https://3rabica.org/index.php?action=history&feed=atom&title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%AE%D8%B7تكامل خط - تاريخ المراجعة2026-06-09T02:36:41Zتاريخ التعديل لهذه الصفحة في الويكيMediaWiki 1.43.7https://3rabica.org/index.php?title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%AE%D8%B7&diff=1415063&oldid=prevعبد العزيز: بوت:نقل من تصنيف:تحليل عقدي إلى تصنيف:تحليل مركب2023-08-12T21:20:55Z<p>بوت:نقل من <a href="/index.php?title=%D8%AA%D8%B5%D9%86%D9%8A%D9%81:%D8%AA%D8%AD%D9%84%D9%8A%D9%84_%D8%B9%D9%82%D8%AF%D9%8A&action=edit&redlink=1" class="new" title="تصنيف:تحليل عقدي (الصفحة غير موجودة)">تصنيف:تحليل عقدي</a> إلى <a href="/%D8%AA%D8%B5%D9%86%D9%8A%D9%81:%D8%AA%D8%AD%D9%84%D9%8A%D9%84_%D9%85%D8%B1%D9%83%D8%A8" title="تصنيف:تحليل مركب">تصنيف:تحليل مركب</a></p>
<p><b>صفحة جديدة</b></p><div>{{تفاضل وتكامل}}<br />
<br />
في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''التكامل الخطي''' {{إنج|Line integral}} يدعى أحيانًا بـ'''تكامل المسار''' أو '''تكامل المنحنى'''، هو تكامل يتم فيه حساب تكامل [[دالة|الدالة]] على [[منحنى]].<ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://psh.techlib.cz/skos/PSH7488 | عنوان = معلومات عن تكامل خطي على موقع psh.techlib.cz | ناشر = psh.techlib.cz|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191215075706/http://psh.techlib.cz/skos/PSH7488|تاريخ أرشيف=2019-12-15}}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = http://mathworld.wolfram.com/LineIntegral.html | عنوان = معلومات عن تكامل خطي على موقع mathworld.wolfram.com | ناشر = mathworld.wolfram.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20180314222225/http://mathworld.wolfram.com/LineIntegral.html | تاريخ أرشيف = 14 مارس 2018 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://www.britannica.com/science/line-integral | عنوان = معلومات عن تكامل خطي على موقع britannica.com | ناشر = britannica.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20160612030314/http://www.britannica.com/topic/line-integral | تاريخ أرشيف = 12 يونيو 2016 }}</ref> وينبغي عدم الخلط بين هذا التكامل وحساب [[طول قوس]] بالتكامل.<br />
هناك العديد من التكاملات الخطية كما أن هناك حالة خاصة من التكامل على مسار مغلق في بعدين أو [[مستوى عقدي|المستوى العقدي]] هي [[تكامل الكفاف]].<br />
<br />
يمكن أن تكون الدالة المكاملة [[حقل سلمي|حقل قياسي]] أو [[حقل متجهات|حقل متجهي]]. قيمة التكامل الخطي عبارة عن مجموع قيم المجال عند جميع النقاط على المنحنى، يتم توزينها بدالة قياسية معينة على المنحنى (طول القوس عادة، أو بالنسبة لمجال متجه، الضرب القياسي للمجال المتجه مع متجه تفاضلي في المنحنى). هذا التوزين يميز التكامل الخطي عن التكاملات البسيطة المعرفة على [[مجال فاصل (رياضيات)|فترات]]. العديد من الصيغ البسيطة في الفيزياء، (على سبيل المثال لحساب [[شغل (فيزياء)|الشغل]] الميكانيكي, <math>W=\mathbf{F}\cdot\mathbf{s}</math>) لها تماثليات طبيعية متصلة بدلالة التكاملات الخطية (<math>W=\int_C \mathbf{F} \cdot d \mathbf{s}</math>). يستطيع التكامل الخطي إيجاد الشغل الميكانيكي المبذول على جسم متحرك في مجال كهربي أو جاذبية مثلًا.<br />
<br />
== تفاضل المتجه ==<br />
يمكن تشبيه التكامل الخطي في تفاضل المتجه كمقياس للتأثير الكلي [[مجال (توضيح)|لمجال]] معطى على طول المنحنى.<br />
<br />
=== التكامل الخطي لمجال قياسي ===<br />
يمكن تفسير التكامل الخطي على مجال قياسي بأنه المساحة تحت المجال المنحوتة بمنحنى معين. تخيل السطح المنشأ بـ''z'' = ''f''(''x'',''y'') والمنحنى ''C'' في المستوى ''x''-''y''. يكون التكامل الخطي لـ''f'' هو المساحة الناتجة من نقش هذه النقاط على السطح ''C'' مباشرة.<br />
<br />
==== تعريف ====<br />
إذا كان لدينا مجال قياسي ''f'' : ''U'' ⊆ '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R''', يعرف التكامل الخطي على منحنى ''C'' ⊂ ''U'' is<br />
على أنه<br />
:<math>\int_C f\, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)|\, dt.</math><br />
حيث<br />
<br />
'''r''': [a, b] → ''C'' [[تقابل (توضيح)|تقابل]] [[وسيط (رياضيات)|بارامتري]] للمنحنى ''C'' بحيث أن '''r'''(''a'') و'''r'''(''b'') يعطي النقاط الطرفية لـ''C''.<br />
<br />
==== الاشتقاق ====<br />
باستخدام التعاريف السابقة لـ''f'', ''C'' وصورتها البارامترية '''r'''(''t'') يمكن إنشاء التكامل من [[مجموع ريمان]] وذلك بتقسيم الفترة [''a'',''b''] إلى ''n'' فترة طولها Δ''t'' = (''b'' − ''a'')/''n''. وبجعل ''t<sub>i</sub>''النقطة الـi على [''a'',''b''], بالتالي '''r'''(''t''<sub>''i''</sub>) تعطينا موقع النقطة i على المنحنى. ونكون قد قربنا المنحنى ''C'' ب[[مسار مضلع]].<br />
<br />
:<math>I = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f(\mathbf{r}(t_i))\Delta s_i</math><br />
<br />
وبما أن المسافة بين كل نقطتين متجاورتين هي:<br />
<br />
:<math>\Delta s_i = |\mathbf{r}(t_i+\Delta t)-\mathbf{r}(t_i)|=|\mathbf{r}'(t_i)|\Delta t</math><br />
<br />
وبتعويضها في مجموع ريمان<br />
<br />
:<math>I = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f(\mathbf{r}(t_i))|\mathbf{r}'(t_i)|\Delta t</math><br />
<br />
وهذا هو مجموع ريمان للتكامل<br />
<br />
:<math>I = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)|\, dt.</math><br />
<br />
=== التكامل الخطي لمجال متجه ===<br />
==== تعريف ====<br />
<br />
بالنسبة لـ [[مجال متجه]] '''F''' : ''U'' ⊆ '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup>, يعرف التكامل الخطي على منحنى ''C'' ⊂ ''U'', في اتجاه '''r''', كما يلي:<br />
<br />
:<math>\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.</math><br />
<br />
حيث · هو الضرب القياسي '''r''': [a, b] → ''C'' صورة التقابل البارامترية للمنحنى ''C'' بحيث '''r'''(''a'') و'''r'''(''b'') تعطي النقاط ال ''C''.<br />
أي أن التكامل الخطي لمجال قياسي ما هو إلا تكامل خطي لمجال متجه تكون المتجهات فيه دائمًا مماسية على الخط.<br />
<br />
==== الاشتقاق ====<br />
[[ملف:Line-Integral.gif|300px|تصغير|المسار المنحنى لجسيم على منحنى داخل مجال متجه متجهات المجال في الأسفل المشاهدة من قبل الجسيم عندما تتحرك على طول المنحنى. إجمالي الضرب القياسي لهذه المتجهات مع مماس المتجه للمنحنى عند كل نقطة من المسار المنحني سينتج عنه التكامل الخطي.]]<br />
<br />
بنفس الطريقة والتعاريف السابقة، ولكن بدلًا من حساب المسافات بين النقاط، سيتم احتساب [[إزاحة (فيزياء)|إزاحات]] متجهاتها, Δ'''s'''<sub>''i''</sub>. وبحساب '''F''' عند جميع النقاط كما سبق وبأخذ الضرب القياسي مع كل إزاحة نحصل على نصيب كل جزء من<br />
''F''' على ''C''. بي<br />
<br />
:<math>I = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \mathbf{F}(\mathbf{r}(t_i)) \cdot \Delta\mathbf{s}_i</math><br />
<br />
نلاحظ أن متجه الإزاحة بين كل نقطتين متتابعتين على المنحنى هو<br />
<br />
:<math>\Delta\mathbf{s}_i = \mathbf{r}(t_i+\Delta t)-\mathbf{r}(t_i)=\mathbf{r}'(t_i)\Delta t</math><br />
<br />
وبتعويض ذلك في مجموع ريمان نحصل على<br />
<br />
:<math>I = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \mathbf{F}(\mathbf{r}(t_i)) \cdot \mathbf{r}'(t_i)\Delta t</math><br />
<br />
وهي كذلك مجموع ريمان للتكامل المعرف آنفًا.<br />
<br />
=== استقلالية المسار ===<br />
<br />
إذا كان المجال '''F''' هو [[تدرج]] لمجال قياسي ''G'', أي,<br />
<br />
:<math>\nabla G = \mathbf{F},</math><br />
<br />
فإن [[اشتقاق (توضيح)|الاشتقاق]] [[تحليل عقدي للدارات الكهربائية|للدالة المركبة]] من ''G'' و('''r'''(''t'' هو<br />
<br />
:<math>\frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt} = \nabla G(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)</math><br />
<br />
والذي يكون معامل التكامل للتكامل '''F''' على ('''r'''(''t''. وعليه إذا علم المسار ''C '', فإن<br />
<br />
:<math>\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = \int_a^b \frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt}\,dt = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a)).</math><br />
<br />
وبتعبير آخر، تكامل '''F''' على ''C'' يعتمد فقط على قيم ''G'' في النقاط ('''r'''(''b'' و('''r'''(''a'' وهو بالتالي فهو مستقل عن المسار بينها.<br />
<br />
=== التطبيقات ===<br />
تطبيقات التكامل الخطي تشمل [[شغل (توضيح)|الشغل]] في المجالات الميكانيكية، الكهرومغناطيسية وميكانيكا الكم.<br />
<br />
== التكامل الخطي المركب ==<br />
افرض أن ''U'' [[زمرة مفتوحة]] ل[[عدد مركب]] '''C''', γ : [''a'', ''b''] → ''U'' هي [[منحنى ممكن التوحيد]] و''f'' : ''U'' → '''C''' هي دالة. فإن التكامل<br />
<br />
:<math>\int_\gamma f(z)\,dz</math><br />
<br />
يمكن تعريفه على الفتري [''a'', ''b''] إلى ''a'' = ''t''<sub>0</sub> < ''t''<sub>1</sub> <... < ''t''<sub>''n''</sub> = ''b'' وبالنظر في التعبير<br />
:<math>\sum_{1 \le k \le n} f(\gamma(t_k)) (\gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1})).</math><br />
<br />
يصبح التكامل [[نهاية (رياضيات)|نهاية]] هذا المجموع عندما تقترب أطوال التقسيمات من الصفر.<br />
<br />
إذا كانت <math>\gamma</math> منحنى متصل قابل للتفاضل، يصبح التكامل الخطي<br />
<br />
:<math>\int_\gamma f(z)\,dz<br />
=\int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma\,'(t)\,dt.</math><br />
<br />
عندما تكون <math>\gamma</math> منحنى مغلق فإن الصورة<br />
:<math>\oint_\gamma f(z)\,dz</math><br />
<br />
تستعمل غالبًا للتكامل الخطي لـ ''f'' على طول <math>\gamma</math>.<br />
<br />
=== مثال ===<br />
<br />
لتكن الدالة ''f''(''z'')=1/''z'', و''C'' هي [[دائرة وحدة|دائرة الوحدة]] حول 0, والتي يمكن تمثيلها بارامتريًّا بـ ''e''<sup>''it''</sup>, علمًا أن ''t'' في الفترة [0, 2π]. بالتعويض نجد أن:<br />
:<math>\oint_C f(z)\,dz = \int_0^{2\pi} {1\over e^{it}} ie^{it}\,dt = i\int_0^{2\pi} e^{-it}e^{it}\,dt</math><br />
:<math>=i\int_0^{2\pi}\,dt = i(2\pi-0)=2\pi i</math><br />
<br />
حيث يمكننا استخدام حقيقة أن ''z'' يمكن كتابتها بالصورة ''re<sup>it</sup>'' حيث ''r'' هي [[قيمة مطلقة|القيمة المطلقة]] لـ ''z''. هذا يثبت على 1 في دائرة الوحدة، ويكون المتغير الوحيد المتبقي هو الزاوية، والتي رمز إليها بـ ''t''.<br />
يمكن التحقق من هذه الإجابة من [[صيغة تكامل كوشي]].<br />
<br />
== ميكانيكا الكم ==<br />
إن تشكيل تكامل المسار في [[ميكانيكا الكم]] في الواقع لا يشير مباشرة إلى هذا النوع من التكاملات ولكن يشير إلى التكاملات على فضاء من المسارات، لدالة لها مسار ممكن. مع ذلك تبقى هذه التكاملات ذات أهمية في نظرية الاحتمالات والسعات.<br />
<br />
== انظر أيضًا ==<br />
* [[تكامل سطح]]<br />
* [[تكامل حجم]]ي<br />
<br />
== مصادر ==<br />
<br />
{{مراجع}}<br />
{{روابط شقيقة}}<br />
{{مواضيع حسابات التفاضل والتكامل}}<br />
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات}}<br />
{{ضبط استنادي}}<br />
<br />
[[تصنيف:تحليل مركب]]<br />
[[تصنيف:حساب المتجهات]]</div>عبد العزيز