عبد العزيز: مهمة: إضافة قالب {{بطاقة عامة}} (التفويض)

2023-05-08T20:31:23Z

مهمة: إضافة قالب {{بطاقة عامة}} (التفويض)

صفحة جديدة

{{بطاقة عامة}}
{{تفاضل وتكامل}}
[[ملف:Divergence_(captions).svg|500px|تصغير|upright=1.75|'''تباعد''' الحقول المتجهية المختلفة. تباعد المتجهات بالنسبة للنقطة (x ، y) يساوي مجموع المشتق الجزئي بالنسبة لـ x للمركبة x والمشتق الجزئي بالنسبة لـ y للمركبة y عند هذه النقطة:
<math>\nabla\!\cdot(\mathbf{V}(x,y))=\frac{\partial\ {\mathbf{V}_x(x,y)}}{\partial{x}}+\frac{\partial\ {\mathbf{V}_y(x,y)}}{\partial{y}}</math>]]

في [[حساب المتجهات]]، '''التباعد''' ورمزه <math>\nabla.</math> أو <math>\operatorname{div}(\mathbf{F})</math> [[مؤثر تفاضلي]] على غرار مؤثري [[دوران (متجهات)|الدوران]] و[[تدرج|التدرج]].<ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://bigenc.ru/mathematics/text/1954920 | عنوان = معلومات عن تباعد على موقع bigenc.ru | ناشر = bigenc.ru|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191214191400/https://bigenc.ru/mathematics/text/1954920|تاريخ أرشيف=2019-12-14}}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://www.britannica.com/science/divergence-mathematics | عنوان = معلومات عن تباعد على موقع britannica.com | ناشر = britannica.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20160330172351/http://www.britannica.com/topic/divergence-mathematics | تاريخ أرشيف = 30 مارس 2016 }}</ref> يقيس مؤثر التباعد شدة مصدر الحقل المتجهي (حيث التباعد أكبر من الصفر) أو مصرفه (حيث التباعد أقل من الصفر) عند نقطة معينة . ويؤثر التباعد على [[حقل متجهات|الحقول المتجهة]] وينتج عنه [[حقل سلمي|حقل قياسي]]. أما إذا كان التباعد صفرا فهذا يعني أن الحقل المتجهي '''بلا مصدر''' ولا مصرف، ويسمى الحقل في هذه الحالة {{وإو|تر=Solenoidal vector field|عر=حقل متجهي ملفي|نص=حقلا متجهيا ملفيا}} لإنه ليس له بداية ولا نهاية . ومن الأمثلة على ذلك [[حقل مغناطيسي|المجالات المغناطيسية]]. فخطوط المجال المغناطيسي للكرة الأرضية تخرج من [[القطب الجنوبي]] (المصدر) وتتجه إلى [[القطب الشمالي]] (المصرف) . فعند قياس تباعدها حول الأرض فالنتيجة سوف تكون صفرا لإن كل ما يخرج منها يعود إليها، وهذا ما أكد استحالة وجود [[أحادي القطب المغناطيسي|مغناطيس أحادي القطب]]. وكذا ُفإن تباعد أي مجال دوار يساوي صفر أي أن :<math>\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{A} ) = 0 </math> مهما كان الحقل A.

== التعريف ==

يعرف تباعد الحقل المتجهي <math>\vec F \colon \R^n\to\R^n</math> الذي تمتد مركباته في ن من الأبعاد على أنه قسمة المركبة <math>F_i</math> بالكمية <math>\tfrac{\partial}{\partial x_i}</math>. على سبيل المثال إذا كانت ن=3 أي <math>\vec F(x_1, x_2, x_3)</math> في ثلاثة أبعاد فإن التباعد يعطى بالصيغة التالية:

:<math>
\operatorname{div}\colon
\vec F = \left(F_1, F_2, F_3\right) \mapsto \frac{\partial}{\partial x_1}F_1
+ \frac{\partial}{\partial x_2}F_2+ \frac{\partial}{\partial x_3}F_3
</math>

والآن للتعميم على الحقل <math>\vec F = (F_1, \ldots, F_n)</math> في ن من الأبعاد. فإن التباعد يكون:

:<math>
\operatorname{div}\colon \vec F=\left(F_1,\ldots,F_n\right) \mapsto \sum_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}F_i
</math>
== التباعد في الإحداثيات ثلاثية الأبعاد ==
يحسب التباعد لحقل متجهي في [[نظام إحداثي ديكارتي|الإحداثيات الديكارتية]] ثلاثية الأبعاد <math>\vec{F}(x,y,z)</math> وفقا لما يلي:
:<math>\operatorname{div}\,\vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}</math>

وفي [[نظام إحداثي أسطواني|الإحداثيات الإسطوانية]] <math>\vec{F}(\rho,\varphi,z)</math>:
:<math>\operatorname{div}\,\vec{F} = \frac 1 \rho \frac \partial {\partial \rho} (\rho F_\rho) + \frac 1 \rho \frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial F_z}{\partial z}</math>

أما في [[نظام إحداثي كروي|الإحداثيات الكروية]] <math>\vec{F}(r, \theta,\varphi)</math><br />
<math>\operatorname{div}\,\vec{F} = \frac 1 {r^2} \frac \partial {\partial r} (r^2 F_r) + \frac 1 {r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} ( F_\theta \sin \theta) + \frac 1{r \sin \theta } \frac {\partial F_\varphi}{\partial \varphi}</math>

== العمليات على المتجهات ==
يدرس التفاضل الشعاعي العديد من العمليات التفاضلية معرفة في الحقل الشعاعي أو السلمي، والتي يعبر عنها غالباً على شكل المؤثر [[مؤثر دل|نابلا]] (<math>\nabla</math>). العمليات الرئيسية الأربعة في التفاضل الشعاعي هي:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
!العملية !! الترميز !! الوصف !! المجال
|-
! [[تدرج]] Gradient
| <math> \operatorname{grad}(f) = \nabla f </math> || تقيس معدل وجهة التغير في الحقل السلمي. || تسقط الحقل السلمي على الحقل الشعاعي.
|-
! [[دوران (متجهات)|دوران]] Curl
| <math> \operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F} </math> || يقيس قابلية الدوران حول نقطة في الحقل الشعاعي. || يسقط الحقل الشعاعي على الحقل الشعاعي.
|-
! تباعد Divergence
| <math> \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} </math> || يقيس ميل المصدر أو المصرف عند نقطة معينة في الحقل الشعاعي. || يسقط الحقل الشعاعي على الحقل السلمي.
|-
! [[مؤثر لابلاس|لابلاسي]] Laplacian
| <math> \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f </math> || مركب من عمليتي التباعد والتدرج. || يسقط الحقل السلمي على الحقل السلمي.
|}

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{مواضيع حسابات التفاضل والتكامل}}
{{شريط بوابات|الفيزياء|تحليل رياضي|رياضيات}}

{{تصنيف كومنز|Divergence}}
{{ضبط استنادي}}

[[تصنيف:حساب المتجهات]]
[[تصنيف:حساب تفاضلي]]
[[تصنيف:معادلات اشتقاقية]]
[[تصنيف:هندسة تحليلية]]

تباعد - تاريخ المراجعة

عبد العزيز: مهمة: إضافة قالب {{بطاقة عامة}} (التفويض)