عبد العزيز: بوت:إضافة بوابة (بوابة:رياضيات)

2023-10-24T08:08:19Z

بوت:إضافة بوابة (بوابة:رياضيات)

صفحة جديدة

[[ملف:Damped spring.gif|يسار]]
[[ملف:HarmOsc2b.png|تصغير|270px|يسار|تضامّ من زُنبورك ومخمـّد]]
'''المضاءلة'''<ref>[https://edu-women.uokufa.edu.iq/t/shaima.j/lectures.html جامعة عراقية] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170330114000/http://www.edu-women.uokufa.edu.iq/t/shaima.j/lectures.html |date=30 مارس 2017}} {{وصلة مكسورة|تاريخ=2020-08-02|bot=JarBot}}</ref> أو '''التخميد''' هو أي تأثير، ناتج عن تغيير خارجي أو موجود متأصل في نظام معين، يعمل على '''تقليل سعة [[تردد|الذبذبات]]'''، وفي [[إلكترونيات|الإلكترونيات]] يقال تخميد [[سعة (موجة)|مطال]] التردد حيث يُقاس مطال التردد [[فولت|بالفولت]] أو [[أمبير|بالأمبير]].

في [[علم الحركة|الرياضيات التطبيقية]]، التخميد [[نموذج رياضي]] [[قوة|كقوة]] بسعة تتناسب مع [[سرعة]] الجسم ولكن في عكس اتجاهها.

وفي آلات العزف الوترية مثل ال[[قيثارة|جيتار]] و[[قيثارة|القيثارة]] والجيتار المعدني، '''التخميد''' يعنى إسكات صوت الوتر بعد صدور الصوت منه، بالضغط عليه بقاعدة الريشة أو بأي من أصابع اليد الموجودة على واحد أو أكثر من الأوتار الأخرى.

ويكون النظام المثالي لنظام كتلة-زُنبورك-مخمـّد له كتلة <math>\mathcal {}[m]=1kg</math>، ثابت الياي <math>[k]=1\frac{N}{m}</math>، وثابت المخمـّد <math>[b]=1\frac{Ns}{m}</math>،

و هنا تأتي المساواة <math>\Bigg[ \frac{k}{m} \Bigg] = 1 \frac{1}{s^2} = 1 s^{-2}</math> من أجل ما سبق التي تؤدّي إلى <math>\frac{k}{m} = \omega_0^2</math> ، وهذا سيلعب دور في الحسابات التالية تحت.

يمكن وصف حركة النظام بالمعادلة الآتية :

<math>
\begin{matrix}
F_{spring} & = & - k x \\
F_{damper} \ & = & - b \dot{x} = - b \frac{dx}{dt} \\
\Sigma\ F \ & = & m \ddot{x} = m \frac{d^2x}{dt^t}
\end{matrix}
</math>

حيث <math>\mathcal {}x</math> هي إزاحة مركز الكتلة في أي زمن <math>\mathcal {}t</math>. ويمكن دمج هذه المعادلة إلى:

<math>
m \ddot{x} + b \dot{x} + k x = 0
</math>

وهذه معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية في <math>\mathcal {}t</math>. ويمكن حلها بفرض <math>\mathcal {}x = e^{\gamma t}</math>، وعندئذ نحصل على المعادلة المميــّـزة:

<math>
\mathcal {}m \gamma^2 + b \gamma + k = 0
</math>

والتي يمكن حلها إلى:

<math>
\gamma_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 m k}}{2m} = - \frac{b}{2m} \pm \sqrt{\Bigg(\frac{b}{2m}\Bigg)^2 - \omega_0^2}
</math>

و على هذا الأساس يـُـكتسـَـب الحل العام للمعادلة التفاضلية نحو

<math>x(t) = C_1 e^{\gamma_1 t} + C_2 e^{\gamma_2 t}</math>

[[Image:Damping 1.svg|تصغير|300px| توقـــّـف النظام على قيمة نسبة التخميد ''ζ'' والقضايا المتعلـّـقة بها.

Dependence of the system behavior on the value of the
damping ratio ''ζ'', for under-damped, critically-damped, over-damped, and undamped cases, for zero-velocity initial condition.]]

عندما <math>\mathcal {}C_1</math> و<math>\mathcal {}C_2</math> يـُـحسبان من شروط القيم البدائية.

تصرّف النظام الميكانيكي بالإحالة إلى الاِهتزاز هو تابع لوضع التعبير تحت رمز الجذر، أي إن كان موجب أو سالب أو يساوي صفر. فعندما يكون <math>\mathcal {}\Bigg(\frac{b}{2m}\Bigg)^2 - \omega_0^2 = 0</math> تكون <math>\mathcal {}\gamma</math> حقيقية وتوفــّـر حل واحد للمعادلة التفاضلية فقط، ويتصف النظام بتخميد حرج الذي ينبغي أن يـُـسمـّـى <math>\mathcal {}b_{crit}</math>. من أجل ذلك تأتي المساواة

<math>\frac{b_{crit}}{2m} - \omega_0 = 0</math>

و تلك تؤدّي إلى <math>b_{crit} = 2m \omega_0 = 2 \sqrt{km}</math>.

و <math>\frac{b}{2m} = \frac{b}{b_{crit}} \cdot \frac{b_{crit}}{2m} = \frac{b}{b_{crit}} \omega_0 = \zeta \omega_0</math> يؤدّي إلى انعزال ما هو في داخل السابق :

<math>\zeta = b/b_{crit} = b/(2 \sqrt{km})</math> وفيها تعتبر <math>\mathcal {}\zeta</math> [[كمية لا بعدية]] وهي نسبة التخميد.

و إدخال السابق في حلول المعادلة المميــّـزة يؤدّي إلى :

<math>\gamma_{1,2} = \omega_0 (- \zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - 1})</math>

وهنا يجب التفريق إلى قضايا عدّة :

* قضية <math>\mathcal {}\zeta < 1</math> :

<math>\sqrt{-1} = j</math> يعطي <math>\gamma_{1,2} = \omega_0 (- \zeta \pm j \sqrt{1 - \zeta^2})</math>

إدخال ذلك في الحل العام من المعادلة التفاضلية يعطي

<math>x(t) = e^{- \zeta \omega_0 t} (C_1 e^{j \sqrt{1 - \zeta^2} \omega_0 t} + C_2 e^{- j \sqrt{1 - \zeta^2} \omega_0 t})</math>

مع الصيغات <math>e^{\pm j \alpha} = cos \alpha \pm j sin \alpha</math>

و <math>\omega_0 \sqrt{1 - \zeta^2} = \omega_d</math> يــُـكتـســَـب

<math>x(t) = e^{- \zeta \omega_0 t} (A sin \omega_d t + B cos \omega_d t)</math>

و شروط القيم البدائية <math>\mathcal {}x(0) = x_0</math> وأيضاً <math>\dot{x}(0) = {\dot{x}}_0</math> تؤدّي إلى :

<math>x(t) = e^{- \zeta \omega_0 t} \Bigg(x_0 cos \omega_d t + \frac{{\dot{x}}_0 + \zeta \omega_0 x_0}{\omega_d} sin \omega_d t \Bigg)</math>

* قضية <math>\mathcal {}\zeta = 1</math> :

هذا الوضع يعطي جذر واحد فقط، وهو <math>\mathcal {}\gamma = - \zeta \omega_0 = - \omega_0</math> ، ولذلك دالـّـة المحاولة (trial function)

<math>\mathcal {}x_1 (t) = e^{\gamma t} = e^{- \omega_0 t}</math> لا تكفي لتحل ّ المعادلة التفاضلية ؛ وإضافة دالـّـة محاولية ثانية من نوع <math>x_2 (t) = t e^{- \omega_0 t}</math> تساعد في وضع مثل هذا ؛ ومع <math>\mathcal {}b = b_{crit} = 2m \omega_0</math> تنجز المعادلة التفاضلية التي تتــّـخذ الشكل

<math>\ddot{x} + 2 \omega_0 \dot{x} + \omega_0^2 x = 0</math>

إذاً الدالـّـة المحاولية الكاملة تأتي بالشكل <math>x(t) = C_1 e^{- \omega_0 t} + C_2 t e^{- \omega_0 t}</math>

و إدخال شروط القيم البدائية <math>\mathcal {}x(0) = x_0</math> وأيضاً <math>\dot{x}(0) = {\dot{x}}_0</math> تؤدّي إلى :

<math>\mathcal {}C_1 = x_0</math> وأيضاً <math>C_2 = {\dot x}_0 + x_0 \omega_0</math>

<math>x(t) = [x_0 + ({\dot x}_0 + \omega_0 x_0) t] e^{- \omega_0 t}</math>

يوصل التخميد إلى شدّة هنا حتي يبدأ بقهر التذبذب بشكل كامل.

* قضية <math>\mathcal {}\zeta > 1</math> :

<math>\mathcal {}\gamma_1</math> و<math>\mathcal {}\gamma_2</math> يمثــّـلان قيم سالبة وحقيقية مع <math>\mathcal {}| \gamma_1 | < \omega_0</math> وأيضاً <math>\mathcal {}| \gamma_2 | > \omega_0</math> ؛ وهذا يعبـّـر عن تخميد شديد، وهو أقوى من تخميد القضية السابقة ؛ ولا يسمح بظهور التذبذب.

== التخميد في الإلكترونيات ==
عندما نسمع الراديو ويكون عالي الصوت نلجأ إلى مفتاح تخفيض [[صوت|الصوت]] ونديره حتي نصل إلى مستوي الصوت المرغوب فيه. والمفتاح متصل [[مقاومة (توضيح)|بمقاومة]] متغيرة في [[دائرة كهربائية|دائرة]] الراديو الكهربية. وبتغيير تلك المقاومة يتغير [[جهد كهربائي|الجهد]] الواقع عليها وبذلك يصدر الصوت بالشدة التي نرغبها. وتتميز الدائرة الكهربية بما يسمى [[معامل التخميد]].

== انظر أيضا ==
* [[دائرة الرنين التوافقي|دائرة رنان توافقي]]
* [[هزاز توافقي]]
* [[تجاوز الحد (إشارة)]]

== مراجع ==

{{مراجع}}
{{روابط شقيقة}}
{{شريط بوابات|إلكترونيات|الفيزياء|رياضيات}}

[[تصنيف:اهتزازات]]
[[تصنيف:تحليل رياضي]]
[[تصنيف:فيزياء]]
[[تصنيف:مصطلحات الإلكترونيات]]
[[تصنيف:معادلات تفاضلية عادية]]
[[تصنيف:ميكانيكا كلاسيكية]]
[[تصنيف:ميكانيكا موجية]]
[[تصنيف:نظرية التحكم]]

تخميد - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: بوت:إضافة بوابة (بوابة:رياضيات)