عبد العزيز: بوت:صيانة المراجع

2023-01-24T01:48:20Z

بوت:صيانة المراجع

صفحة جديدة

في [[رياضيات|الرياضيات]] أو علم [[معالجة الإشارة|معالجة الإشارات]]، فإنّ '''تحويل Z''' هو [[مؤثر]] رياضي يحوّل [[إشارة متقطعة]]، أي [[متتالية]] من [[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]] أو [[عدد مركب|المركبة]]، يحوّلها إلى تمثيل تلك الإشارة في [[مجال التردد]] المركّب.<ref>{{استشهاد بكتاب
| عنوان = Sampled-Data Control Systems
| مسار = https://archive.org/details/sampleddatacontr00jury
| مؤلف = Eliahu Ibrahim Jury
| ناشر = John Wiley & Sons
| سنة = 1958
}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب
| عنوان = Theory and Application of the Z-Transform Method
| مؤلف = Eliahu Ibrahim Jury
| ناشر = Krieger Pub Co
| سنة = 1973
| isbn = 0-88275-122-0
}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب | عنوان = Time sequence analysis in geophysics | إصدار = 3rd | مؤلف = E. R. Kanasewich | ناشر = University of Alberta | سنة = 1981 | isbn = 978-0-88864-074-1 | صفحات = 185–186 | مسار = https://books.google.com/books?id=k8SSLy-FYagC&pg=PA185| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170405073318/https://books.google.com/books?id=k8SSLy-FYagC&pg=PA185 | تاريخ أرشيف = 5 أبريل 2017 }}</ref>

ويمثل تحويل زد للإشارات المتقطعة المقابلة ل[[تحويل لابلاس]] أو [[تحويل فورييه]]؛ ففي حين تحول عملية [[بيير لابلاس|لابلاس]] أو [[جوزيف فورييه|فورييه]] دالة بمتغير متصل (مثل الزمن) إلى دالة فيها المتغير هو التردد فإن تحويل زد يحول مجموعة (ممكن أن تكون لانهائية) من العينات (أي إشارة متقطعة) إلى دالة متغيرها هو التردد المركب. وفعلاً، فبالإمكان صياغة قوانين رياضية تصل بين مؤثرات التحويل المختلفة إذا فرضنا أن الإشارة المتقطعة هي [[استعيان]] للدالة المستمرّة ب[[تردد استعيان]] ما.

وكان راغاتسيني و[[لطفي زادة|زادة]] هما اللذان صاغا تحويل زد بهذا الاسم في عام [[1952]].

== تعريف ==
مثل العديد من [[تحويل تكاملي|التحويلات التكاملية]]، فبالإمكان تعريف تحويل زد بصيغتين: أحادية أو ثنائية الجانب.

=== التحويل ثنائي الجانب ===
يرمز لتحويل زد ثنائي الجانب بالنسبة للإشارة المتقطعة <math>x \left[ n \right]</math> بالرمز <math>X \left(z \right)</math>، ويعرف كالتالي:

:<math>X \left(z \right) = \mathcal{Z} \left\{x\left[n\right]\right\} = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} x \left[n \right] z^{-n}</math>،

حيث ''n'' هو [[عدد صحيح]] و'''z''' هو [[عدد مركب]] ما:
:<math>z = A e^{j \phi} = A \left(\mbox{cos} \phi + j \mbox{sin} \phi \right)</math>،
حيث ''A'' هو [[مقدار (رياضيات)|مقدار]] العدد ''z'' و<math>\phi</math> هو [[طور (توضيح)|طوره]] [[راديان|بالراديان]].

=== التحويل أحادي الجانب ===
عادة ما يستعمل هذا التحويل في استعمالات [[معالجة الإشارة]] عندما تكون الإشارة [[السببية|سببية]]، أي أنّ <math>x \left[ n \right]</math> معرفة فقط لـ<math>n \ge 0</math>.

:<math>X \left(z \right) = \mathcal{Z} \left\{x\left[n\right]\right\} = \sum_{n = 0}^{+\infty} x \left[n \right] z^{-n}</math>.

== التحويل العكسي ==
تحويل زد العكسي معرّف كالتالي:

:<math>x \left[ n \right] = \mathcal{Z}^{-1} \left\{x\left[n\right]\right\} = \frac{1}{2 \pi j} \oint_C X \left(z \right) z^{n-1} dz</math>،

بحيث ''C'' هو مسار دائري بعكس عقارب الساعة يحوي [[أصل (رياضيات)|نقطة الأصل]] ومتواجد كليًا داخل [[منطقة التقارب]]. على المسار ''C'' أن يحيط جميع [[قطب (علم التحكم)|أقطاب]] الدالة <math>X \left(Z \right)</math>.

في الحالة الخاصة التي يكون فيها مسار التكامل ''C'' هو [[دائرة وحدة|دائرة الوحدة]] (وبشرط أن تكون دائرة الوحدة تابعة لنطاق التقارب)، فبالإمكان تبسيط المعادلة أعلاه لتصبح ما يعرف بتحويل فورييه العكسي بالزمن المتقطع (DTFT):

:<math>x \left[n \right] = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{+ \pi} X \left(e^{jw} \right) e^{jwn} dw</math>.

وبالفعل فإذا كانت دائرة الوحدة في نطاق التقارب، فإنّ قيم تحويل زد للإشارة على طول دائرة الوحدة مساوية لقيم تحويل فورييه بالزمن المنقطع.

== نطاق التقارب ==

إنّ [[نطاق التقارب]]، ويرمز له بـ''ROC''، هو [[محل هندسي|المحل الهندسي]] لجميع النطاق في مستوى الأعداد المركبة التي يتقارب فيها حساب تحويل زد لقيمة نهائية:

:<math>ROC = \left\{ z : \left | \sum_{n = -\infty}^{+\infty} x \left[n\right] z^{-n}\right | < \infty\right\}</math>

=== مثال 1 (نطاق تقارب خالِ) ===

إذا نظرنا إلى الإشارة <math>x\left[n\right] = 0.5^n</math> في المجال <math>\left(-\infty, +\infty \right)</math> نرى أنّ:

:<math>x \left[n\right] = \left\{ \dots, 0.5^{-3}, 0.5^{-2}, 0.5^{-1}, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, \dots \right\} = \left\{ \dots, 2^3, 2^2, 2, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, \dots \right \}</math>.

من هنا فنرى أنّه لأي قيمة <math>z</math> كانت، لن يتقارب المجموع المطلوب في تحويل زد لقيمة نهائية، أي أنّ نطاق التقارب لهذه الإشارة خالٍ.

== انظر أيضا ==

* [[تحويل لابلاس]]
* [[تحويل فورييه]]
* [[تحويل فورييه المتقطع|تحويل فورييه المنقطع]]
* [[نظام ذو طور أدنى]]
== مراجع ==
{{مراجع}}

{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|رياضيات|تحليل رياضي|رياضيات متقطعة}}

[[تصنيف:تحويلات (رياضيات)]]
[[تصنيف:رياضيات متقطعة]]
[[تصنيف:هندسة رقمية]]

تحويل زد - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: بوت:صيانة المراجع