https://3rabica.org/index.php?action=history&feed=atom&title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%B3%D8%B7%D8%ADتكامل سطح - تاريخ المراجعة2026-06-12T07:43:25Zتاريخ التعديل لهذه الصفحة في الويكيMediaWiki 1.43.7https://3rabica.org/index.php?title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%B3%D8%B7%D8%AD&diff=1415042&oldid=prevعبد العزيز: بوت: إصلاح التحويلات2022-12-12T04:57:44Z<p>بوت: إصلاح التحويلات</p>
<p><b>صفحة جديدة</b></p><div>{{تفاضل وتكامل}}<br />
'''التكامل السطحي''' في علم [[رياضيات|الرياضيات]] هو [[تكامل|تكامل محدود]] مأخوذ على سطح جسم، يمكن النظر اليه ك[[تكامل متعدد|تكامل ثنائي]] تماثلي [[تكامل خط|للتكامل الخطي]].<ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://zthiztegia.elhuyar.eus/kontzeptua/133761 | عنوان = معلومات عن تكامل سطحي على موقع zthiztegia.elhuyar.eus | ناشر = zthiztegia.elhuyar.eus|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191215075725/https://zthiztegia.elhuyar.eus/kontzeptua/133761|تاريخ أرشيف=2019-12-15}}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://bigenc.ru/mathematics/text/3147851 | عنوان = معلومات عن تكامل سطحي على موقع bigenc.ru | ناشر = bigenc.ru|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191215075732/https://bigenc.ru/text/3147851|تاريخ أرشيف=2019-12-15}}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://www.jstor.org/topic/surface-integrals | عنوان = معلومات عن تكامل سطحي على موقع jstor.org | ناشر = jstor.org| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200109161534/https://www.jstor.org/topic/surface-integrals/ | تاريخ أرشيف = 9 يناير 2020 }}</ref><br />
للتكامل الخطي تطبيقات عدة خاصة في مجال [[كهرومغناطيسية|الكهرومغناطيسيات]].<br />
<br />
[[ملف:Surface integral illustration.svg|تصغير|تعريف التكامل السطحي يعتمد على تقسيم السطح لأجزاء متناهية في الصغر.]]<br />
[[ملف:Surface integral1.svg|تصغير|مثال توضيحي لعنصر سطحي مفرد. تكون العناصر متناهير في الصغر بحيث يمكن تقريبه كسطح.]]<br />
<br />
== التكامل السطحي للمجالات القياسية ==<br />
<br />
لنعتبر السطح ''S'' والذي عليه يعرف عليه مجال قياسي ''f''. لو تخيلنا السطح ''S'' قد صنع من [[مادة]] ما، ولكل نقطة '''x''' فيه تكون قيمة ''f''('''x''') هي [[كثافة]] المادة عند '''x''', وعليه يكون التكامل السطحي لـ''f'' على السطح ''S'' هو كتلة المادة لكل وحدة سماكة من ''S'',بالطبع شريطة أن يكون السمك متناهي في النحافة.<br />
تكمن إحدى الطرق في حساب التكامل السطحي بأن يتم تقسيم السطح إلى قطع صغيرة جدا بحيث يمكن فرض كل قطعة صغيرة ثابتة الكثافة ومن ثم تحسب الكتلة لوحدة السماكة في كل قطعة بضرب الكثافة بمساحة القطعة، وأخيرا تجمع القيم للحصول على الكتلة الكلية.<br />
<br />
لإيجاد صيغة واضحة للتكامل السطحي ينبغي التفكير في [[نظام إحداثي]]ات مناسب تماما مثل نظام [[احداثيات الطول والعرض]] على [[كرة|الكرة]]. ليكن نظام الاحداثيات المختار هو '''x'''(''s'', ''t''), حيث (''s'', ''t'') متغيرة في منطقة ما ''T'' في [[نظام إحداثي ديكارتي|الاحداثيات الكارتيزية]]. حينئذ يعطى التكامل السطحي بالعلاقة:<br />
<br />
:<math><br />
\int_S f \,dS <br />
= \iint_T f(\mathbf{x}(s, t)) \left|{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right| ds\, dt<br />
</math><br />
<br />
حيث ان التعبير بين العمودين على اليمين هو [[قيمة (رياضيات)|قيمة]] الضرب المتجهي للمشتقات الجزئية من '''x'''(''s'', ''t'').<br />
<br />
ولو رغبنا بحساب المساحة السطحية لجسم ذي دالة مثلا <math>z=f\,(x,y)</math>, فلدينا<br />
<br />
:<math><br />
A = \int_S \,dS <br />
= \iint_T \left|{\partial \mathbf{r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf{r} \over \partial y}\right| dx\, dy<br />
</math><br />
حيث <math>\mathbf{r}=(x, y, z)=(x, y, f(x,y))</math>. وعليه, <math>{\partial \mathbf{r} \over \partial x}=(1, 0, f_x(x,y))</math>, و<math>{\partial \mathbf{r} \over \partial y}=(0, 1, f_y(x,y))</math>. أي,<br />
:<math>\begin{align}<br />
A <br />
&{} = \iint_T \left|\left(1, 0, {\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0, 1, {\partial f \over \partial y}\right)\right| dx\, dy \\<br />
&{} = \iint_T \left|\left(-{\partial f \over \partial x}, -{\partial f \over \partial y}, 1\right)\right| dx\, dy \\<br />
&{} = \iint_T \sqrt{\left({\partial f \over \partial x}\right)^2+\left({\partial f \over \partial y}\right)^2+1}\, \, dx\, dy<br />
\end{align}</math><br />
<br />
وهي الصيغة الشهيرة التي نستخدمها لإيجاد المساحة السطحية لجسم له دالة. لاحظ أن الصيغ السابقة يعمل بها في الاسطح ثلاثية الأبعاد فقط بسبب وجود الضرب المتجهي.<br />
<br />
== التكامل السطحي للمجالات المتجهة ==<br />
[[ملف:Surface vectors.png|تصغير|300px|مجال متجه لسطح.]]<br />
<br />
ليكن المجال المتجة '''v''' على ''S'', بمعنى أنه لكل '''x''' في ''S'', يكون ('''v'''('''x''' متجه. تصور أن لدينا [[مائع]] يمر خلال ''S'', بحيث يكون '''v'''('''x''') تعطينا سرعة المائع عند '''x'''. يعرف [[الفيض (توضيح)|الفيض]] على أنه كمية المائع المار في ''S'' بكمية وحدة زمنية.<br />
<br />
يقتضي التوضيح أنه إذا كان المجال المتجه [[مماس]]ا لـ''S'' عند كل نقطة، يصبح الفيض صفرا، لأن المائع يسري بشكل موازي لـ ''S'', وليس داخلا ولا خارجا. وكذلك يقتضي أنه لوكان '''v''' يسري بشكل [[ميل (وحدة)|مائل]] (مماسي و[[عمودي (توضيح)|عمودي]]) فإن المركبة العمودية فقط هي التي تشارك في الفيض. ولإيجاد الفيض بناء على هذا السبب، يجب أن نأخذ [[جداء نقطي|الضرب القياسي]] لـ'''v''' مع وحدة العمودي على السطح لـ''S'' عند كل نقطة، والتي ستعطينا مجال قياسي، ونكامل المجال المحصل كما في الأعلى. نجد الصيغة:<br />
<br />
:<math>\int_S {\mathbf v}\cdot \,d{\mathbf {S}} = \int_S ({\mathbf v}\cdot {\mathbf n})\,dS=\iint_T {\mathbf v}(\mathbf{x}(s, t))\cdot \left({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right) ds\, dt.</math><br />
<br />
الضرب المتجهي على الطرف الأيمن من التعبير هو العمودي على السطح بعد نقل الاحداثيات.<br />
<br />
تعرف هذه الصيغة بأنها تكامل مجال المتجه '''v''' على ''S''.<br />
<br />
== انظر أيضًا ==<br />
* [[تكامل حجم]]ي<br />
<br />
== المصادر ==<br />
<br />
{{مراجع}}<br />
{{روابط شقيقة}}<br />
{{مواضيع حسابات التفاضل والتكامل}}<br />
{{شريط بوابات|تحليل رياضي}}<br />
<br />
[[تصنيف:تفاضل متعدد المتحولات]]<br />
[[تصنيف:سطوح]]<br />
[[تصنيف:مساحة]]</div>عبد العزيز