https://3rabica.org/index.php?action=history&feed=atom&title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%AD%D8%AC%D9%85تكامل حجم - تاريخ المراجعة2026-06-09T19:22:34Zتاريخ التعديل لهذه الصفحة في الويكيMediaWiki 1.43.7https://3rabica.org/index.php?title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%AD%D8%AC%D9%85&diff=1536592&oldid=prevعبد العزيز: بوت: إصلاح التحويلات2023-02-21T08:36:18Z<p>بوت: إصلاح التحويلات</p>
<p><b>صفحة جديدة</b></p><div>{{تفاضل وتكامل}}<br />
'''التكامل الحجمي''' {{إنج|Volume integral}} أحد أنواع [[حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات]] وهو كما يوحي اسمه [[تكامل]] في ثلاثة أبعاد يعطي حجم منطقة محددة بدالة.<ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://zthiztegia.elhuyar.eus/kontzeptua/133775 | عنوان = معلومات عن تكامل حجمي على موقع zthiztegia.elhuyar.eus | ناشر = zthiztegia.elhuyar.eus|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191215075655/https://zthiztegia.elhuyar.eus/kontzeptua/133775|تاريخ أرشيف=2019-12-15}}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = http://mathworld.wolfram.com/VolumeIntegral.html | عنوان = معلومات عن تكامل حجمي على موقع mathworld.wolfram.com | ناشر = mathworld.wolfram.com|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20181004104640/http://mathworld.wolfram.com/VolumeIntegral.html|تاريخ أرشيف=2018-10-04}}</ref><br />
<br />
==الصياغة الرياضية==<br />
:<math>\operatorname{Vol}(D)=\iiint\limits_D dx\,dy\,dz.</math><br />
<br />
كما يمكن أن يعبر عن [[تكامل متعدد]] لدالة معينة <math>f(x,y,z),</math> ضمن المنطقة ''D'' في المجال '''R'''<sup>3</sup>.حيث تصاغ عموما وفقا للتالي:<br />
<br />
:<math>\iiint\limits_D f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.</math><br />
<br />
أما في [[نظام إحداثي أسطواني|الإحداثيات الإسطوانية]]<br />
<br />
:<math>\iiint\limits_D f(r,\theta,z)\,r\,dr\,d\theta\,dz, </math><br />
<br />
أما في [[نظام إحداثي كروي|الإحداثيات الكروية]] (حيث φ هي زواية [[سمت الرأس]]) فتكتب بالصيغة التالية.<br />
<br />
:<math>\iiint\limits_D f(\rho,\theta,\phi)\,\rho^2 \sin\theta \,d\rho \,d\theta\, d\phi .</math><br />
<br />
==مثال==<br />
<br />
لإيجاد حجم مكعب طول ضلعه 1 أي أن <math> f(x,y,z) = 1 </math> باستخدام التكامل الحجمي فإن:<br />
<br />
:<math> \int\limits_0^1\int\limits_0^1\int\limits_0^1 1 \,dx\, dy \,dz = \int\limits_0^1\int\limits_0^1 (1 - 0) \,dy \,dz = \int\limits_0^1 (1 - 0) dz = 1 - 0 = 1</math><br />
<br />
أذن حجمه كما يظهر باستعمال التاكمل الحجمي يساوي واحد ويمكن تعميم هذا المثال واستعمال التكامل الحجمي لإيجاد حجم أمثلة بسيطة أخرى كإيجاد حجم كرة نصف قطرها 2 أو حجم نصف كرة نصف قطرها4 أو حجم إسطوانه أو أشكال معقدة مثل الهرم وغيرها. كما يمكن تطوير أداة التكامل الحجمي لإيجاد للحصول على نتائج أكثر. فلو افترضنا أن [[كمية قياسية (توضيح)|كمية قياسية]] ما بحيث <math>\begin{align} f\colon \mathbb{R}^3 &\to \mathbb{R} \end{align}</math> تصف كثافة المكعب التي سبق حساب حجمه عند نقطة معينة ولتكن <math> (x,y,z) </math> by <math> f = x+y+z </math> ُفإن تكامل الحجمي لهذه الدالة ضمن المكعب 1X1X1 يعطينا كتلة المكعب الكلية كما يلي:<br />
<br />
:<math> \int\limits_0^1\int\limits_0^1\int\limits_0^1 \left(x + y + z\right) \, dx \,dy \,dz = \int\limits_0^1\int\limits_0^1 \left(\frac 12 + y + z\right) \, dy \,dz = \int \limits_0^1 \left(1 + z\right) \, dz = \frac 32</math>.<br />
<br />
كما يمكن الربط بين [[تكامل سطح|التكامل السطحي المغلق]] وبين التكامل الحجمي وفق [[مبرهنة التباعد]].<br />
<br />
== تكامل بالإسطوانات ==<br />
في [[رياضيات|الرياضيات]]، وبشكل خاص في حساب التكامل، يعتبر التكامل بالإسطوانات إحدى وسائل التكامل لحساب الحجوم لبعض الأجسام الصلبة (التدويرية -التي تنتج عن تدوير سطح مستو حول محور -) عن طريق تقسيمه إلى ما يدعى «[[إسطوانة تمثيلية|بإسطوانات تمثيلية]]» وتتم المكاملة على محور عمودي على محور الدوران.<br />
تعتبر هذه الفكرة تمدي لفكرة «[[مستطيل تمثلي|المستطيل التمثيلي]]» المستخدمة في معظم طرق التكاملات الكلاسيكية والذي يعبر عنه ب – ∫ ''x dx''.<br />
<br />
== مراجع ==<br />
{{مراجع}}<br />
<br />
{{مواضيع حسابات التفاضل والتكامل}}<br />
{{شريط بوابات|رياضيات|تحليل رياضي}}<br />
<br />
[[تصنيف:تكاملات]]<br />
[[تصنيف:تفاضل متعدد المتحولات]]</div>عبد العزيز