة|مبرهنات]] حوله، حيث يمكن اعتباره قسما من [[جبر|الجبر]] التجريدي حيث ينسجم تماما مع ذلك الفرع من الدراسة. من أمثلة ذلك: زمرة ال[[مصفوفة (توضيح)|مصفوفات]] وحلقة الخرائط الخطية للفضاء الشعاعي.
ومن أهم ما يُدرس خلاله هو
# المتجهات في <math> \mathbb R^n </math> و<math> \mathbb C^n </math>.
# جبر المصفوفات.
# المصفوفات المربعة.
# البنى الجبرية.
# الفضاءات والفضاءات الجزئية المتجهية.
# الترابط الخطي، القاعدة، [[بعد|البُعد]].
# التطبيقات.
# التطبيقات الخطية.
# فضاءات التطبيقات الخطية.
# المصفوفات والتطبيقات الخطية.
# تغيير القاعدة، والتشابه.
# [[تعامد (هندسة)|التعامد]] والتقطير.
# [[حد (رياضيات)|الحدوديات]] فوق حقل.
# الأشكال القانونية.
# الداليات الخطية، والفضاء الثنوي.
# الأشكال الخطانية(ثنائية الخطية)والتربيعية والهرميتية.
# المؤثرات الخطية على فضاءات الجداء الداخلي.
# تطبيقات في [[هندسة|الهندسة]] والحسبان.

== انظر أيضاً ==
* [[قائمة المواضيع المتعلقة بالجبر الخطي|لائحة المواضيع المتعلقة بالجبر الخطي]]
* [[جبر خطي عددي]]
* [[قيم ذاتية ومتجهات ذاتية|القيم الذاتية والمتجهات الذاتية]]
* [[دالة تحويل|مصفوفة تحويل]]
* [[طريقة التبسيط (برمجة)]]
* [[انحدار خطي]]، طريقة تستعمل في التقدير الإحصائي.

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{مراجع|مجموعة=nb}}

== وصلات خارجية ==

* [http://joshua.smcvt.edu/linalg.html/ الجبر الخطي]، جيم هيفرون، كتاب على النت
* [http://www.math.odu.edu/~bogacki/lat/ أدوات الجبر الخطي].
* [http://www.algebra.com/algebra/college/linear/ الجبر الخطي].
* [http://mathworld.wolfram.com/topics/LinearAlgebra.html الجبر الخطي] في موقع ماث وورلد.
* [http://www.mathlinks.ro/Forum/index.php?f=346 مسائل محلولة في الجبر الخطي]: منتدى نقاش حول الجبر الخطي مع مسائل من المستوى السهل إلى الأصعب.
* [http://www.math.miami.edu/~ec/book/ عناصر الجبر الخطي والتجريدي]: كتاب مجاني من إدوين كورنيلي.

{{روابط شقيقة}}
ٍٍ{{جبر خطي}}
{{بنية رياضية}}
{{رياضيات}}
{{فروع الرياضيات}}
{{فضاء رياضي}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|رياضيات|جبر}}

[[تصنيف:جبر خطي| ]]
[[تصنيف:تحليل عددي]]

جبر خطي - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: /* تطبيقات */ تعديل طفيف